2.5 逆命题和逆定理分层作业（含解析）

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2.5逆命题和逆定理 同步分层作业
基础过关
1．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是（　　）
A．若a＞b，则a2≤b2 B．若a＜b，则a2＞b2
C．若a2＞b2，则a＞b D．若a2＞b2，则a≤b
2．可取下面哪组值说明“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝1
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若x2＝1，则x＝1 D．若a＝b，则a2＝b2
4．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形两底角相等 D．如果两数相等，那么它们的绝对值相等
5．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D．全等三角形的对应边相等
6．下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的三条边对应相等
C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
D．等边三角形每个内角都等于60°
7．命题“若ma2＞na2，则m＞n”的逆命题是 　 　．
8．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　 　，该逆命题是 　 　（填“真”或“假”）命题．
9．下列命题中逆命题成立的有 　　．（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果ab＞0，那么a＜0，b＜0；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
10．命题“对顶角相等”的逆命题是 　 　．
11．写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若r2＝a，则r叫a的平方根；
（4）如果a≥0，那么＝a．
12.写出下列命题的逆命题，并判断真假性．
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）若a＝b，则；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．
能力提升
13．下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等；④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 　 　，该逆命题是 　 　（填“真”或“假”）命题．
15．写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
16．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，同位角相等；
（2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
（3）等边三角形是锐角三角形；
（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F．
求证：点E在AF的垂直平分线上．
培优拔尖
18．定义：若两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．有下列四个命题：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题；④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．其中，属于真命题的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①④
19．命题“等腰三角形两腰上的高相等”是　　命题（填“真”或“假”），写出它的逆命题　　．
20．请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
22.（1）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题　 　，这个逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
（2）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．（写出“已知”，“求证”并画图证明）．
答案与解析
基础过关
1．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是（　　）
A．若a＞b，则a2≤b2 B．若a＜b，则a2＞b2
C．若a2＞b2，则a＞b D．若a2＞b2，则a≤b
【点拨】交换题设和结论可得原命题的逆命题．
【解析】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题的方法：交换题设和结论．
2．可取下面哪组值说明“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝1
【点拨】先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可．
【解析】解：命题如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，
当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，而a≠b，说明如果|a|＝|b|，那么a＝b是假命题，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键．
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若x2＝1，则x＝1 D．若a＝b，则a2＝b2
【点拨】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
C、若x2＝1，则x＝1的逆命题为若x＝1，则x2＝1，正确，为真命题，符合题意；
D、若a＝b，则a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，错误，为假命题，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
4．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形两底角相等 D．如果两数相等，那么它们的绝对值相等
【点拨】分别写出原命题的逆命题后即可判断是否成立．
【解析】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不成立，不符合题意；
B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，不成立，不符合题意；
C、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，正确，成立，符合题意；
D、逆命题为：绝对值相等的两个数相等，错误，不成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
5．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D．全等三角形的对应边相等
【点拨】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
6．下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B．全等三角形的三条边对应相等
C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
D．等边三角形每个内角都等于60°
【点拨】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析】解：A、逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；
B、逆命题为三条边对应相等的两个三角形全等，正确，不符合题意；
C、逆命题为相等的两个角为直角，错误，符合题意；
D、逆命题为三个内角都为60°的三角形是等边三角形，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度较小．
7．命题“若ma2＞na2，则m＞n”的逆命题是 　若m＞n，则ma2＞na2　．
【点拨】根据逆命题的概念解答即可．
【解析】解：命题“若ma2＞na2，则m＞n”的逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，
故答案为：若m＞n，则ma2＞na2．
【点睛】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
8．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　如果a2＝b2，那么a＝b　，该逆命题是 　假　（填“真”或“假”）命题．
【点拨】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据实数的乘方法则判断即可．
【解析】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题，
故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．下列命题中逆命题成立的有 　①③　．（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果ab＞0，那么a＜0，b＜0；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
【点拨】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解析】解：①两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意；
②如果两个角相等，那么它们是直角，错误，不合题意；
③如果a＜0，b＜0，那么ab＞0，正确，符合题意；
④如果两个实数的平方相等，那么它们相等，不合题意，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
10．命题“对顶角相等”的逆命题是 　相等的角为对顶角　．
【点拨】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
11．写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若r2＝a，则r叫a的平方根；
（4）如果a≥0，那么＝a．
【点拨】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据定义可写出上述命题的逆命题．
【解析】解：（1）两条平行线被第三条直线所截，这两条直线平行，同位角相等；
（2）到角的两边的距离相等的点在角平分线上；
（3）若r是a的平方根，那么r2＝a；
（4）如果＝a，那么a≥0．
【点睛】本题考查逆命题的概念，关键是找到原命题的题设和结论，题设和结论互换，就可得到逆命题．
12.写出下列命题的逆命题，并判断真假性．
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）若a＝b，则；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．
【点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解析】解：（1）直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，正确；
（2）若a＝b，则的逆命题是若，则a＝b，正确；
（3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0的逆命题是若a＞0，b＞0，则a+b＞0，正确；
（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等的逆命题是若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称，错误；
【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
能力提升
13．下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等；④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析】解：①若|a|＞|b|，则a＞b的逆命题为若a＞b，则|a|＞|b|，错误，为假命题，不符合题意；
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
③等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意．
真命题有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．
14．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 　三个内角相等的三角形是等边三角形　，该逆命题是 　真　（填“真”或“假”）命题．
【点拨】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
【解析】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题；
故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形；真命题．
【点睛】本题考查了命题和定理，熟练掌握逆命题和真假命题的概念是解答本题的关键．
15．写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
【点拨】首先利用逆命题的定义写出原命题的逆命题；接下来利用等腰三角形的判定对逆命题进行证明即可．
【解析】解：逆命题：一边上的高线与中线互相重合的三角形是等腰三角形．
已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线和高线．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD＝CD．
∵AD是BC边上的高线，
∴AD⊥BC．
即∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是命题与逆命题、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定等知识，掌握逆命题的概念，证明三角形全等是解题的关键．
16．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，同位角相等；
（2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
（3）等边三角形是锐角三角形；
（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【点拨】（1）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据平行线的判定方法可判断此逆命题为真命题；
（2）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据有理数的性质可判断此逆命题为假命题；
（3）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据等边三角形的判定方法可判断此逆命题为假命题；
（4）交换命题的题设与结论得到逆命题，然后根据线段垂直平行线定理的逆定理可判断此逆命题为真命题．
【解析】解：（1）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题；
（2）“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题为“如果两个实数的积是正数，那么两个实数都是正数”，此逆命题为假命题；
（3）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题；
（4）“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F．
求证：点E在AF的垂直平分线上．
【点拨】过E点作EG⊥BD先根据EG是线段BD的垂直平分线得出∠DEG＝∠BEG，再由∠ACB＝90°可知AC∥EG，故∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，所以∠A＝∠AFE，可得AE＝AF，由此即可得出结论．
【解析】证明：过E点作EG⊥BD，则EG是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠DEG＝∠BEG，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥EG，
∴∠AFE＝∠DEG，∠A＝∠BEG，
∴∠A＝∠AFE，
∴AE＝AF，
即点E在AF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
培优拔尖
18．定义：若两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．有下列四个命题：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题；④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．其中，属于真命题的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①④
【点拨】根据逆命题，否命题的定义一一判断即可．
【解析】解：①“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题，是真命题，
②“全等三角形的面积相等”的否命题，是假命题．
③“若q≤1，则1﹣q有平方根”的逆命题，是真命题，
④“各边不相等的三角形的三个内角相等”的否命题．是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查命题，逆命题否命题等知识，解题的关键是理解逆命题，否命题的定义，属于中考常考题型．
19．命题“等腰三角形两腰上的高相等”是　真　命题（填“真”或“假”），写出它的逆命题　如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．　．
【点拨】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解析】解：等腰三角形两腰上的高相等是真命题；
等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：真，如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
20．请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．
【点拨】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，再利用全等三角形的判定得出命题的正确性．
【解析】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
已知：△ABC中，∠B＝∠C，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：过点A作AH⊥BC于点H，
则∠AHB＝∠AHC＝90°，
在△ABH和△ACH中，
∵，
∴△ABH≌△ACH（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG＝∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，等量代换得到∠EAF＝∠AFE，根据得到结论．
【解析】解：∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵∠ACB＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22.（1）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题　到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　，这个逆命题是　真　命题（填“真”或“假”）．
（2）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．（写出“已知”，“求证”并画图证明）．
【点拨】（1）把原命题的题设与结论交换得到逆命题，再判断命题的真假即可．
（2）先写出已知、求证、证明，然后根据线段的垂直平分线的性质定理和逆定理进行证明．
【解析】解：（1）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，这个逆命题是真命题．
故答案为到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．
（2）已知：△ABC
求证：AB、BC、AC三边的垂直平分线相交于点F，
证明：如图，作AB边的垂直平分线FG，FG交AB于点G，作BC边的垂直平分线FD，FD交BC边于点D，
∵点F是AB边垂直平线上的一点，
∴FA＝FB，
同理可得，FB＝FC，
∴FA＝FB＝FC（等量代换），
∴点F在线段AC的垂直平分线上，
∴AB、BC、AC三边的垂直平分线相交于一点P．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及判定，命题，逆命题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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