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3.1解直角三角形(3)（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米。参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）
2、如图，一艘船在点A处测得岛C在北偏东45°处，且测得AC之间的距离为10海里．已知在C岛四周6 海里范围内有暗礁．若该船从点A处按正东方向航行，途中会有触礁的危险吗？21世纪教育网版权所有
3、如图，河对岸有一铁塔AB. 在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.www.21-cn-jy.com
4、如图，在离旗杆40米的A处，用测角仪器测得旗杆顶的仰角为，已知测角仪器高AD=米，求旗杆的高度BE(精确到 0.1米) 21*cnjy*com
第二部分
1. 若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影子长为10m , 则树高 h 等于…………（ ）
A.10×sin37° B. 10×cos37° C . 10×tan37° D.10÷tan37°
2．某人在距建筑物100cm 处测得建筑物顶部的仰角为60°，则建筑物的高度为…（ ）
A.50m B.100m C.m D.100m
3. 为抗洪,需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果设该大坝斜坡的坡角为α,那么tanα= .
4.已知船A在灯塔C的东北方向(即北偏东45°方向)上,船B在灯塔C的南偏东60°方向上,则∠ACB= .21教育网
5. (中考-乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_________.（结果精确到0.1m）www-2-1-cnjy-com
6. (中考-湘潭)如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距40海里的岛在北偏东方向．已知岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁的危险．【来源：21cnj*y.co*m】
7.某人欲以最短距离游泳横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点偏离欲到达点约200米,结果他在水中实际游了520米,则他偏离原方向 度.(精确到1度)【出处：21教育名师】
8. (中考-泰安)如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于 （结果用根号表示）.【版权所有：21教育】
9. (中考-杭州)如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为……………………………（ ）21教育名师原创作品
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
10. (中考-包头)如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，已知乙建筑物高CD=40米．试求甲建筑物高AB.21*cnjy*com
参考答案
第一部分
1、如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米。参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）
【解】过点C做CD⊥AB，垂足为D，由题意得∠ACD＝45°，∠DCB＝32°，
在Rt△BCD中，BC＝100，∴（米）
（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD，∴（米）。
2、如图，一艘船在点A处测得岛C在北偏东45°处，且测得AC之间的距离为10海里．已知在C岛四周6 海里范围内有暗礁．若该船从点A处按正东方向航行，途中会有触礁的危险吗？
【解】∵AC·sin45°=>6, ∴没有触礁危险.
3、如图，河对岸有一铁塔AB. 在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.
【解】在Rt△ABC中, BC=.
在Rt△ABD中, BD==AB.
∵BC-BD=16, ∴AB-AB=16, ∴AB=(或+8).
4、如图，在离旗杆40米的A处，用测角仪器测得旗杆顶的仰角为，已知测角仪器高AD=米，求旗杆的高度BE(精确到 0.1米)
【解】在Rt△CDE中,
CE=CD·tan∠CDE=40×tan30°15′≈23.33
∴BE=BC+CE=1.54+23.33≈24.9m.
第二部分
1. 若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影子长为10m , 则树高 h 等于…………（ ）
A.10×sin37° B. 10×cos37° C . 10×tan37° D.10÷tan37°
答案：C
2．某人在距建筑物100cm 处测得建筑物顶部的仰角为60°，则建筑物的高度为…（ ）
A.50m B.100m C.m D.100m
答案：D
3. 为抗洪,需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果设该大坝斜坡的坡角为α,那么tanα= .
答案：
4.已知船A在灯塔C的东北方向(即北偏东45°方向)上,船B在灯塔C的南偏东60°方向上,则∠ACB= .21cnjy.com
答案：75°
5. (中考-乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_________.（结果精确到0.1m）21·cn·jy·com
答案：15.1m
6. (中考-湘潭)如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距40海里的岛在北偏东方向．已知岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁的危险．21·世纪*教育网
答案：没有
7.某人欲以最短距离游泳横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点偏离欲到达点约200米,结果他在水中实际游了520米,则他偏离原方向 度.(精确到1度)
答案：67
8. (中考-泰安)如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于 （结果用根号表示）.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：(300+100)m
9. (中考-杭州)如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为……………………………（ ）2-1-c-n-j-y
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
答案：A
10. (中考-包头)如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，已知乙建筑物高CD=40米．试求甲建筑物高AB.2·1·c·n·j·y
解：在Rt△ABC中, AE=BC=AB·tan30°=.
在Rt△ADE中, DE=AE·tan30°=AB.
∵AB=DE+DC, ∴AB=AB+40, 即AB=60m.
O
A
B
北
第6题图
A
B
C
D
第8题
Ｄ
A
甲
乙
40米
Ｂ
Ｃ
E
O
A
B
北
第6题图
A
B
C
D
第8题
Ｄ
A
甲
乙
40米
Ｂ
Ｃ
E
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新浙教版数学九年级（下）
1.3 解直角三角形（3）
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)已知两边
2.根据已知元素不同，解直角三角形有哪些类型？
(2)已知一边一角
(必有一边)
斜边和一直角边
两直角边
斜边和一锐角
直角边和一锐角
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
（勾股定理）
A
B
a
b
c
C
解直角三角形的依据
直角三角形的边角关系
“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
·
O
Q
F
P
α
探索一：
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ（即a）
·
O
Q
F
P
α
将实际问题转化成数学问题
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∴ 弧PQ的长为
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km
·
O
Q
F
P
α
2．某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒．问谁先到达B处？请说明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
探索二：
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
A
B
C
D
北
东
探索三：
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
D
┌
A
B
C
D
北
东
550
250
要解决这问题,我们仍需将其数学化.
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
50°
140°
520m
A
B
C
E
D
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
65°
34°
P
B
C
A
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
与方位角有关的解直角三角形
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B
A
D
F
60°
12
30°
B
A
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
在Rt△ABF中，
解得x=6
10.4 > 8没有触礁危险
30°
60°
3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在Rt△CDE中，∠CED=90°
1．小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了 ( )
A
A
3．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则tan α的值为 ( )
D
体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m。在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（ π 取3.14，结果精确到0.1m）。
36
36.3
O
B
A
体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m。在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（ π 取3.14，结果精确到0.1m）。
36
36.3
O
B
A
A
B
36.3
C
O
