2.7 探索勾股定理分层作业（含解析）

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2.7探索勾股定理 同步分层作业
基础过关
1．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2＝（　　）
A．10 B．20 C．50 D．100
2．在直角三角形中，若股为4，弦为5，则勾为（　　）
A．3 B． C．3或 D．6
3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　）
A．20 B．25 C．35 D．30
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，那么AB边上的高CD为（　　）
A． B． C． D．
5．下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（　　）
A．1，2， B．3，3，6 C．4，6，8 D．，，
6．在直角三角形中，若两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为 　　．
7．如图，在△ABC，∠C＝90°，c＝2，则a2+b2+c2＝　　．
8．有一个水池，水面是一个边长为10m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是　　m．
9．4个三角形的边长分别为：
①a＝5，b＝12，c＝13； ②a＝2，b＝3，c＝4；
③a＝2.5，b＝6，c＝6.5； ④a＝21，b＝20，c＝29．
其中，直角三角形的个数是　　（填序号）．
10．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
11．如图，CD是△ABC的中线，若AC＝9，BC＝12，AB＝15．
（1）求∠ACB的度数．
（2）求CD的长．
题组B 能力提升练
12．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
13．如图：S1＝81cm2，S3＝225cm2，则S2的面积为（　　）
A．12cm2 B．15cm2 C．144cm2 D．306cm2
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BD＝1，CD＝2，则AB的长为 　　．
15．如图，在垂直于地面的墙上离地面4m的A点斜放一个长5m的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑1m．则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度是 　　m．
16．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 　 　元．
17．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 　　．
18.如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD＝4，BD＝3，AC＝13，BC＝12．则图中阴影部分的面积为 　　．
19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB
于点E．
（1）若CD＝6，AD＝10．
①求线段AE的长；
②求△ABC的面积．
（2）若BC＝6，AB＝10，求DE的长．
20.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，点E在线段BD上，且EA＝EB．已知BD＝16，AD＝12，AC＝15．
（1）求线段DE的长；
（2）求证：∠BAC＝90°．
21.如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）直接写出AC边上的高的长度＝　 　．
22.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求BC；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
题组C 培优拔尖练
23．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（　　）
A．126 B．127 C．128 D．129
24.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是 　 　．

25.在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝1，D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 　 　．
26.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝4，P是AC上的一个动点．
（1）求AD的长；
（2）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长．
27.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　；
②当t＝3时，PQ的长为 　 　；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
28.现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
（一）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2，结论①；
图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；
图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③．
（二）思考：
结合结论①和结论②，可以得到一个等式 　 　；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式 　 　；
（三）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3＝20，求S2的值．
（四）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a＝5，b＝12，斜边c＝13，求图中阴影部分面积和．
答案与解析
基础过关
1．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2＝（　　）
A．10 B．20 C．50 D．100
【思路点拨】根据勾股定理计算即可；
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2．在直角三角形中，若股为4，弦为5，则勾为（　　）
A．3 B． C．3或 D．6
【思路点拨】题中已知一直角边分4，弦为5，即为求直角三角形中的另一直角边长度；然后根据勾股定理可知，斜边的平方等于两直角边平方的和，据此代入数据计算即可．
【解析】解：勾＝＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，关键是掌握勾股定理计算方法．
3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（　　）
A．20 B．25 C．35 D．30
【思路点拨】在Rt△ADC中由勾股定理求出AC的长，在Rt△ACB中，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解析】解：在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴AC＝＝＝20，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝25，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，那么AB边上的高CD为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据勾股定理可以求得CD的长，再根据等积法，即可求得CD的长．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝＝，
∴＝，
解得CD＝，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出CD的长．
5．下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（　　）
A．1，2， B．3，3，6 C．4，6，8 D．，，
【思路点拨】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．在直角三角形中，若两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为 　　．
【思路点拨】根据勾股定理可以求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到斜边的中线长．
【解析】解：∵两条直角边长分别为5，12，
∴斜边长为：＝13，
∴斜边上的中线长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，求出斜边的长．
7．如图，在△ABC，∠C＝90°，c＝2，则a2+b2+c2＝　16　．
【思路点拨】由∠C＝90°，则c为斜边，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：∵△ABC中，∠C＝90°，c＝2，
∴a2+b2＝c2＝8，
∴a2+b2+c2＝8+8＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解题的关键．
8．有一个水池，水面是一个边长为10m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是　12　m．
【思路点拨】首先设水池的深度为xm，则这根芦苇的长度为（x+1）m，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，求解即可．
【解析】解：设水池的深度为xm，由题意得：x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，能从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．
9．4个三角形的边长分别为：
①a＝5，b＝12，c＝13；
②a＝2，b＝3，c＝4；
③a＝2.5，b＝6，c＝6.5；
④a＝21，b＝20，c＝29．
其中，直角三角形的个数是　3　（填序号）．
【思路点拨】分别求出a2+b2和c2的值，看看a2+b2和c2是否相等即可．
【解析】解：①∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形，∴①正确；
②∵a2+b2＝22+32＝13，c2＝42＝16，
∴a2+b2≠c2，
∴三角形不是直角三角形，∴②错误；
③∵a2+b2＝2.52+62＝42.25，c2＝6.52＝42.25，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形，∴③正确；
④∵a2+b2＝212+202＝841，c2＝292＝841，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形，∴④正确；
即正确的有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
10．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
【思路点拨】（1）在Rt△BCD中，由CD＝可得答案；
（2）在Rt△ACD中，先根据AD＝求得AD＝16，再由AB＝AD+DB可得答案．
【解析】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，
∴CD＝＝＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2＝c2及其变形．
11．如图，CD是△ABC的中线，若AC＝9，BC＝12，AB＝15．
（1）求∠ACB的度数．
（2）求CD的长．
【思路点拨】（1）利用勾股定理的逆定理得到∠ACB为直角；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的可求CD的长．
【解析】解：（1）由AB＝15，BC＝12得AB2﹣BC2＝225﹣144＝81．
由AC2＝81得AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°；
（2）∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝7.5．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
题组B 能力提升练
12．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
【思路点拨】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可
【解析】解：A、∵62+72≠82，则△ABC不能判断为直角三角形；故选项符合题意；
B、∵52+122＝132，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
C、∵（c+b）（c﹣b）＝a2，
∴c2﹣b2＝a2，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
D、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∠C＝90°，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．
13．如图：S1＝81cm2，S3＝225cm2，则S2的面积为（　　）
A．12cm2 B．15cm2 C．144cm2 D．306cm2
【思路点拨】根据勾股定理a2+b2＝c2，解答即可．
【解析】解：∵三个四边形均是正方形，
∴S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
即S1+S2＝S3，
∵S1＝81cm2，S3＝225cm2，
∴S2＝225﹣81＝144，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理：a2+b2＝c2是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BD＝1，CD＝2，则AB的长为 　　．
【思路点拨】过点D作DE⊥AC于点E，根据角平分线的性质得出DE＝BD，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED得出AB＝AE，根据勾股定理求出CE的长，再在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长即可．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AD平分∠BAC，AB⊥BC，
∴DE＝BD＝1，
又∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AB，
在Rt△CDE中，CD＝2，DE＝1，
∴CE＝＝，
设AB＝AE＝x，则AC＝x+，
∵BD＝1，CD＝2，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
即x，
解得x＝，
即AB＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，在垂直于地面的墙上离地面4m的A点斜放一个长5m的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑1m．则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度是 　1　m．
【思路点拨】首先在Rt△AOB中利用勾股定理计算出OB的长，再在Rt△A′B′O中利用勾股定理求出OB′的长，根据BB′＝OB′﹣OB可算出答案．
【解析】解：设垂直于地面的位置为O点，
由题意得：AO＝4m，A′B′＝AB＝5m，AA′＝1m，
在Rt△AOB中：BO＝＝3（m），
∵AO＝4m，
∴A′O＝AO﹣AA′＝3m，
在Rt△A′B′O中：OB′＝＝4（m），
∴BB′＝OB′﹣OB＝4﹣3＝1（m）．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 　11700　元．
【思路点拨】连接BD，先利用勾股定理求出BD的长，再用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，即可求出四边形ABCD的面积，再求出答案即可．
【解析】解：连接BD，
∵∠A＝90°、AB＝20米，AD＝15米，
∴BD＝＝＝25（米），
∵BC＝24米，CD＝7米，
∴BC2+CD2＝242+72＝252＝BD2，
∴△BDC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB AD+BC CD＝×20×15+×24×7＝150+84＝234（平方米），
则234×50＝11700（元），
即铺这块空地需要投入11700元．
故答案为：11700．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
17．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 　45°　．
【思路点拨】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【解析】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
18.如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD＝4，BD＝3，AC＝13，BC＝12．则图中阴影部分的面积为 　24　．
【思路点拨】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，再利用S阴＝S△ABC﹣S△ABD即可求解．
【解析】解：∵AD⊥BD，AD＝4，BD＝3，
∴，
又∵AB2＝52＝25，BC2＝122＝144，AC2＝132＝169，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD
＝AB BC﹣AD BD
＝×5×12﹣×4×3
＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB
于点E．
（1）若CD＝6，AD＝10．
①求线段AE的长；
②求△ABC的面积．
（2）若BC＝6，AB＝10，求DE的长．
【思路点拨】（1）①根据角平分线的性质可得DE＝CD＝6，再根据勾股定理即可求解；
（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可得出BC的长，进而可求解；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到CD＝DE，根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD，即可求得答案．
【解析】解：（1）①∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
DE＝DC＝6，∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝10，
根据勾股定理得AE2+DE2＝AD2，
∴AE＝8．
答AE的长为8；
②设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即162+x2＝（8+x）2，
解得x＝12，
即BC＝12，
∴S△ABC＝AC BC＝×16×12＝96．
答：△ABC的面积为96；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
设CD＝DE＝x，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴×6×8＝×10x+×6x，
解得x＝3．
答：DE的长是3．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
20.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，点E在线段BD上，且EA＝EB．已知BD＝16，AD＝12，AC＝15．
（1）求线段DE的长；
（2）求证：∠BAC＝90°．
【思路点拨】（1）设BE＝AE＝x，则ED＝16﹣x，根据垂直定义可得∠ADE＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出DE的长；
（2）先在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理分别求出AB，CD的长，从而求出BC的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【解析】（1）解：设BE＝AE＝x，
∵BD＝16，
∴ED＝BD﹣BE＝16﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴x2＝122+（16﹣x）2，
解得：x＝12.5，
∴DE＝16﹣x＝3.5，
∴DE的长为3.5；
（2）证明：在Rt△ABD中，AD＝12，BD＝16，
∴AB＝＝＝20，
在Rt△ADC中，AC＝15，AD＝12，
∴CD＝＝＝9，
∴BC＝BD+CD＝25，
∵AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝252＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键
21.如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）直接写出AC边上的高的长度＝　2　．
【思路点拨】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【解析】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AC边上的高为h，
∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴△ABC的面积＝AC h＝AB BC，
∴AC h＝AB BC，
∵AB＝2，BC＝，AC＝5，
∴，
∴h＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
22.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求BC；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【思路点拨】（1）依据三角形中三边的关系确定∠ACB的度数；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解析】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝500km，AC＝300km，
∴BC＝＝＝400（km）；
（2）海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷35＝4（小时），
答：海港C受台风影响的时间会持续4小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
题组C 培优拔尖练
23．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（　　）
A．126 B．127 C．128 D．129
【思路点拨】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解析】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理及图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
24.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是 　8　．

【思路点拨】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解析】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，
∴S正方形B+5＝20﹣7，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
25.在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝1，D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 　2或4或或3　．
【思路点拨】根据D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，分四种情况分别讨论，①当AC＝AD时，②当BA＝BD时，③当DA＝CD时，④当CA＝CD时，分别画出这四种情况的图形，即可求此等腰三角形的面积．
【解析】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝1，
根据勾股定理得AB＝2，
①当AC＝AD时，如图①，
∵AC＝AD，∠ABC＝90°，
∴BD＝BC＝1，
∴S△ADC＝＝2；
②当BA＝BD时，如图②，
∵BA＝BD＝2，
∴S△ABD＝＝4；
③当DA＝CD时，如图③，
过点D作DE⊥AC于点E，
设BD＝x，
∴DA＝CD＝x+1，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，
即（x+1）2＝+x2，
解得x＝，即BD＝，
∴S△ACD＝＝；
④当CA＝CD时，如图④，
∵CA＝CD＝3，BC＝1，
∴BD＝2，AB＝2，
∵S△ADC＝S△ABD+S△ABC
＝+
＝
＝＝3．
故答案为：2或4或或3．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质，掌握在等腰三角形中分4种情况分别讨论是解题关键．
26.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝4，P是AC上的一个动点．
（1）求AD的长；
（2）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长．
【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AC的长再根据△ACD是等腰直角三角形即可得出AD的长；
（2）连接DP，作DH⊥AC于H，根据角平分线的定义得出∠CBP的度数，得出PC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出DH与CH的长即可推出结果．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
∴BC＝，
∴AC＝＝2，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴2AD2＝AC2＝12，
∴AD＝（负值舍去）；
（2）如图，连接DP，作DH⊥AC于H，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝30°，
CP＝，
∵BC＝2，
∴CP＝，
∵△ADC是等腰直角三角形，DH⊥AC，
∴CH＝AH＝DH＝，
∴HP＝CH﹣CP＝＝，
∴DP＝＝＝．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　9.6cm　；
②当t＝3时，PQ的长为 　　；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
【思路点拨】（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；
②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解析】解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得，
∴Rt△ABC斜边AC上的高为；
②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，
即PQ的长为，
故答案为：①9.6cm；②；
（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），
当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，
解得，
∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，AC＝20cm，
当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，
①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，
则，
由（1）知BE＝9.6cm，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，
即122＝9.62+（2t﹣6）2，
解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；
②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；
③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，
∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，
∴∠A＝∠QBA，
∴QB＝QA，
∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
28.现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
（一）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）2，结论①；
图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　a2+b2+2ab　，结论②；
图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　c2+2ab　，结论③．
（二）思考：
结合结论①和结论②，可以得到一个等式 　（a+b）2＝a2+b2+2ab　；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式 　a2+b2＝c2　；
（三）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3＝20，求S2的值．
（四）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a＝5，b＝12，斜边c＝13，求图中阴影部分面积和．
【思路点拨】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出S1+S3＝S2，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【解析】解：（1）图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，
∴图2面积为：a2+b2+4×ab＝a2+b2+2ab；
图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，
∴图3面积可表示为：c2+4×＝c2+2ab；
故答案为：a2+b2+2ab，c2+2ab．
（2）结合结论①和结论②，可以得到一个等式：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：（a+b）2＝c2+2ab，
即，a2+b2＝c2．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，a2+b2＝c2．
（3）S1＝＝，S2＝＝，S3＝＝，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S3＝+＝＝＝S2，
∵S1+S2+S3＝20，
∴2S2＝20，
解得S2＝10．
（4）解：由（3）可知：S1+S3＝S2，
∴阴影部分面积和为：S1+S3+﹣S2＝ab，
∵a＝5，b＝12，
∴阴影部分面积和为：×5×12＝30．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
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