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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习
一、单选题
1．（2019八下·瑞安期中）用配方法解一元二次方程，将 化成 的形式，则 、 的值分别是（ ）
A． 3,11 B．3,11 C． 3,7 D．3,7
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+2=0，
x2-6x=-2，
x2-6x+9=-2+9，
（x-3）2=7，
则a=-3，b=7．
故答案为：C．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．
2．（2020八上·南通期中）将多项式 变为 的形式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】配方法：把一个二次三项式配成完全平方式，二次项的系数为1，加上一次项系数一半的平方即可，为使得式子值不变，加上的数还得减去，即即可。
3．（2020八下·哈尔滨月考）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 变形中，正确的有（ ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ；①符合题意
，②不符合题意；
，③不符合题意；
，④符合题意
，⑤不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用配方法进行变形，逐个判断
4．（2020八下·岑溪期末）一元二次方程 配方后可化为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：B.
【分析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，据此即可求解.
5．（2020八下·萧山期末）下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-x-2=0
∴x2-2x=4
x2-2x+1=4+1
（x-1）2=5
∴
∴，错在第4步.
故答案为：D.
【分析】观察解答过程可知正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得出出现错误的步骤。
6．（2017·河西模拟）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100
B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=
D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．
故选：B．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
二、填空题
7．（2020八下·扬州期中）当x= 时，代数式 与x-1的值相等.
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
8．（2019八上·徐汇期中）方程 的解为 ；
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
y=3
故答案为：3.
【分析】利用完全平方公式y的值，即可解答．
9．（2019八下·温州期末）用配方法解一元二次方程x2-mx=1时，可将原方程配方成(x-3)2=n，则m+n的值是 .
【答案】16
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：由题意得： x2-mx-1=(x-3)2-n=x2-6x+9-n ，则-m=-6,∴m=6, -1=9-n, ∴n=10，
∴m+n=10+6=16.
【分析】因为配方成的方程和原方程是等价的，故只要把两个方程展开合并，根据方程的每项系数相等列式求解即可求出m+n的值。
10．（2019八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： x2-2 x+1=0
∵x≠0
∴
∴=12-4=8
∴ x- =±
【分析】将原方程转化为，再将 x- ，转化为，然后代入计算，开方就可求出结果。
11．（2020八下·江苏月考） ，则 = .
【答案】5
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】 = = =5，
故答案为：5.
【分析】将 利用完全平方公式分解后再将x的值代入计算.
三、综合题
12．用配方法解方程：
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】结合完全平方公式的性质，利用配方法解出答案即可。
13．（2020八下·吉林期中）已知 ，当 取何值时
【答案】当 时， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当 时， ．
【分析】利用 ，建立一元二次方程求解即可．
14．（2020八上·渝北月考）配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为 ，所以5是“完美数”.
（1）解决问题：
①已知29是“完美数”，请将它写成 （a，b是整数）的形式 .
②若 可配方成 （m，n为常数），则 的值 .
（2）探究问题：
①已知 ，则 的值_▲_.
②已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）拓展结论：已知实数x，y满足 ，求 的最小值.
【答案】（1）；2
（2）解：①
② ，
S若为完美数， ， ；
（3）解：拓展结论： ，
，
，
当 时， 取最小值为4.
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）解决问题：① ；
② ，
， ，
∴ ；
（ 2 ）探究问题：① ，
，
，
， ，
∴ ；
【分析】（1）解决问题：①29可以写成5的平方加上2的平方；② 只要再加上4就可以凑成完全平方的形式，所以把5分成4和1；（2）探究问题：①把式子左边凑成两个完全平方式，利用平方式的非负性求出x和y的值；②同①的方法把式子先凑成两个完全平方式加上一个常数项的形式，令常数项为零，那么S就是“完美数”；（3）拓展结论：根据所给的式子，通过移项得到 ，对式子右边进行配方，求出最小值.
15．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
【答案】（1）解：∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=﹣1，a=3，
则a﹣b=4
（2）解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，
∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a﹣1=0，b﹣3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7
（3）解：∵x+y=2，
∴y=2﹣x，
则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，
∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，
则x﹣1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=﹣2，
∴xyz=2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照材料可以将所给代数式分两组进行配方，配方后利用二次方的非负性可求得a，b的值，即可求得a-b的值；（2）先根据配方法求得a，b的值，再利用三角形为等腰三角形及三角形三边关系可得到三角形三边长，进而可求得三角形的周长；（3）将二元一次方程变形后代入第二个方程，再进行配方法，即可求得x，z的值，从而可求得y的值，即可求得xyz的值.
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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习
一、单选题
1．（2019八下·瑞安期中）用配方法解一元二次方程，将 化成 的形式，则 、 的值分别是（ ）
A． 3,11 B．3,11 C． 3,7 D．3,7
2．（2020八上·南通期中）将多项式 变为 的形式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·哈尔滨月考）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 变形中，正确的有（ ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
4．（2020八下·岑溪期末）一元二次方程 配方后可化为( )
A． B． C． D．
5．（2020八下·萧山期末）下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是( )
A．① B．② C．③ D．④
6．（2017·河西模拟）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100
B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=
D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
二、填空题
7．（2020八下·扬州期中）当x= 时，代数式 与x-1的值相等.
8．（2019八上·徐汇期中）方程 的解为 ；
9．（2019八下·温州期末）用配方法解一元二次方程x2-mx=1时，可将原方程配方成(x-3)2=n，则m+n的值是 .
10．（2019八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
11．（2020八下·江苏月考） ，则 = .
三、综合题
12．用配方法解方程：
13．（2020八下·吉林期中）已知 ，当 取何值时
14．（2020八上·渝北月考）配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为 ，所以5是“完美数”.
（1）解决问题：
①已知29是“完美数”，请将它写成 （a，b是整数）的形式 .
②若 可配方成 （m，n为常数），则 的值 .
（2）探究问题：
①已知 ，则 的值_▲_.
②已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）拓展结论：已知实数x，y满足 ，求 的最小值.
15．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+2=0，
x2-6x=-2，
x2-6x+9=-2+9，
（x-3）2=7，
则a=-3，b=7．
故答案为：C．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】配方法：把一个二次三项式配成完全平方式，二次项的系数为1，加上一次项系数一半的平方即可，为使得式子值不变，加上的数还得减去，即即可。
3．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ；①符合题意
，②不符合题意；
，③不符合题意；
，④符合题意
，⑤不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用配方法进行变形，逐个判断
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：B.
【分析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，据此即可求解.
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-x-2=0
∴x2-2x=4
x2-2x+1=4+1
（x-1）2=5
∴
∴，错在第4步.
故答案为：D.
【分析】观察解答过程可知正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得出出现错误的步骤。
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．
故选：B．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
7．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
8．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
y=3
故答案为：3.
【分析】利用完全平方公式y的值，即可解答．
9．【答案】16
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：由题意得： x2-mx-1=(x-3)2-n=x2-6x+9-n ，则-m=-6,∴m=6, -1=9-n, ∴n=10，
∴m+n=10+6=16.
【分析】因为配方成的方程和原方程是等价的，故只要把两个方程展开合并，根据方程的每项系数相等列式求解即可求出m+n的值。
10．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： x2-2 x+1=0
∵x≠0
∴
∴=12-4=8
∴ x- =±
【分析】将原方程转化为，再将 x- ，转化为，然后代入计算，开方就可求出结果。
11．【答案】5
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】 = = =5，
故答案为：5.
【分析】将 利用完全平方公式分解后再将x的值代入计算.
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】结合完全平方公式的性质，利用配方法解出答案即可。
13．【答案】当 时， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当 时， ．
【分析】利用 ，建立一元二次方程求解即可．
14．【答案】（1）；2
（2）解：①
② ，
S若为完美数， ， ；
（3）解：拓展结论： ，
，
，
当 时， 取最小值为4.
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）解决问题：① ；
② ，
， ，
∴ ；
（ 2 ）探究问题：① ，
，
，
， ，
∴ ；
【分析】（1）解决问题：①29可以写成5的平方加上2的平方；② 只要再加上4就可以凑成完全平方的形式，所以把5分成4和1；（2）探究问题：①把式子左边凑成两个完全平方式，利用平方式的非负性求出x和y的值；②同①的方法把式子先凑成两个完全平方式加上一个常数项的形式，令常数项为零，那么S就是“完美数”；（3）拓展结论：根据所给的式子，通过移项得到 ，对式子右边进行配方，求出最小值.
15．【答案】（1）解：∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=﹣1，a=3，
则a﹣b=4
（2）解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，
∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a﹣1=0，b﹣3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7
（3）解：∵x+y=2，
∴y=2﹣x，
则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，
∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，
则x﹣1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=﹣2，
∴xyz=2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照材料可以将所给代数式分两组进行配方，配方后利用二次方的非负性可求得a，b的值，即可求得a-b的值；（2）先根据配方法求得a，b的值，再利用三角形为等腰三角形及三角形三边关系可得到三角形三边长，进而可求得三角形的周长；（3）将二元一次方程变形后代入第二个方程，再进行配方法，即可求得x，z的值，从而可求得y的值，即可求得xyz的值.
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