3.4 圆心角（1) 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
浙教版九年级上册
3.4 圆心角 （1）
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都和原图形重合.
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
O
导入新知
O
α
.
圆的旋转不变性：
圆的轴对称性：
圆心角的定义：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
∠AOB的位置特征：
O
A
B
1.顶点在圆心；
2.端点在圆上。.
AB：
⌒
圆心角-----∠AOB所对的弧
AB:
圆心角-----∠AOB所对的弦
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角
圆心角（后面会学到）
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD.
证明：设∠AOC=α ∵∠AOB=∠COD
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=∠BOC+∠AOB=α
将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B与点D重合.根据圆的旋转的性质，结论可证.
如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD。
探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间都有什么关系？
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A ′ O ′ B ′ ，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O
A
B
·
O′
A′
B′
【要点】通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
注意：去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立。
如果以⊙O的圆心O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.
每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，
我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.
这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
弧的度数的定义：
我们把1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧.
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧　
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
C
D
A
B
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE= AB（等腰三角形三线合一）.
同理，由OF⊥DC，得DF=CF= CD.
∴AE=DF. 又∵OA=OD，
∴Rt△AOE≌Rt△DOF（HL)，∴OE=OF.
.
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现四个量：
A
B
M
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
圆心角
弧
弦
弦心距
O
A
B
C
1.如图，在⊙O中，∠AOB=135°，求AB，ACB 的度数．
解： AB的度数=135°，
ACB的度数=360°- 135 ° =225°．
夯实基础，稳扎稳打
2.如图：已知在⊙O中，∠AOB=45°, ∠OBC=35°
则AB的度数为 .
BC的度数为 .
⌒
⌒
45
35
45°
110°
90°
4.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
解：任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取一段90°的弧 . 这两段弧的度数相等，不能说这两段弧相等.如下图所示：
5.下列命题中正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧的度数相等
D.度数相等的两条弧相等
C
6.如图：点C为圆心，∠ACB=90°, ∠B=25°
求AD的度数
⌒
25
65
500
7. 如图，AB与CD是⊙O的直径，写出图中一对相等的弧(半圆和优弧除外）.
∴ AC=BD CB=DA
⌒
⌒
⌒
⌒
B
A
C
D
O
E
1
2
解:∵OC=OD,OE⊥CD
∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
∴∠1=∠2=500
∴BC=500 BD=500
⌒
⌒
⌒
∴AD=ADB-BD
=1800-500
=1300
⌒
⌒
10、如图:⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点E，
∠COD＝1000，求BC,AD的度数
连续递推，豁然开朗
11.如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
A
B
C
D
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90
∴ AB=BC=CD=DA
⌒
⌒
⌒
⌒
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
12.已知：AB为⊙O直径，AC∥OD
求证：CD=BD
要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等即可。
3
2
4
1
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求的度数.
【答案】=120°.
.
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取CD的中点E,连接OE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,
所以AB=CE=DE, CD=2AB，
弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
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⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
C
D
O
E
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
思维拓展，更上一层