初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 单元测试
考试时间：90分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020八下·南通月考）下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程 的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
2．已知方程3x2+4x=0，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根 B．只有一个根x=0
C．有两个根，x1=0，x2= - D．有两个根，x1=0，x2=
3．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入求根公式正确的是 （ ）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
4．（2020八下·北仑期末）一元二次方程x2﹣3 x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2020八上·上海期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·浦东月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．(x-2)2=9 B．(x-2)2=13 C．(x+2)2=9 D．(x+2)2=13
7．（2019八上·徐汇期中）方程 的根为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
8．（2020八下·杭州期末）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m ，设原来花圃长边为xm，可列方程（ ）
A．x +5x=15 B．x2-5x=15 C．(x-5)2=15 D．x2-25=15
9．（2017八上·云南期中）九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A． x(x－1)＝2070 B． x(x＋1)＝2070
C．x(x＋1)＝2070 D．x(x－1)＝2070
10．（2020八下·八步期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·浦东月考）已知一元二次方程x2+2x+m=0的一个根是-1，则m的值为 。
12．（2020八上·上海期中）方程 的根是 ．
13．（2020八下·哈尔滨月考）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡 只．
14．（2020八下·滨江期末）超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： .
15．一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字母互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是 .
16．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
三、综合题
17．（2019八上·上海月考）如果 ，求 的值.
18．（2020八下·镇海期末）解下列方程：
（1）
（2）
19．（2020八下·玄武期末）已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）若该方程有一个根为4，求m的值.
20．（2020八下·长兴期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元。为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？
（2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
21．（2020八下·莒县期末）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约 万平方米，预计 年绿化面积约为 万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为 元，若 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么 年的绿化投资成本需要多少元？
22．（2020八下·柯桥月考）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）可以达到30cm2吗？请说明理由.
23．（2020八下·越城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）
求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD＝ S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（2020八下·射阳期中）我们已经知道(a﹣b)2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0.所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0.
∵( )2≥0，∴a﹣2 +b≥0，∴a+b≥2 (当且仅当a=b时取等号).
阅读2：若函数y=x (m＞0，x＞0，m为常数).由阅读1结论可知：x 即x ∴当x 即x2=m，∴x= (m＞0)时，函数y=x 的最小值为2 .
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）问题1：当x＞0时， 的最小值为 ；当x＜0时， 的最大值为 .
（2）问题2：函数y=a+ (a＞1)的最小值为 .
（3）问题3：求代数式 (m＞﹣2)的最小值，并求出此时的m的值.
（4）问题4：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和16，求四边形ABCD面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故答案为：C
【分析】观察表格，y的值为0 ，找绝对值最接近0的即为近似根.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：因为3x2+4x=0 ，故x= = ，x1=0，x2= - 故答案为：C
【分析】利用求根公式求得方程的根即可选出正确答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：把方程3x2＋4＝12x化为一般式，得3x2－12x＋4＝0，此时a＝3，b＝－12，c＝4.故答案为：D.
【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2﹣3 x+6＝0，
△＝（﹣3 ）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3 x+6＝0的根的情况为没有实数根，
故答案为：D.
【分析】求出b2-4ac的值，再根据其值可得此方程的根的情况。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-9=0，
∴ x2-4x=9，
∴ x2-4x+4=9+4，
∴（x-2）2=13.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤，先把方程化成x2-4x=9的形式，两边同时加上4，把左边写成完全平方的形式，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，
∴4x-1=1或4x-1=-1，
解得： ， ,
故答案为：C．
【分析】两边直接开平方法求解可得．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 扩大后的花圃形状为正方形，边为xm
∴面积=x2
原长方形花圃，它的宽为5m，长边为xm
∴面积=5x
扩大后的花圃形面积比原来增加15m
∴x2-5x=15
故答案为：B
【分析】根据正方形和长方形的面积公式以及边长增加前后面积的变化列方程即可.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设全班有 x 名学生，由题意可得 .
故答案为：D.
【分析】设全班有 x 名学生，则每人都送出了 (x -1)张照片，因此全班共送出照片想x（x-1）张，根据全班共送了2070张相片列出方程。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ， =－2
∴ = = 5.
故答案为：B.
【分析】可以把 变形为 的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程 x2+2x+m=0 ，
得：1-2+m=0，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，把x=-1代入方程 x2+2x+m=0 ，得出1-2+m=0，解方程求出m的值，即可求解.
12．【答案】x1=1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x1=1，x2=3，
故答案为：x1=1，x2=3．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。
13．【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得 ，
解得 （不正确舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出正确的值即可．
14．【答案】（12-x）（100+2x）=1400
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每箱降价x元，则每天的销售量为 箱，每箱利润为 元
由题意得：
故答案为： .
【分析】先求出降价后的销售量和每箱利润，再根据“利润 每箱利润 销售量”即可得.
15．【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x）
根据题意可知
（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736
x2-5x+6=0
解得，x1=2，x2=3
∴5-x=2或5-x=3
∴原来的两位数为23或32
【分析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x），根据新数字和原来的数字二者的积为736，即可得到关于x的一元二次方程，就出答案即可。
16．【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y,
∴x+y=6,
∵z2=xy-9,
∴xy=z2+9,
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根,
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0,
∴z=0,
∴△=0，
∴x=y,
∴x=6-x,
∴x=3, y=3,
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根, 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
17．【答案】解：设
则原方程可化为： ，即：
因式分解得：
解得： ，
又∵ ，
∴
即
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】把 看成一个整体，设 ，然后将原方程整理为关于a的方程求解即可.
18．【答案】（1）解：方程整理得： ，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：原方程移项得： ，
提公因式得： ，
∴ 或 ，
∴ ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可.
19．【答案】（1）解：方法1：(x－m)2＋2(x－m)＝0，即(x－m)(x－m＋2)＝0
∴x1＝m，x2＝m－2
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
方法2：∵ (x－m)2＋2(x－m)＝0，即x2－2mx＋m2＋2x－2m＝0
即x2＋(2－2m)x＋m2－2m＝0
a＝1，b＝2－2m，c＝m2－2m
b2－4ac＝(2－2m)2－4(m2－2m)＝4＞0.
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：方法1：∵该方程有一个根为4
∴m＝4或m－2＝4
∴m＝4或6 .
方法2：∵该方程有一个根为4，
∴(4－m)2＋2(4－m)＝0
即m2－10m＋24＝0解得m＝4或6
方法3：x＝ ＝ ＝ ，
解得x1＝m，x2＝m－2.
∴m＝4或m－2＝4
即m＝4或6 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x=4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论.
20．【答案】（1）解：由题意得：
20+5×2=30.
答：若每件衬衫降价5元，商场可售出30件.
（2）解：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价x元，根据题意得
（40-x）（20+2x）=1200
解之：x1=10，x2=20
答：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价10元或20元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，由此可求出结果。
（2）根据每一件的利润×销售量=1200，设未知数，列方程求出方程的解即可。
21．【答案】（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程
1000（1+x）2=1210
解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去）
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）解： （万平方米）
（元）
答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．根据“2018年绿化面积约 1000 万平方米，预计 2020 年绿化面积约为 1210 万平方米”，即可列出方程解答；（2）计算出2021年的绿化面积，即可解答．
22．【答案】（1）解：设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x2-9x+8=0
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
（2）解：它的侧面积可以达到30cm2.理由如下：
设剪去的正方形边长为ycm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2（8-2y）y+2× y=30，得该方程没有实数解.
若按图2所示的方法剪折，
解方程2（10-2y）y+2× y=30，
得y1= ，y2=3.
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为 cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形边长为xcm，根据长方形的面积公式可列方程（10-2x）（8-2x）=48，解这个方程，把不合题意的解舍去，即可得到本题答案；
（2）设剪去的正方形边长为ycm，共有两种剪法：①如图1，此时有2（8-2y）y+2× y=30，解得本方程无实数解；②如图2，此时可列方程2（10-2y）y+2× y=30，解此方程，即可得本小题答案.
23．【答案】（1） 解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝5cm，且∠ADB＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2
∴AD＝12cm．
（2）解：AP＝t，PD＝12﹣t，
又∵由△PDM面积为 PD×DC＝15，
解得PD＝6，∴t＝6．
（3）解：假设存在t，
使得S△PMD＝ S△ABC．
①若点M在线段CD上，
即 时，PD＝12﹣t，DM＝5﹣2t，
由S△PMD＝ S△ABC，
即 ，
2t2﹣29t+50＝0
解得t1＝12.5（舍去），t2＝2．
②若点M在射线DB上，即 ．
由S△PMD＝ S△ABC
得 ，
2t2﹣29t+70＝0
解得 ， ．
综上，存在t的值为2或 或 ，使得S△PMD= △ABC．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）等腰三角形性质和勾股定理解答即可；（2）根据直角三角形面积求出PD×DC× ＝15即可求出t；（3）根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．
24．【答案】（1）2； 2
（2）9
（3）解： =
∵m＞﹣2，
∴ ≥ =4
当m+2= 时成立，即m=0（-4舍去）时，最小值为4.
（4）解：设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝16
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：16＝4：S△AOD
∴S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4＋16＋x＋ ≥20＋ ＝36
当且仅当x＝8时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为36.
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时， ≥2 ＝2；
当x＜0时， ＝ （ x ）
∵ x ≥2 ＝2
∴ （ x ）≤ 2
∴当x＞0时，x＋ 的最小值为2；当x＜0时，x＋ 的最大值为 2.
故答案为：2； 2；
（ 2 ）y=a+ = a-1+ +1
∵a-1＞0
∴y=a-1+ +1≥ +1=2×4+1=9
故答案为：9；
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于 x＞0， ＞0，则也可以按照公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）来计算；（2）将y=a+ 变形为y=a-1+ +1，故可根据公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）进行求解；（3）将代数式 变形得 ，故可根据公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）进行求解；（4）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝16，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 单元测试
考试时间：90分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020八下·南通月考）下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程 的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故答案为：C
【分析】观察表格，y的值为0 ，找绝对值最接近0的即为近似根.
2．已知方程3x2+4x=0，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根 B．只有一个根x=0
C．有两个根，x1=0，x2= - D．有两个根，x1=0，x2=
【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：因为3x2+4x=0 ，故x= = ，x1=0，x2= - 故答案为：C
【分析】利用求根公式求得方程的根即可选出正确答案.
3．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入求根公式正确的是 （ ）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：把方程3x2＋4＝12x化为一般式，得3x2－12x＋4＝0，此时a＝3，b＝－12，c＝4.故答案为：D.
【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解即可.
4．（2020八下·北仑期末）一元二次方程x2﹣3 x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2﹣3 x+6＝0，
△＝（﹣3 ）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3 x+6＝0的根的情况为没有实数根，
故答案为：D.
【分析】求出b2-4ac的值，再根据其值可得此方程的根的情况。
5．（2020八上·上海期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
6．（2020八上·浦东月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为（ ）
A．(x-2)2=9 B．(x-2)2=13 C．(x+2)2=9 D．(x+2)2=13
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-9=0，
∴ x2-4x=9，
∴ x2-4x+4=9+4，
∴（x-2）2=13.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤，先把方程化成x2-4x=9的形式，两边同时加上4，把左边写成完全平方的形式，即可求解.
7．（2019八上·徐汇期中）方程 的根为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（4x-1）2=1，
∴4x-1=1或4x-1=-1，
解得： ， ,
故答案为：C．
【分析】两边直接开平方法求解可得．
8．（2020八下·杭州期末）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m ，设原来花圃长边为xm，可列方程（ ）
A．x +5x=15 B．x2-5x=15 C．(x-5)2=15 D．x2-25=15
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 扩大后的花圃形状为正方形，边为xm
∴面积=x2
原长方形花圃，它的宽为5m，长边为xm
∴面积=5x
扩大后的花圃形面积比原来增加15m
∴x2-5x=15
故答案为：B
【分析】根据正方形和长方形的面积公式以及边长增加前后面积的变化列方程即可.
9．（2017八上·云南期中）九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A． x(x－1)＝2070 B． x(x＋1)＝2070
C．x(x＋1)＝2070 D．x(x－1)＝2070
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设全班有 x 名学生，由题意可得 .
故答案为：D.
【分析】设全班有 x 名学生，则每人都送出了 (x -1)张照片，因此全班共送出照片想x（x-1）张，根据全班共送了2070张相片列出方程。
10．（2020八下·八步期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ， =－2
∴ = = 5.
故答案为：B.
【分析】可以把 变形为 的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解.
二、填空题
11．（2020八上·浦东月考）已知一元二次方程x2+2x+m=0的一个根是-1，则m的值为 。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程 x2+2x+m=0 ，
得：1-2+m=0，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，把x=-1代入方程 x2+2x+m=0 ，得出1-2+m=0，解方程求出m的值，即可求解.
12．（2020八上·上海期中）方程 的根是 ．
【答案】x1=1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x1=1，x2=3，
故答案为：x1=1，x2=3．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。
13．（2020八下·哈尔滨月考）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡 只．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得 ，
解得 （不正确舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出正确的值即可．
14．（2020八下·滨江期末）超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： .
【答案】（12-x）（100+2x）=1400
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每箱降价x元，则每天的销售量为 箱，每箱利润为 元
由题意得：
故答案为： .
【分析】先求出降价后的销售量和每箱利润，再根据“利润 每箱利润 销售量”即可得.
15．一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字母互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是 .
【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x）
根据题意可知
（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736
x2-5x+6=0
解得，x1=2，x2=3
∴5-x=2或5-x=3
∴原来的两位数为23或32
【分析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x），根据新数字和原来的数字二者的积为736，即可得到关于x的一元二次方程，就出答案即可。
16．（2020八上·宁波开学考）已知实数 满足 ，则 的值是 .
【答案】18
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=6-y,
∴x+y=6,
∵z2=xy-9,
∴xy=z2+9,
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根,
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0,
∴z=0,
∴△=0，
∴x=y,
∴x=6-x,
∴x=3, y=3,
∴ .
故答案为：18.
【分析】先通过变形可知，x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根, 利用△=≥0列式可得z=0，方程有两个相等的实数根，从而求出x、y的值，则值可求。
三、综合题
17．（2019八上·上海月考）如果 ，求 的值.
【答案】解：设
则原方程可化为： ，即：
因式分解得：
解得： ，
又∵ ，
∴
即
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】把 看成一个整体，设 ，然后将原方程整理为关于a的方程求解即可.
18．（2020八下·镇海期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程整理得： ，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：原方程移项得： ，
提公因式得： ，
∴ 或 ，
∴ ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可.
19．（2020八下·玄武期末）已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）若该方程有一个根为4，求m的值.
【答案】（1）解：方法1：(x－m)2＋2(x－m)＝0，即(x－m)(x－m＋2)＝0
∴x1＝m，x2＝m－2
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
方法2：∵ (x－m)2＋2(x－m)＝0，即x2－2mx＋m2＋2x－2m＝0
即x2＋(2－2m)x＋m2－2m＝0
a＝1，b＝2－2m，c＝m2－2m
b2－4ac＝(2－2m)2－4(m2－2m)＝4＞0.
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：方法1：∵该方程有一个根为4
∴m＝4或m－2＝4
∴m＝4或6 .
方法2：∵该方程有一个根为4，
∴(4－m)2＋2(4－m)＝0
即m2－10m＋24＝0解得m＝4或6
方法3：x＝ ＝ ＝ ，
解得x1＝m，x2＝m－2.
∴m＝4或m－2＝4
即m＝4或6 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x=4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论.
20．（2020八下·长兴期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元。为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？
（2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）解：由题意得：
20+5×2=30.
答：若每件衬衫降价5元，商场可售出30件.
（2）解：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价x元，根据题意得
（40-x）（20+2x）=1200
解之：x1=10，x2=20
答：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价10元或20元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，由此可求出结果。
（2）根据每一件的利润×销售量=1200，设未知数，列方程求出方程的解即可。
21．（2020八下·莒县期末）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约 万平方米，预计 年绿化面积约为 万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为 元，若 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么 年的绿化投资成本需要多少元？
【答案】（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程
1000（1+x）2=1210
解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去）
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）解： （万平方米）
（元）
答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．根据“2018年绿化面积约 1000 万平方米，预计 2020 年绿化面积约为 1210 万平方米”，即可列出方程解答；（2）计算出2021年的绿化面积，即可解答．
22．（2020八下·柯桥月考）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）可以达到30cm2吗？请说明理由.
【答案】（1）解：设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x2-9x+8=0
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
（2）解：它的侧面积可以达到30cm2.理由如下：
设剪去的正方形边长为ycm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2（8-2y）y+2× y=30，得该方程没有实数解.
若按图2所示的方法剪折，
解方程2（10-2y）y+2× y=30，
得y1= ，y2=3.
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为 cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形边长为xcm，根据长方形的面积公式可列方程（10-2x）（8-2x）=48，解这个方程，把不合题意的解舍去，即可得到本题答案；
（2）设剪去的正方形边长为ycm，共有两种剪法：①如图1，此时有2（8-2y）y+2× y=30，解得本方程无实数解；②如图2，此时可列方程2（10-2y）y+2× y=30，解此方程，即可得本小题答案.
23．（2020八下·越城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）
求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD＝ S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝5cm，且∠ADB＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2
∴AD＝12cm．
（2）解：AP＝t，PD＝12﹣t，
又∵由△PDM面积为 PD×DC＝15，
解得PD＝6，∴t＝6．
（3）解：假设存在t，
使得S△PMD＝ S△ABC．
①若点M在线段CD上，
即 时，PD＝12﹣t，DM＝5﹣2t，
由S△PMD＝ S△ABC，
即 ，
2t2﹣29t+50＝0
解得t1＝12.5（舍去），t2＝2．
②若点M在射线DB上，即 ．
由S△PMD＝ S△ABC
得 ，
2t2﹣29t+70＝0
解得 ， ．
综上，存在t的值为2或 或 ，使得S△PMD= △ABC．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）等腰三角形性质和勾股定理解答即可；（2）根据直角三角形面积求出PD×DC× ＝15即可求出t；（3）根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．
24．（2020八下·射阳期中）我们已经知道(a﹣b)2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0.所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0.
∵( )2≥0，∴a﹣2 +b≥0，∴a+b≥2 (当且仅当a=b时取等号).
阅读2：若函数y=x (m＞0，x＞0，m为常数).由阅读1结论可知：x 即x ∴当x 即x2=m，∴x= (m＞0)时，函数y=x 的最小值为2 .
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）问题1：当x＞0时， 的最小值为 ；当x＜0时， 的最大值为 .
（2）问题2：函数y=a+ (a＞1)的最小值为 .
（3）问题3：求代数式 (m＞﹣2)的最小值，并求出此时的m的值.
（4）问题4：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和16，求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】（1）2； 2
（2）9
（3）解： =
∵m＞﹣2，
∴ ≥ =4
当m+2= 时成立，即m=0（-4舍去）时，最小值为4.
（4）解：设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝16
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：16＝4：S△AOD
∴S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4＋16＋x＋ ≥20＋ ＝36
当且仅当x＝8时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为36.
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时， ≥2 ＝2；
当x＜0时， ＝ （ x ）
∵ x ≥2 ＝2
∴ （ x ）≤ 2
∴当x＞0时，x＋ 的最小值为2；当x＜0时，x＋ 的最大值为 2.
故答案为：2； 2；
（ 2 ）y=a+ = a-1+ +1
∵a-1＞0
∴y=a-1+ +1≥ +1=2×4+1=9
故答案为：9；
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于 x＞0， ＞0，则也可以按照公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）来计算；（2）将y=a+ 变形为y=a-1+ +1，故可根据公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）进行求解；（3）将代数式 变形得 ，故可根据公式a＋b≥2 （当且仅当a＝b时取等号）进行求解；（4）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝16，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可.
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