3.3 垂径定理 （1） 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
浙教版九年级上册
3.3 垂径定理 （1）
1.如图，在透明纸上任意作一个圆，☉O内作弦AB，再作一条和弦AB垂直的直径CD,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线段、圆弧互相重合
·
O
A
B
D
E
C
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
点：点A与点B
导入新知
请用文字叙述这一定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒
⌒
AC =BC
圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴------
∴ AE=BE=,
.
条件:
CD为直径
CD⊥AB
CD平分优弧ADB
CD平分弦AB
CD平分劣弧A B
结论:
圆的轴对称性.
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
A
B
C
D
E
作法：
1.连结AB.
2.作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
如图所示，点E就是所求弧AB的中点．
例2 一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离。
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如:上图中，OC的长就是弦AB的弦心距.
O
A
B
C
垂径定理的几个基本图形
归纳总结
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂直于弦的直径：
可以是直径，
也可以是半径
甚至可以是过圆心的直线或线段
设 ⊙O 的半径是 r，圆心到弦的距离 d，弦长 a，
请写出三者数量关系:
O
┓
d2+( )2=r2
.
d
r
弦心距2+（）2 =半径2 这三者“知二得一”.
.
1．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
夯实基础，稳扎稳打
A
2.如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点.
P
A
B
M
N
3 （1）.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，
已知CD = 20，CM = 4，求AB的长。
┓
解：连接OA
∵ CD = 20
∴ AO = CO = 10
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
∴ AB =2AM
△OMA是Rt △
根据勾股定理，得：
∴
∴ AB = 2AM = 2 8 = 16
.
（2）绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，
桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为 ( ) A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
D
4.如图，CD是⊙O 的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，
求直径CD的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA.
∵ CD是直径，OE⊥AB，
设OA=r，则OE=r-1，由勾股定理得
r2=52+(r-1)2 .
解得：r=13.
∴ OA=13.
∴ CD=2OA=26.
即直径CD的长为26.
弦心距2+（）2 =半径2
.
∴ AE=AB=5.
.
┓
·
O
A
B
C
D
(1） 600
（2）
.
M
N
.
C
D
B
O
A
┓
┓
1.两弦在圆心的同侧
连续递推，豁然开朗
M
N
.
C
D
B
O
A
┓
┓
2.两弦在圆心的两侧
M
N
在同一个圆中，如果两弦平行，那么它们所夹的弧相等
.
C
D
B
O
A
┓
┓
3.一条弦经过圆心
8．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
·
O
A
B
C
D
E
9.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ两点，
判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明理由．
解：
ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：
过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，
则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
同心圆是指两个圆的圆心相同
O
C
D
Ａ
Ｂ
Ｅ
┓
１0、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
D
┓
10
8
6
┓
弦心距2+（）2 =半径2
.