3. 6 圆内接四边形 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
浙教版九年级上册
3.6 圆内接四边形
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 .
这个三角形叫做 .
外接圆
圆的内接三角形
类比
经过四边形各顶点的圆叫做四边形的 .
这个四边形叫做 .
外接圆
圆的内接四边形
导入新知
定义：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
四边形ABCD是⊙O的内接四边形
⊙O是四边形ABCD的外接圆
判一判：下列四边形是圆内接四边形？
A
O
B
C
D
A
O
B
C
A
O
B
C
D
A
B
C
D
√
×
×
√
探究：四边形ABCD内接于⊙o，猜想它的对角∠A、∠C之间有什么数量关系？
1.特殊情况：若BD为直径
BD为直径
∠A=∠C=90
∠A+∠C=180
∠ADC+∠ABC=180
2.一般化：若BD不为直径，上面的结论还成立吗？
┓
┓
已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，
求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
证明：∵∠ABCD，∠CBAD
BAD + BCD=360°
∴∠A＋∠ C BCD+BAD=(BCD+BAD)=×360°=180°
同理∠B＋∠D＝180°
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C=180
∠B+∠D=180
圆内接四边形性质定理：
圆内接四边形对角互补.
E
∠EAD:
圆内接四边形ABCD的一个外角
如图，若∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，
证明：
∠EAD=∠C
∠C + ∠BAD=180
∠EAD+∠BAD=180
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
几何语言
∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角
∴∠EAD=∠C
求证：∠EAD=∠C
例1: 如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D, 求证：DB=DC
证明：∵AD是∠EAC的平分线 ∴∠1=∠2
∵四边形ABCD内接于圆O
∴∠DCB=∠1
而∠2=∠DBC
∴∠DCB=∠DBC
∴DB=DC
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）.
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新知讲解
例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
思考：要使锯出的横截面正方形的面积尽可能大，正方形和圆
的应该满足什么关系？
正方形内接于⊙O
问题：如何画出这个正方形？
解：当原木的直径为30cm时，
∴正方形ABCD的面积为：
∴木材的体积为：4.5×10-2×15=0.675（m3）.
AO=BO=15cm，
┓
A
B
C
D
圆内接四边形的外角等于内对角
圆内接四边形对角互补
一般
特殊
┓
┓
知识小结
1.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______
∠B+∠ADC=_______;
若∠B=80°，
则∠ADC=______ ，
∠CDE=_________.
E
D
B
A
C
180°
180°
100°
80°
夯实基础，稳扎稳打
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BAD= ，∠BCD= .
50°
130°
3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是(　 )
A．115° B．l05° C．100° D．95°
B
4、如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____ ．
5、如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C= 。
70°
.
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O
∠A=∠C,∠B=∠D，那么四边形ABCD是怎样的特殊四边形？
∠A=∠C=∠B=∠D=900
四边形ABCD是矩形
7.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
B
8. 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰7.求这个四边形各角的度数.
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，7x，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+7x=180°，
∴ x=20°.
∴ ∠A=40°， ∠B=60°， ∠C =140°，
∠D=180°-60°=120°.
9.已知：如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的☉O分别交两腰AB，AC于点D，E，连结DE.求证：DE∥BC.
证明：∵四边形BDCE是圆O的内接四边形 ∴∠ADE=∠C
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC.
连续递推，豁然开朗
10.在圆内接四边形ABCD中, 的度数之比为
1：2∶3∶4.求四边形ABCD各内角的度数.
A
B
C
D
3600×
＝
︵
AC
m
＝
︵
BC
m
3600×
＝
︵
CD
m
3600×
＝
︵
AD
m
3600×
∴ ∠A=90°， ∠B=126°，
∠C =90°，∠D=54°
连续递推，豁然开朗
.
11.已知四边形ABCD的内角∠A, ∠ B, ∠ C, ∠ D的度数之比为3:1:2:5，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由.
3+2≠1+5
四边形是不是圆内接四边形
12.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=50° ∠D- ∠ B=40°.求∠ B， ∠ C， ∠ D的度数.
∠C=180°-∠A=180°-50°=1300
.
.
圆内接平行四边形一定是矩形
A
B
C
D
︵
CD
＝
︵
AB
∴
∵AD=BC
︵
BC
＝
︵
AD
∴
∵AB=CD
分析：
∴∠ABCD
=900
13.证明：圆内接平行四边形一定是矩形
14、如图 ，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A 30° B 45° C 55° D 60°
B
谢谢
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