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【精彩练习】初中数学浙教八下1.2二次根式的性质(2)
一、练就好基础基础达标
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简 的正确结果是（ ）
A．4 B．±4． C．2 D．±2
3．若一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形的斜边长是（ ）
A．3 cm B．3 cm C．9cm D．27 cm
4．下列式子中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．化简： = ， = ， = ， =
6．化简： = ， = ， = ， = ， =
7．
（1）设 =a， =b，则 用含a，b的代数式表示为 =
（2）若 =a，则 用含a的代数式表示为 = ．
8．若a是正整数， 是最简二次根式，则a的最小值为
9．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
10．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、更上一层楼能力提升
11．边长为8的等边三角形的高为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．4
12．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
13．已知一个直角三角形的两边长分别是 与 ，求第三边的长．
14．古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：S= ，其中a，b，c为三角形的三边长，p= ．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求该三角形的面积．
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？此时PQ的长度是多少厘米？ (结果用最简二次根式表示)
三、开拓新思路拓展创新
16．
（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：
① = ， =
② = ， =
③ = ， =
（2）根据上述规律写出 与 的关系：
（3）请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、=2，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长是cm.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得出直角三角形的斜边长是，再进行计算，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故c正确；
D、，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则逐项进行计算，即可得出答案.
5．【答案】；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行计算，即可得出答案.
6．【答案】；；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行 计算，即可得出答案.
7．【答案】（1）ab
（2）100a
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
（2）∵，
∴
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则变形，即可得到结果；
（2） 原式变形后，利用二次根式的性质进行化简，即可得到结果.
8．【答案】3
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ a是正整数， 是最简二次根式，
∴=，
当a=1时，=3，当a=2时，=2，都不是最简二次根式，
当a=3时，=，是最简二次根式，
∴a的最小值为3.
【分析】把变形为，根据最简二次根式的定义进行判断，即可的答案.
9．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质进行化简即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法即可；
（5）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（6）先把被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可.
10．【答案】（1）解：原式= =0.5×0. 6=0.3
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式= =2×104
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简，再计算乘除法即可；
（3）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（4）先计算被开方数，再根据二次根式的性质进行化简即可.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC，
∴AB=8，BD=4，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=8，BD=4，再根据勾股定理求出AD的长，即可得出答案.
12．【答案】（1）x≥1
（2）0
（3）x≥3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∴ x≥1；
（2）根据题意得：，
∴ 0（3）根据题意得：，
∴ x≥3.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案.
13．【答案】解：①若第三边为斜边．则它的长为 =2；
②若第三边为直角边，则它的长为
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【分析】分两种情况讨论：当第三边为斜边时，当第三边为直角边时，根据勾股定理分别求解即可.
14．【答案】解：设a=2，b=3，c=4，
∴p=
∴S=
=
=
∴该三角形的面积为
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】设a=2，b=3，c=4，先求出p的值， 再把a，b，c，p的值代入原式进行计算 ，即可得出答案.
15．【答案】解：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，
则有PB=x厘米，BQ=2x厘米，
依题意，得 x·2x=35，所以x2 = 35，
解得x1= ，x2=- (舍去)，
所以 秒后△PBQ的面积为35平方厘米。
PQ= (厘米)．
答： 秒后△PBQ的面积为35平方厘米，此时PQ的长度为 厘米．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】 设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，得出PB=x厘米，BQ=2x厘米，利用三角形面积公式列出方程，解方程求出x的值，从而得出PB，BQ的值，再根据勾股定理得出PQ的值，即可得出答案.
16．【答案】（1）；；；；；
（2）解：由（1）得：，
，
，
∴；
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①，；
②，；
③，；
【分析】（1）各式根据二次根式的性质分别进行计算，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论得出规律，即可得出答案；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可.
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【精彩练习】初中数学浙教八下1.2二次根式的性质(2)
一、练就好基础基础达标
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、=2，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．化简 的正确结果是（ ）
A．4 B．±4． C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
3．若一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形的斜边长是（ ）
A．3 cm B．3 cm C．9cm D．27 cm
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长是cm.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得出直角三角形的斜边长是，再进行计算，即可得出答案.
4．下列式子中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故c正确；
D、，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则逐项进行计算，即可得出答案.
5．化简： = ， = ， = ， =
【答案】；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行计算，即可得出答案.
6．化简： = ， = ， = ， = ， =
【答案】；；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行 计算，即可得出答案.
7．
（1）设 =a， =b，则 用含a，b的代数式表示为 =
（2）若 =a，则 用含a的代数式表示为 = ．
【答案】（1）ab
（2）100a
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
（2）∵，
∴
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则变形，即可得到结果；
（2） 原式变形后，利用二次根式的性质进行化简，即可得到结果.
8．若a是正整数， 是最简二次根式，则a的最小值为
【答案】3
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ a是正整数， 是最简二次根式，
∴=，
当a=1时，=3，当a=2时，=2，都不是最简二次根式，
当a=3时，=，是最简二次根式，
∴a的最小值为3.
【分析】把变形为，根据最简二次根式的定义进行判断，即可的答案.
9．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质进行化简即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法即可；
（5）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（6）先把被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可.
10．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式= =0.5×0. 6=0.3
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式= =2×104
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简，再计算乘除法即可；
（3）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（4）先计算被开方数，再根据二次根式的性质进行化简即可.
二、更上一层楼能力提升
11．边长为8的等边三角形的高为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC，
∴AB=8，BD=4，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=8，BD=4，再根据勾股定理求出AD的长，即可得出答案.
12．
（1） 成立的条件是
（2）已知 ，则a的取值范围是
（3）已知 ，则x的取值范围是
【答案】（1）x≥1
（2）0（3）x≥3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∴ x≥1；
（2）根据题意得：，
∴ 0（3）根据题意得：，
∴ x≥3.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可得出答案.
13．已知一个直角三角形的两边长分别是 与 ，求第三边的长．
【答案】解：①若第三边为斜边．则它的长为 =2；
②若第三边为直角边，则它的长为
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【分析】分两种情况讨论：当第三边为斜边时，当第三边为直角边时，根据勾股定理分别求解即可.
14．古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：S= ，其中a，b，c为三角形的三边长，p= ．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求该三角形的面积．
【答案】解：设a=2，b=3，c=4，
∴p=
∴S=
=
=
∴该三角形的面积为
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】设a=2，b=3，c=4，先求出p的值， 再把a，b，c，p的值代入原式进行计算 ，即可得出答案.
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？此时PQ的长度是多少厘米？ (结果用最简二次根式表示)
【答案】解：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，
则有PB=x厘米，BQ=2x厘米，
依题意，得 x·2x=35，所以x2 = 35，
解得x1= ，x2=- (舍去)，
所以 秒后△PBQ的面积为35平方厘米。
PQ= (厘米)．
答： 秒后△PBQ的面积为35平方厘米，此时PQ的长度为 厘米．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】 设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，得出PB=x厘米，BQ=2x厘米，利用三角形面积公式列出方程，解方程求出x的值，从而得出PB，BQ的值，再根据勾股定理得出PQ的值，即可得出答案.
三、开拓新思路拓展创新
16．
（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：
① = ， =
② = ， =
③ = ， =
（2）根据上述规律写出 与 的关系：
（3）请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来：
【答案】（1）；；；；；
（2）解：由（1）得：，
，
，
∴；
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①，；
②，；
③，；
【分析】（1）各式根据二次根式的性质分别进行计算，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论得出规律，即可得出答案；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可.
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