初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·宜城期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果 ，则结论①AB CD；②AB=CD；③ ；④ 中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020八上·奎文期末）如图，在 中，点D在边BC上，过点D作 ， ，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（ ）
A．四边形 是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
3．（2020八上·文登期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）
A． B．
C． D．DE平分
4．（2020八上·黄陂开学考）两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）.
A．2 B． C． D．
5．（2020八下·防城港期末）某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
6．（2020八下·大化期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
7．（2020八下·洛宁期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2020八下·醴陵期末）如图，在 ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（ ）
A．∠A=60 B．DE=DF
C．EF⊥BD D．BD 是∠EDF的平分线
9．（2020八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．一般的四边形
10．（2020八下·曲阜期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是菱形
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为 ．
12．（2020八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为 .
13．（2020八下·丰县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，则四边形周长为 ，面积为 .
14．（2019八下·寿县期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为 ．
三、解答题
15．（2020八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．
16．（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
17．（2020八下·定兴期末）老师布置了一个作业，如下：
已知：如图1 的对角线 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ．求证：四边形 是菱形．
嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：
（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
（2）请你给出本题的符合题意证明过程．
18．（2020八下·曲阳期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？不用证明．
19．（2020八下·海勃湾期末）如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CD，故①正确；
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB=CD，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形；
∴AO=OC，故④正确.
∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的性质得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据等量代换得出∠1=∠4，进而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，根据一组邻边相等且两组对边分别平行的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】
四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；
四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意；
同理
要想四边形AEDF是菱形，只需 ，则需 显然没有这个条件，故C选项符合题意；
∵ ，则 ， ，
四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判定即可。
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当 时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
D、当DE平分 时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，
解得：x= ，
∴CG= ，
∴菱形AGCH的面积=CG AB= ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 .
故答案为：C.
【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作 于E， 于F，如图，
两条彩带宽度相同，
， ， .
四边形 是平行四边形.
.
又 .
，
四边形 是菱形.
故答案为： .
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°
∴OC＝OD，
∴四边形CODE是菱形
∵AB＝4，BC＝3
∴OC＝
∴四边形CODE的周长＝4× ＝10
故答案为：C.
【分析】由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= =8，
∴AE=2OA=16.
故答案为：A.
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】由题意知：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，AB CD
又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，
∴∠ADE=∠FBC，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF，DE=BF
又∵AB=CD，AB CD ，AE=CF
∴DF=BE，DF BE、
∴四边形BFDE是平行四边形．
A、∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
又∵∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
无法判断平行四边形BFDE是菱形．
B、∵DE=DF，
∴平行四边形BFDE是菱形．
C、∵EF⊥BD，
∴平行四边形BFDE是菱形．
D、∵BD 是∠EDF的平分线，
∴∠EDB=∠FDB，
又∵DF//BE，
∴∠FDB=∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=DB，
∴平行四边形BFDE是菱形．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可．
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形， B选项不符合题意；
C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，故C选项不符合题意；
D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的的判定方法判断即可．
11．【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝2 ，
同理：BC＝2 ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2 ，
∴S菱形ABCD＝AD BE＝6 .
故答案为：6 .
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.
13．【答案】52；120
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，
∴四边形ABCD是菱形，OD=5，OA=12
∴
∴四边形的周长为AD×4=13×4=52
面积为 ；
故答案为52，120.
【分析】根据AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四边形ABCD是菱形，从而可求答案.
14．【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB= BF=4，OA= AE．
∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO= =3，
∴AE=2AO=6．
故答案为：6．
【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
15．【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形， ，
，
在 中， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，从而可得 ，然后根据菱形的判定即可得证．
16．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.
17．【答案】（1）解：能；嘉琪同学错在 和 并不是互相平分的， 垂直平分 ，
但未证明 垂直平分 ，需要通过证明得出
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵∠AOF=∠EOC．
∴ ．
∴ ．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵ 垂直平分 ．
∴ 与 互相垂直平分．
∴四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）题目中只说对角线 的垂直平分线是 ，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能说明四边形是平行四边形，故后面的结论不对，由此可知嘉琪的不符合题意；（2）根据 是 的垂直平分线，所以 ，由 ．推出 ，再结合对顶角，证明 ，可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直，可证明菱形．
18．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN
∴△MBA≌△NDC（SAS）
（2）解：四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，∠MDQ=∠NBP，DQ=BP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，MQ= BM，
∵MP= BM
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形，连接AN，由(1)可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
19．【答案】（1）解：根据题意可得： ，
解得： ，
∴点D坐标(2，4)
（2）解：∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B(0，8)，点A(4，0)．
∵直线y x+3交y轴于点C，
∴点C(0，3)．
∵AE∥y轴交直线y x+3于点E，
∴点E(4，5)
∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，
∴BC=5，AE=5，AC 5，BE 5，
∴BC=AE=AC=BE，
∴四边形ACBE是菱形
（3）解：∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，
∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，
∴△ACG≌△BGF(AAS)，
∴BG=AC=5，
设点G(a，﹣2a+8)，
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，
∴a=± ，
∵点G在线段AB上，
∴a ，
∴点G( ，8﹣2 )
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标； (2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形； (3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．
1 / 1初中数学浙教版八年级下册5.2.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·宜城期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果 ，则结论①AB CD；②AB=CD；③ ；④ 中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CD，故①正确；
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB=CD，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形；
∴AO=OC，故④正确.
∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的性质得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根据平行线的性质得出∠2=∠3，根据等量代换得出∠1=∠4，进而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，根据一组邻边相等且两组对边分别平行的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质即可一一判断得出答案.
2．（2020八上·奎文期末）如图，在 中，点D在边BC上，过点D作 ， ，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（ ）
A．四边形 是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】
四边形AEDF是平行四边形，故A选项不符合题意；
四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是矩形，故B选项不符合题意；
同理
要想四边形AEDF是菱形，只需 ，则需 显然没有这个条件，故C选项符合题意；
∵ ，则 ， ，
四边形AEDF是矩形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判定即可。
3．（2020八上·文登期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）
A． B．
C． D．DE平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、当 时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
D、当DE平分 时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项分析即可。
4．（2020八上·黄陂开学考）两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）.
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，
解得：x= ，
∴CG= ，
∴菱形AGCH的面积=CG AB= ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 .
故答案为：C.
【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积.
5．（2020八下·防城港期末）某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作 于E， 于F，如图，
两条彩带宽度相同，
， ， .
四边形 是平行四边形.
.
又 .
，
四边形 是菱形.
故答案为： .
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.
6．（2020八下·大化期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°
∴OC＝OD，
∴四边形CODE是菱形
∵AB＝4，BC＝3
∴OC＝
∴四边形CODE的周长＝4× ＝10
故答案为：C.
【分析】由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案.
7．（2020八下·洛宁期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= =8，
∴AE=2OA=16.
故答案为：A.
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长.
8．（2020八下·醴陵期末）如图，在 ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（ ）
A．∠A=60 B．DE=DF
C．EF⊥BD D．BD 是∠EDF的平分线
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】由题意知：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，AB CD
又∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，
∴∠ADE=∠FBC，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF，DE=BF
又∵AB=CD，AB CD ，AE=CF
∴DF=BE，DF BE、
∴四边形BFDE是平行四边形．
A、∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
又∵∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
无法判断平行四边形BFDE是菱形．
B、∵DE=DF，
∴平行四边形BFDE是菱形．
C、∵EF⊥BD，
∴平行四边形BFDE是菱形．
D、∵BD 是∠EDF的平分线，
∴∠EDB=∠FDB，
又∵DF//BE，
∴∠FDB=∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=DB，
∴平行四边形BFDE是菱形．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐项进行分析判断即可．
9．（2020八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．一般的四边形
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.
10．（2020八下·曲阜期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项不符合题意；
B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形， B选项不符合题意；
C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，故C选项不符合题意；
D、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的的判定方法判断即可．
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为 ．
【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.
12．（2020八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为 .
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝2 ，
同理：BC＝2 ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2 ，
∴S菱形ABCD＝AD BE＝6 .
故答案为：6 .
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.
13．（2020八下·丰县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，则四边形周长为 ，面积为 .
【答案】52；120
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，
∴四边形ABCD是菱形，OD=5，OA=12
∴
∴四边形的周长为AD×4=13×4=52
面积为 ；
故答案为52，120.
【分析】根据AC与BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四边形ABCD是菱形，从而可求答案.
14．（2019八下·寿县期末）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB= BF=4，OA= AE．
∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO= =3，
∴AE=2AO=6．
故答案为：6．
【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
三、解答题
15．（2020八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形， ，
，
在 中， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，从而可得 ，然后根据菱形的判定即可得证．
16．（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.
17．（2020八下·定兴期末）老师布置了一个作业，如下：
已知：如图1 的对角线 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ．求证：四边形 是菱形．
嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：
（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
（2）请你给出本题的符合题意证明过程．
【答案】（1）解：能；嘉琪同学错在 和 并不是互相平分的， 垂直平分 ，
但未证明 垂直平分 ，需要通过证明得出
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵∠AOF=∠EOC．
∴ ．
∴ ．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵ 垂直平分 ．
∴ 与 互相垂直平分．
∴四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）题目中只说对角线 的垂直平分线是 ，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能说明四边形是平行四边形，故后面的结论不对，由此可知嘉琪的不符合题意；（2）根据 是 的垂直平分线，所以 ，由 ．推出 ，再结合对顶角，证明 ，可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直，可证明菱形．
18．（2020八下·曲阳期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？不用证明．
【答案】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= AD，CN= BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN
∴△MBA≌△NDC（SAS）
（2）解：四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵DM=BN，∠MDQ=∠NBP，DQ=BP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= AN，MQ= BM，
∵MP= BM
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形，连接AN，由(1)可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
19．（2020八下·海勃湾期末）如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可得： ，
解得： ，
∴点D坐标(2，4)
（2）解：∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B(0，8)，点A(4，0)．
∵直线y x+3交y轴于点C，
∴点C(0，3)．
∵AE∥y轴交直线y x+3于点E，
∴点E(4，5)
∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，
∴BC=5，AE=5，AC 5，BE 5，
∴BC=AE=AC=BE，
∴四边形ACBE是菱形
（3）解：∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，
∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，
∴△ACG≌△BGF(AAS)，
∴BG=AC=5，
设点G(a，﹣2a+8)，
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，
∴a=± ，
∵点G在线段AB上，
∴a ，
∴点G( ，8﹣2 )
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标； (2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形； (3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．
1 / 1
