3.4 圆心角 （2) 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
浙教版九年级上册
3.4 圆心角 （2）
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
如果
在同圆或等圆中
圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
请说出圆心角定理的逆命题！
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
关系结构图:
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
.
1 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC．
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
120o（弦相等，则圆心角相等）
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D，连结BD，CD.判断△ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？为什么？
等边三角形
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
菱形 OB=OC=BD=CD
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？
.
⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？
.
(有一个角是600的等腰三角形
是等边三角形）
2 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点D，E.求证：
.
解: 连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
∴AD= DE=EB
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其逆定理
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理及其逆定理
【点悟】 在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
(
AB＝CD
(
OM＝ON
∠AOB＝∠COD
∠AOB＝∠COD
OM＝ON
AB＝CD
OM＝ON
AB＝CD
(
AB＝CD
(
AB＝CD
(
AB＝CD
(
∠AOB＝∠COD
(
AB＝CD
(
夯实基础，稳扎稳打
2.如图，在直径为10cm的☉O中，直径AC与BD所在的角∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积.
周长：10+10
.
面积：25
.
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形）
△AＯＤ是等边三角形
证明：∵AB=CD
=
︵
AB
︵
CD
∴
在同圆中，相等的弦所对的弧相等
∴
︵
AB
︵
BD
－
＝
︵
CD
︵
BD
－
︵
AD
＝
即：
︵
BC
∴AD=BC
在同圆中，相等的弧所对的弦相等
变式训练：若AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
4.如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°.
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵ ，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形.
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
.
5.已知：如图，AB，DE是☉O的直径，C是☉O上一点，且求证： BE
∵ AD= CE
证明：连接OC
1
2
3
∴∠1=∠2
∵∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴BE=CE
6.下列命题是真命题的是（ ）
（A）相等的圆心角所对的弧相等
（B）长度相等的两条弧是等弧
（C）等弦所对的圆心角相等
（D）等弧所对的弦相等
D
7、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
解： ∵ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
O
A
B
E
D
C
　
9.　如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.
∵∠CAB＝∠CBA
∴AC=BC
∴∠COB＝∠COA.
证明：
10.已知：如图，AB，AC是☉O的两条弦，OA平分∠BAC.
求证：
┛
E
┛
D
证明: 作 , 垂足分别为D 、 E。
∵∠DAO= ∠EAO
∴ OD=OE
(角平分線上的點到線段兩端的距離相等）
∴ AB=AC
.
连续递推，豁然开朗
11.如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D， 求证：AB=CD
P
A
B
E
C
D
F
O
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON
AB=CD
┛
M
┛
N
如图，P点在圆内，AB=CD吗？
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
┛
┛
┛
┛
12、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？
(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
13．已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD.
求证：∠OBA＝∠ODC.
证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.
∵AB＝CD，∴OE＝OF.又∵BO＝DO，
∴Rt△BOE≌Rt△DOF(HL)，
∴∠OBA＝∠ODC.
┛
E
┛
F
D
┛
思维拓展，更上一层
谢谢
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