二次根式(浙江省宁波市余姚市)

二次根式
1.1二次根式
教学目标
1.经历二次根式概念的发生过程
2.了解二次根式的概念
3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围
4.会求二次根式的值
教学重点与难点
教学重点： 二次根式的概念
教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。
教学过程
知识回顾：
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
2、什么叫算术平方根
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用表示
讨论并解释：为什么a≥0 ？
新课教学
做一做：课本P 4 的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么
象 这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式叫做二次根式
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如
解：（1）由a+1≥0 得，a≥-1
∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数
（2）由 ＞0，得 1-2a＞0。即a<,
∴字母a的取值范围是小于的实数
（3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0,所以a的取值范围是全体实数
说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式（组）
练习： 求下列二次根式中字母a的取值范围：
当x = -4 时，求二次根式 的值
解：将x = -4 代入 二次根式得
= = 3
说明：与求代数式的值类比。
课内练习：p 5 T1 T2
提高：
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1 秒）
三、课堂小结：由学生总结，教师适当提问补充。
谈一谈：本节课你有什么收获？
四、作业：作业本（1）；课本作业题
1.2二次根式的性质（第一课时）
教学目标
1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的上述两个性质。
会运用上述两个性质进行有关计算。
教学重点与难点
教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；
教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。
教学过程
回顾与引入
1、 平方根的概念：一个数的平方等a （a≥0），则这个数叫做a的平方根，记做，则
2、
3、大家抢答
填空
二、新课讲解
从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一
性质一：
5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积
启发诱导数形结合思想
6、填空 课本6页
7、比较 和有何关系？当a≥0时，＝ 和a﹤0，＝
先练习、再观察发现总结规律得出性质二
8、性质二：
9、课内练习
梳理知识使条理清楚，及时练习巩固
10、例1 计算
（1） （2）
规范书写，知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序
11、课本7页课内练习第2题（领悟方法，会正迁移）
12、计算：
要求比较先算括号里与直接利用二次根式性质的优劣；强调先判断中a的符号
三、引申与提高
例4 化简：
（1） （2） （3） (a＜0,b＞0)
（4） (a＞1 )
四、分享与体会
你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？
五、作业
1．课本作业题
2．作业本（2）
1.2二次根式的性质（第二课时）
教学目标
1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；
2、了解二次根式的上述两个性质；
3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简。
教学重点与难点
重点：二次根式的乘法、除法的性质与利用性质进行运算。
难点：例3（4）和探究活动涉及较复杂的化简过程和一些技巧的运用。
教学过程
一、合作学习，引出课题
1、复习旧知：二次根式：（1）定义：
（2）两个基本性质：①
②
2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）
比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？
（学生通过观察，从中得到二次根式的乘法、除法性质。鼓励学生用自己的语言总结出性质。从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）。
二、探究新知，体验成功
1、积的算术平方根的性质。
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．
即
2、商的算术平方根的性质。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非
负数，除式必须是正数）。
即
[作用]：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算。
3、例题讲解：
例1 化简：
注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数
的因数中，不含有1以外的自然数的平方数
按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，
例2、先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）
合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算。
按教师提问，学生回答，利用多媒体，教师板书解题过程交替的方式进行教学。
三、总结提高、课内练习
1、课本第9页1、2、3。第10页探究活动
2、
3、补充练习若b>0，x<0，化简：
四、归纳小结，充实结构
由学生总结，教师适当提问补充。
谈一谈：本节课你有什么收获？
引导学生从下面的思路总结：
二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题,防
止出错。
（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）。
五、布置作业：课本第10页作业题A组与作业本1第三页。
1.3二次根式的运算（第一课时）
教学目标
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的；
2．会进行简单的二次根式乘除运算.
教学重点与难点
重点：二次根式的运算法则；
难点: 例1（3）和例2的计算过程涉及多种运算和运算法则，是本节教学的难点.
教学过程
一、复习归纳
二次根式的性质： （1） （2） a 当a≥0
－a 当a≤0
（3） （4）
想一想：你能计算吗？
比较你的计算方法，哪一种更简单：
二、新课教学
1．归纳得出：
二次根式的乘除运算法则
2．例题学习
例1 计算
（1） （2） （3）
归纳二次根式的乘除运算的一般步骤：（1）运用法则，化归为根号内的
实数运算；（2）完成根号内乘除运算；（3）化简二次根式。
3、完成课内练习：课本P12页：第1、2题
4、例2： 一个正三角形路标如图。
若它的边长为 个单位，求这个路标的面积。
分析：要求路标的面积，应先求出ＢＣ边上的高
用勾股定理求高的算式中应注意二次根式的化简，强
调：计算结果中没有预定精确度要求，结果可以用
化简的二次根式表示。
5、课内练习 课本P12页：第3题
三、课堂小结
二次根式的运算（乘除运算）:
四、布置作业
1: 作业本（2）
2：课本P13页
作业题第1、2、3、4题
第5、6题选做。
1.3二次根式的运算（第二课时）
教学目标
1，会进行二次根式的四则混合运算
2，会应用整式的运算法则进行二次根式的运算
3，体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法
教学重点与难点
重点:二次根式的四则混合运算；
难点:整式的乘法公式和法则迁移到二次根式的运算.
教学过程
一、问题的提出
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少？_______________
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
运用以前所学知识进行总结
二、新课教学
1．与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.
2．彗眼识真：下列计算哪些正确，哪些不正确？
3．例3先化简，再求出近似值（精确到0.01）
二次根式加减运算的一般步骤是：先化简，再合并。
4．例4计算
说明：（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减；
（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
5．例5 计算
说明：多项式的乘法公式和法则同样适用于二次根式。
6．归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：
⑴ 按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变化结果并进行验证
⑵ 针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式并进行验证。
7．提高题：（1）比较根式的大小. （2）
三、课堂小结
本堂课我们学到了什么新知识？
四、布置作业
（１）作业本；（２）书上Ａ组，选做Ｂ组
1.3二次根式的运算(第三课时)
教学目标
熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；
会运用二次根式解决简单的实际问题；
3. 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值
教学重点与难点
重点：二次根式及其运算的实际应用；
难点：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂。
教学过程
一、课前热身：解决节前问题：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面 的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
归纳：
在日常生活和生产实际中，我们在解决一 些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。
二、例题学习
1、例6： 如图，扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE= 米，BC= CD。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）
让学生有充分的时间阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？
注意解题格式.
2、课内练习：完成课本P17、1，实物投影反馈；
3、例7：如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm 。
师生共同分析解题思路，请学生写出解题过程。
三、小结：谈一谈：本节课你有什么收获？
运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题
四、布置作业
1: 作业本（2）
2：课本P17页：作业题第1、2、3题，第4、5题选做。
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1、若二次根式 的值为3，求x的值.
A
B
C
A
D
E
B
C
A
C
E
F
D
B
A
B
C
D