3.3 垂径定理 （2） 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
浙教版九年级上册
3.3 垂径定理 （2）
新知导入
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定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
.
条件：
①CD为直径
②CD⊥AB
③CD平分弧ADB
①CD平分弦AB
②CD平分弧AB
结论：
（1）直径平分弦
直径垂直弦
（2）直径平分弦所对的弧
P
C
D
O
A
B
┛
垂径定理的逆命题是什么？
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
条件：
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
判断命题的真假：
× 假命题
真命题
√
O
C
D
B
A
直径垂直弦
直径平分弦
直径平分弦所对的弧
定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
由CD是直径
AP=BP
可推得
CD⊥AB,
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AP=BP
∴CD⊥AB
∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
⌒
⌒
A
B
C
D
O
P
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
由CD是直径
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
或 AD=BD.
可推得
CD⊥AB,
AM=BM
当AC=BC时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则AC与BC重合.所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB，这就证明了定理2.
P
C
D
O
A
B
┛
例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥拱的半径(精确到0.1m).
A
B
C
D
┛
O
解得 R≈27.3（m）.
直径垂直弦
直径平分弦(不是直径）
直径平分弦所对的弧
P
C
D
O
A
B
归纳总结
　垂直于弦
平分
垂直　
平分　
垂径定理的逆定理：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
……
1.辨一辨：
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.
×
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
√
（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
×
（4）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
√
夯实基础，稳扎稳打
C
D
O
A
B
（2）
C
D
O
（3）
O
A
B
（1）
P
C
D
O
A
B
（4）
（5）平分弦的直线，必定过圆心。
×
（6）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。
×
（7）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
×
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
O
(7)
A
B
C
D
O
(6)
（8）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
(8)
×
2.有下列四个条件：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四个条件组成的命题中，是假命题的是(　　)
A．①② ③④ B．①③ ②④
C．①④ ②③ D．②③ ①④
B
O
C
D
B
A
3.如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
弓形：圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高是指弧的中点到弦的距离.
D
E
┛
=56 (cm)
BD=
.
=
.
=
.
=
.
AB=562=112 (cm)
.
4.如图，一条公路弯道处是一段圆弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，C是的中点，OC与AB相交于点D.已知AB＝120 m，CD＝20 m，那么这段弯道所在圆的半径为(　　)
C
┛
OD=
.
=
.
=
.
=
.
┛
6.已知☉O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离.
O
A
B
C2
D2
C1
D1
O
A
B
4-3=1
4+3=7
连续递推，豁然开朗
┛
┛
┛
┛
7、如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 。
.
┛
8. 如图所示， AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是
的中点，OE 交弦AC于点D．若AC = 8cm，DE = 2cm，
则OD的长为 .
R2＝42＋(R－2)2
R=5
┛
9、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
解：不需要采取紧急措施．
理由如下∶
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理得OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2＝ME2＋OE2，
即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
即x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
思维拓展，更上一层
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