初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·宁县月考）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·深圳期中）二次根式 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·青岛月考）在式子 中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2020八下·卫辉期末）函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
5．（2020八下·北京期末）若 有意义，则m的取值的最小整数值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2020八下·邯郸月考）若 ，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
7．（2020八下·沧县月考）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·铁东期中）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．12
9．等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
二、填空题
10．（2020八上·金塔期中）当x 时， 有意义
11．（2020八上·上海期中）代数式 中，字母x的取值范围是
．
12．（2020八下·杭州期中）要使二次根式 有意义，则a的取值范围是 。
13．已知 ,则 = .
14．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
三、综合题
15．（2020八下·金山月考）解方程：
16．（2020八下·三门峡期末）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋ ＋3 ，求此三角形的周长.
17．（2020八下·射阳期中）若x, y为实数， , 求 的值.
18．（2019八下·黄石期中）已知a，b，c为实数且c＝ + ，求代数式c2﹣ab的值.
19．（2019八下·蔡甸月考）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足 ，
（1）求A点的坐标及线段OA的长度；
（2）点P为x轴正半轴上一点，且△AOP是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）如图2，若B（1，0），C（0，－3），试确定∠ACO+∠BCO的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： 、 不含二次根号，故 、 错误；
， 无意义，故 错误.
是二次根式，故 正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义“(a≥0)”即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
a-2≥0，
解得，a≥2．
故答案为：A．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此回答．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：根据二次根式的定义，二次根式有 ， ， ， ， 共5个．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的定义满足被开方数为非负数，根指数为2即可．
4．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得 ，解得 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式的意义列不等式进行计算即可得解.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得 ，解得： ，所以m能取得的最小整数值是m=3．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的范围，进一步即得答案．
6．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴x-1=0，x+y=0，
故答案为：C
【分析】根据非负数的性质即可得解.
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、y= 有意义，∴2-x≥0，解得x≤2；
B、y= 有意义，∴x-2＞0，解得x＞2；
C、y= 有意义，∴4-x2≥0，解得-2≤x≤2；
D、y= 有意义，∴x+2≥0且x-2≥0，解得x≥2；
分析可得D符合条件；
故答案为：D．
【分析】根据分式与二次根式有意义的条件依次分析四个选项，比较哪个选项符合条件，可得答案．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵ ，且 是整数
∴ 是整数
∴3n是完全平方数
∴满足条件的最小正整数n为3.
故答案为：C
【分析】由 是整数，可知3n是完全平方数，则可得出满足条件的最小正整数n为3.
9．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由原式成立得x0，x-3>0，解之得x>3，故选D．
【分析】根据题意列出x的取值范围不等式，并正确求解即可求出正确答案．
10．【答案】=0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】二次根式 有意义，
则 ；
二次根式 有意义，
则 ，即 ；
∴当 时， 有意义，
故答案为：=0.
【分析】利用二次根式的性质：被开方数是非负数，可求出x的值。
11．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得： ；
故答案为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求x的取值范围即可。
12．【答案】a<
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
1-2a＞0
解之：.
故答案为：.
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数，建立关于a的不等式，然后求出不等式的解集。
13．【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得,解得a=2.将a=2代入 得2b=b+3，解得b=3，∴a+b=2+3=5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出a的值，将a的值代入方程即可算出b的值，从而利用有理数的加法法则算出代数式的值.
14．【答案】26
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
15．【答案】解：方程两边同时平方，得 ，
整理，得 ，即 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解．
∴原方程的解是： ．
【知识点】二次根式有意义的条件；等式的性质
【解析】【分析】根据解无理方程的方法解答即可．
16．【答案】解：∵b＝4＋ ，
∴ ，解得：a=2，
∴b=4，
①当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；
②当边长为4，4，2时，符合实际情况，
∴ 4×2＋2＝10，
∴此三角形的周长为10.
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】首先由二次根式的被开方数是非负数列出不等式组求得a的值，进一步求得b的值，再分a为腰和b为腰两种情况讨论，同时根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的计算出周长.
17．【答案】解：由题意得：x2-4≥0，x2-4≤0，
x2≥4，x2≤4，
所以，x2=4，
∵x+2≠0，
∴x=2，
y= ，
所以， .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解.
18．【答案】解：根据二次根式有意义的条件可得：a-3≥0，3-1≥0，-（b+1）2≥0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝ ，
＝12﹣4 .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可.
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴a=2，
则b=1，
∴A（2，1），
则OA= ＝
（2）解：当OA=OP时，P（ ，0）；
当AO=AP时，如图1，作AH⊥x轴于点H，
则OH=PH=2，
∴OP=4，
∴P（4，0）；
当P′O=P′A时，设P′O=P′A=x，则P′H=2-x，
由AP′2=P′H2+AH2得（2-x）2+12=x2，
解得：x= ，
∴P（ ，0）
（3）解：如图2，在x轴负半轴上取一点，使得OD=OB=1，
则点B与点D关于y轴对称，
∴∠BCO=∠DCO，
∵A（2，1），D（-1，0），C（0，-3），
∴AD2=32+12=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，
∴AD2+CD2=AC2，且AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°
【知识点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性求出a=2，从而可得b=1,即得A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长.
（2）使△AOP是等腰三角形，分三种情况讨论，①当OA=OP时②当AO=AP时③当PO=PA时，分别求出点P的坐标即可.
（3）如图2，在x轴负半轴上取一点，使得OD=OB=1，可得点B与点D关于y轴对称，根据轴对称的性质可得∠BCO=∠DCO，根据勾股定理及逆定理，可判断△ACD是等腰直角三角形且∠ADC=90°， 由∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°可得值不变.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·宁县月考）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： 、 不含二次根号，故 、 错误；
， 无意义，故 错误.
是二次根式，故 正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的定义“(a≥0)”即可判断求解.
2．（2020八上·深圳期中）二次根式 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
a-2≥0，
解得，a≥2．
故答案为：A．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此回答．
3．（2020八上·青岛月考）在式子 中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：根据二次根式的定义，二次根式有 ， ， ， ， 共5个．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的定义满足被开方数为非负数，根指数为2即可．
4．（2020八下·卫辉期末）函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得 ，解得 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式的意义列不等式进行计算即可得解.
5．（2020八下·北京期末）若 有意义，则m的取值的最小整数值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得 ，解得： ，所以m能取得的最小整数值是m=3．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的范围，进一步即得答案．
6．（2020八下·邯郸月考）若 ，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴x-1=0，x+y=0，
故答案为：C
【分析】根据非负数的性质即可得解.
7．（2020八下·沧县月考）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、y= 有意义，∴2-x≥0，解得x≤2；
B、y= 有意义，∴x-2＞0，解得x＞2；
C、y= 有意义，∴4-x2≥0，解得-2≤x≤2；
D、y= 有意义，∴x+2≥0且x-2≥0，解得x≥2；
分析可得D符合条件；
故答案为：D．
【分析】根据分式与二次根式有意义的条件依次分析四个选项，比较哪个选项符合条件，可得答案．
8．（2020八下·铁东期中）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．12
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵ ，且 是整数
∴ 是整数
∴3n是完全平方数
∴满足条件的最小正整数n为3.
故答案为：C
【分析】由 是整数，可知3n是完全平方数，则可得出满足条件的最小正整数n为3.
9．等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由原式成立得x0，x-3>0，解之得x>3，故选D．
【分析】根据题意列出x的取值范围不等式，并正确求解即可求出正确答案．
二、填空题
10．（2020八上·金塔期中）当x 时， 有意义
【答案】=0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】二次根式 有意义，
则 ；
二次根式 有意义，
则 ，即 ；
∴当 时， 有意义，
故答案为：=0.
【分析】利用二次根式的性质：被开方数是非负数，可求出x的值。
11．（2020八上·上海期中）代数式 中，字母x的取值范围是
．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得： ；
故答案为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求x的取值范围即可。
12．（2020八下·杭州期中）要使二次根式 有意义，则a的取值范围是 。
【答案】a<
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
1-2a＞0
解之：.
故答案为：.
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数，建立关于a的不等式，然后求出不等式的解集。
13．已知 ,则 = .
【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得,解得a=2.将a=2代入 得2b=b+3，解得b=3，∴a+b=2+3=5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出a的值，将a的值代入方程即可算出b的值，从而利用有理数的加法法则算出代数式的值.
14．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
【答案】26
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
三、综合题
15．（2020八下·金山月考）解方程：
【答案】解：方程两边同时平方，得 ，
整理，得 ，即 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解．
∴原方程的解是： ．
【知识点】二次根式有意义的条件；等式的性质
【解析】【分析】根据解无理方程的方法解答即可．
16．（2020八下·三门峡期末）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋ ＋3 ，求此三角形的周长.
【答案】解：∵b＝4＋ ，
∴ ，解得：a=2，
∴b=4，
①当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；
②当边长为4，4，2时，符合实际情况，
∴ 4×2＋2＝10，
∴此三角形的周长为10.
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】首先由二次根式的被开方数是非负数列出不等式组求得a的值，进一步求得b的值，再分a为腰和b为腰两种情况讨论，同时根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的计算出周长.
17．（2020八下·射阳期中）若x, y为实数， , 求 的值.
【答案】解：由题意得：x2-4≥0，x2-4≤0，
x2≥4，x2≤4，
所以，x2=4，
∵x+2≠0，
∴x=2，
y= ，
所以， .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解.
18．（2019八下·黄石期中）已知a，b，c为实数且c＝ + ，求代数式c2﹣ab的值.
【答案】解：根据二次根式有意义的条件可得：a-3≥0，3-1≥0，-（b+1）2≥0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝ ，
＝12﹣4 .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可.
19．（2019八下·蔡甸月考）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足 ，
（1）求A点的坐标及线段OA的长度；
（2）点P为x轴正半轴上一点，且△AOP是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）如图2，若B（1，0），C（0，－3），试确定∠ACO+∠BCO的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围
【答案】（1）解：∵ ，
∴a=2，
则b=1，
∴A（2，1），
则OA= ＝
（2）解：当OA=OP时，P（ ，0）；
当AO=AP时，如图1，作AH⊥x轴于点H，
则OH=PH=2，
∴OP=4，
∴P（4，0）；
当P′O=P′A时，设P′O=P′A=x，则P′H=2-x，
由AP′2=P′H2+AH2得（2-x）2+12=x2，
解得：x= ，
∴P（ ，0）
（3）解：如图2，在x轴负半轴上取一点，使得OD=OB=1，
则点B与点D关于y轴对称，
∴∠BCO=∠DCO，
∵A（2，1），D（-1，0），C（0，-3），
∴AD2=32+12=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，
∴AD2+CD2=AC2，且AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°
【知识点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性求出a=2，从而可得b=1,即得A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长.
（2）使△AOP是等腰三角形，分三种情况讨论，①当OA=OP时②当AO=AP时③当PO=PA时，分别求出点P的坐标即可.
（3）如图2，在x轴负半轴上取一点，使得OD=OB=1，可得点B与点D关于y轴对称，根据轴对称的性质可得∠BCO=∠DCO，根据勾股定理及逆定理，可判断△ACD是等腰直角三角形且∠ADC=90°， 由∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠DCO=∠ACD=45°可得值不变.
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