2014-2015学年浙教版八上数学第一章三角形的初步知识期末总复习学案+配套练习(二)

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名称 2014-2015学年浙教版八上数学第一章三角形的初步知识期末总复习学案+配套练习(二)
格式 zip
文件大小 464.3KB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2014-12-08 13:45:54

文档简介

:三角形的初步知识期末总复习学案(二)
三角形全等的综合应用
例6.如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.

练一练:
1.如图:已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD.

2.如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.21教育网

3.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

例7.如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.

练一练:
1.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC. (1)求证:△ABE≌△CBD; (2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.21cnjy.com

2.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E. 证明:DE=BD+CE. (2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
例8.课本指出:公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实. (1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS; (2)证明推论AAS. 要求:叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.21世纪教育网版权所有
练一练:
1.如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明. 提供的三个条件是:①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.21·cn·jy·com

2.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE; (2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF. www.21-cn-jy.com
尺规画图
例9.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径圆弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是(  )2·1·c·n·j·y
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
练一练:
1.如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).
2.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;
③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.
求证:△AED≌△CFD;
:三角形的初步知识期末总复习学案(二)答案
三角形全等的综合应用
例6.如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.

练一练:
1.如图:已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD.

2.如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.21世纪教育网版权所有

3.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

例7.如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.

证明:如图,过点B作BF⊥CE于F, ∵CE⊥AD,∴∠D+∠DCE=90°, ∵∠BCD=90°,∴∠BCF+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D, 在△BCF和△CDE中,, ∴△BCF≌△CDE(AAS),∴BF=CE, 又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE, ∴四边形AEFB是矩形,∴AE=BF,∴AE=CE.21教育网
练一练:
1.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC. (1)求证:△ABE≌△CBD; (2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.21cnjy.com

(2)解:∵AB=CB,∠ABC=90°, ∴∠CAB=45°, ∵∠CAE=30°, ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°, ∵△ABE≌△CBD, ∴∠BCD=∠BAE=15°, ∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°;21·cn·jy·com
2.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E. 证明:DE=BD+CE. (2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
证明:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠CEA=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°, ∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD, ∵在△ADB和△CEA中 , ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE; (2)∵∠BDA=∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α, ∴∠CAE=∠ABD, ∵在△ADB和△CEA中 , ∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE; www.21-cn-jy.com
例8.课本指出:公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实. (1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS; (2)证明推论AAS. 要求:叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.【来源:21·世纪·教育·网】
思路分析:本题的依据是ASA,只要考虑AAS转换成ASA即可得证
解:(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. (2)已知:在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,BC=EF. 求证:△ABC≌△DEF. 证明:如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F(已知), ∴∠A+∠C=∠D+∠F(等量代换). 又∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和定理), ∴∠B=∠E. ∵在△ABC与△DEF中, , ∴△ABC≌△DEF(ASA).21·世纪*教育网
练一练:
1.如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明. 提供的三个条件是:①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.www-2-1-cnjy-com

解:不能;选择条件:①AB=DE; ∵BF=CE,∴BF+BE=CE+BE, 即EF=CB, 在△ABC和△DFE中,, ∴△ABC≌△DFE(SAS).2-1-c-n-j-y
2.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE; (2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF. 2·1·c·n·j·y
证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点, ∴∠BAE=∠EAC, 在△ABE和△ACE中,, ∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE; (2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF, ∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF, ∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°, ∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF, 在△AEF和△BCF中,,∴△AEF≌△BCF(ASA).
尺规画图
例9.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径圆弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是(  )  21*cnjy*com
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
思路分析:根据作图过程得到PB=PC,然后利用D为BC的中点,
得到PD垂直平分BC,从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可.
解:根据作图过程可知:PB=CP,∵D为BC的中点,
∴PD垂直平分BC,∴①ED⊥BC正确;∵∠ABC=90°,∴PD∥AB,
∴E为AC的中点,∴EC=EA,∵EB=EC,
∴②∠A=∠EBA正确;③EB平分∠AED错误;④ED=AB正确,
故正确的有①②④,故选B.
练一练:
如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).
解:(1)如图所示:
(2)DE∥AC
∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=∠BDC,
∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,∴∠A=∠BDC,
∴∠A=∠BDE,∴DE∥AC.
2.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;
③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.
求证:△AED≌△CFD;
证明:由作图知:PQ为线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,AD=CD,
∵CF∥AB
:三角形的初步知识期末总复习配套练习(二)
一.选择题
1.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( D )A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有( C )21教育网
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

3.如图,△ABC中,CD⊥BC于C,D点在AB的延长线上,则CD是△ABC( )
A、BC边上的高; B、AB边上的高; C、AC边上的高; D、以上都不对;
4.如图,若△ABC≌△DEF,则∠E等于( D )
A.30°   B.50° C.60° D.100
5.如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( C )21·cn·jy·com
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC C.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
6.已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等,现有两个判断: ①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2, 对于上述的两个判断,下列说法正确的是( A )www.21-cn-jy.com
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①,②都错误 D.①,②都正确
7.下列说法中不正确的是( D )
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C.有一边对应相等的两个等边三角形全等 D.面积相等的两个直角三角形全等
如图所示,在△中,>,∥=,点在边上,连接DF,EF,则
添加下列哪一个条件后,仍无法判定△与△全等( C )
A.∥ B. C.∠=∠ D.∠=∠
9.已知:如图所示,B、C、E三点在同一条直线上,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,
则不正确的结论是( D )
A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2
10.如图所示,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( D )2·1·c·n·j·y
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA
二.填空题
11.命题:“如果,那么”的逆命题是____,该命题是____命题(填真或假).
12.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC.∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= 【来源:21·世纪·教育·网】
13. 如果△ABC≌△DEF, 且△ABC的周长是100cm, A、B分别与D、E对应, 且AB=30cm, DF=25cm, 那么BC的长为________________21·世纪*教育网
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,
过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5 cm,则AE= cm.
如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
E,F.则下面结论中①DA平分∠EDF;②AE=AF,DE=DF;③AD上的点到B、C两点的距离相
等;④图中共有3对全等三角形,正确的有
16.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=
三.解答题
17.下列句子是命题吗?若是,把它改写成“如果……那么……”的形式,并写出它的逆命题,同时判断原命题和逆命题的真假. (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度?(2)垂线段最短,对吗? (3)等角的补角相等.(4)两条直线相交只有一个交点. (5)同旁内角互补.(6)邻补角的角平分线互相垂直.www-2-1-cnjy-com
18.如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:△ABC≌△AED.

19.如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC. (1)求证:△ABE≌DCE; (2)当∠AEB=50°,求∠EBC的度数?21cnjy.com

如图所示,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB和
∠DGB的度数.

如图所示,在△ABC中,∠C=90°, AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC
上,BD=DF.证明:(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB.

22.已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:BD=AE.21世纪教育网版权所有

23.已知:在△中,,点是的中点,点是边上一点.
(1)垂直于点,交于点(如图①),求证:.
(2)垂直,垂足为,交的延长线于点(如图②),找出图中与相等的线段,并证明.

:三角形的初步知识期末总复习配套练习(二)答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
三.解答题
17.解:对一件事情做出判断的句子是命题,因为(1)(2)是问句,所以(1)(2)不是命题,其余4个都是命题.21世纪教育网版权所有
(3)如果两个角相等,那么它们的补角相等,真命题;
逆命题:如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,真命题. (4)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,真命题;21教育网
逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么这两条直线相交,真命题. (5)如果两个角是同旁内角,那么它们互补,假命题;21cnjy.com
逆命题:如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角,假命题. (6)如果两条射线是邻补角的角平分线,那么它们互相垂直,真命题;
逆命题:如果两条射线垂直,那么这两条射线是邻补角的角平分线,假命题.
18.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD, ∵在△ABC和△AED中, , ∴△ABC≌△AED(AAS).21·cn·jy·com
19.(1)证明:∵在△ABE和△DCE中 , ∴△ABE≌△DCE(AAS); (2)解:∵△ABE≌△DCE, ∴BE=EC, ∴∠EBC=∠ECB, ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°, ∴∠EBC=25°.www.21-cn-jy.com
20.证明:(1)∵ AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DE=DC.
又∵ BD=DF,∴ Rt△CDF≌Rt△EDB,∴ CF=EB.
(2)∵ AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,2·1·c·n·j·y
∴ △ADC≌△ADE,∴ AC=AE,
∴ AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
解:(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到
AB的距离=点D到AC的距离,即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB,得CF=EB.
(2)利用角平分线性质证明△ADC≌△ADE,∴ AC=AE,再将线段AB进行转化.
22.证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACD=∠DCE=90°, ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中,, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴BD=AE.【来源:21·世纪·教育·网】
23.(1)证明:因为垂直于点,所以,所以.
又因为,所以.
因为, ,所以.
又因为点是的中点,所以.所以∠DCB =∠A.
因为,所以△≌△,所以.
(2)解:.证明如下:
在△中,因为,,
所以.
因为,即,所以,所以.
因为为等腰直角三角形斜边上的中线,所以.
在△和△中,,,