：二次根式期末总复习学案
一．基础知识回顾：
一.二次根式：
式子（ ）叫做二次根式
特别提醒：①二次根式必须注意a_______o这一条件，其结果也是一个非负数即：
_____o ，②二次根式（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式
二次根式的几个重要性质：
①（）2= （a≥0） ②=
③= （a≥0 ,b≥0） ④= (a≥0, b＞0)
特别提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较2和3的大小，可逆用（）2=a(a≥0)将根号外的正数移到根号内再比较被开方数的大小21cnjy.com
最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足条件：
1、被开方数的因数是 ，因式是整式，
2、被开方数不含 的因数或因式。
二次根式的运算：
1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法与合并同类项法则相同21·cn·jy·com
2、二次根式的乘除：
乘除法则：.= （a≥0 ,b≥0） 除法法则：=（a≥0，b＞0）
3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算
特别提醒：①、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去（分母有理化）这一方法进行：如：= = ；②、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；③、二次根式运算的结果一定要化成
典型例举：
二次根式的基本概念：
例1
（1）若式子有意义，则的取值范围是
(2)下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
（3）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
练一练：
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
2．如果实数满足y=，那么的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-221世纪教育网版权所有
3．估算的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4.已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是( )
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二次根式的混合运算
例2
（1）计算：.
（2）计算：
（3）计算：
练一练：
2.计算
与二次根式有关的求值
例3
（1）化简求值：，其中
（2）已知：y=
（3）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
练一练：
1.先化简，再求值：，其中，
2.等腰三角形的一边长为错误！未找到引用源。，周长为错误！未找到引用源。，求这个等腰三角形的腰长21教育网
第一章：二次根式期末总复习学案答案
一．基础知识回顾：
一.二次根式：
式子（ ）叫做二次根式
特别提醒：①二次根式必须注意a_______o这一条件，其结果也是一个非负数即：
___o ，②二次根式（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式
二次根式的几个重要性质：
①（）2= （a≥0） ②=
③= （a≥0 ，b≥0） ④= (a≥0, b＞0)
特别提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较2和3的大小，可逆用（）2=a(a≥0)将根号外的正数移到根号内再比较被开方数的大小21cnjy.com
最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足条件：
1、被开方数的因数是 指数小于2 ，因式是整式，
2、被开方数不含 分母 的因数或因式。
二次根式的运算：
1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 同类 的二次根式进行合并，合并的方法与合并同类项法则相同www.21-cn-jy.com
2、二次根式的乘除：
乘除法则：.= （a≥0 ,b≥0） 除法法则：=___（a≥0，b＞0）
3、二次根式的混合运算顺序：先算 乘方运算 再算 乘除运算 最后算 加减运算
特别提醒：①、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去（分母有理化）这一方法进行：如：= = ；②、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；③、二次根式运算的结果一定要化成 最简二次根式
典型例举：
二次根式的基本概念：
例1
（1）若式子有意义，则的取值范围是
思路分析：根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
解：根据二次根式的性质可知：，即， 又因为分式的分母不能为0， 所以的取值范围是且
(2)下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
思路分析：任何一个二次根式的结果都只有唯一的一个值，且这个值是非负数。
故选择B
（3）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
思路分析：由于，
故选择D
练一练：
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ D ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
2．如果实数满足y=，那么的值是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．-221世纪教育网版权所有
3．估算的值在（ D ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4.已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是( A )
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
5．下列运算正确的是（ D ）
A． B． C． D．
二次根式的混合运算
例2
（1）计算：.
（2）计算：
（3）计算：
练一练：
2.计算
与二次根式有关的求值
例3
（1）化简求值：，其中
思路分析：先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形式，最后把a的值代入计算．21教育网
解：原式===， 当a=+1时，原式=．
（2）已知：y=
解：根据二次根式有意义，得，解得x=，∴y=， ∴==．
（3）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
解：原式=[﹣]?=（﹣）
=
∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
练一练：
1.先化简，再求值：，其中，
解：原式=
当时，原式=
2.等腰三角形的一边长为错误！未找到引用源。，周长为错误！未找到引用源。，求这个等腰三角形的腰长21·cn·jy·com
①当是腰长时，三边分别为、、7，
∵，∴、、7不能组成三角形.
：二次根式期末总复习配套练习
选择题
下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
2.计算(＋×)×结果为( )
A．2 B．12 C．12 D．18
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.在式子中，x可以取2和3的是( )
A． B． C． D．
5.要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
6.若则等于（ ）
A．﹣1 B. 1 C．32014 D．﹣32014
7.的平方根是（ ）
A．±3 B. 3 C.±9 D. 9
8.已知m=1+ ，n=1-，则代数式的值为（ ）
A．9 B．±3 C．3 D．5
9.下列各式计算正确的是（ ）
A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。
10．观察下列各等式：；；；；……，则第n个等式可表示为（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11.化简：（﹣）=
12.计算：=
13.已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22=
14.已知x、y为实数，且，则
15.已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n=
16.若y=﹣2，则（x+y）y=
三．解答题
17计算：（1）
（2）
18.先化简，再求值：（1）其中.
（2），其中.
19.若a+4=(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值
20.已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值
21.一个三角形的三边长分别为，，.
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
已知为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周
长.
23.已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分， 且，求
24.已知：
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求：AC和AB的长
（结果保留二次根式）
26化简下列各式：（1） （2）
：二次根式期末总复习配套练习答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
D
B
A
C
C
C
解答题
17计算：（1）
（2）
18.先化简，再求值：（1）其中.
解：原式=当时，，可知
故原式=.
（2），其中.
解：.
当时，原式.
19.若a+4=(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值
解：由题意得： a=m2+3n2，b=2mn ∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=1321世纪教育网版权所有
20.已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值
解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
21.一个三角形的三边长分别为，，.
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
解：（1）周长=.
（2）当时，周长.（答案不唯一，只要符合题意即可）
已知为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周
长.
解：由题意可得即
所以，.
当腰长为3时，三角形的三边长分别为3,3,4，周长为10；
当腰长为4时，三角形的三边长分别为4,4,3，周长为11.
23.已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分， 且，求
解：因为，所以的整数部分是2，小数部分是，
所以.所以，
即.
整理，得.
因为，为有理数，所以，,
所以，,所以.
24.已知：
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求：AC和AB的长
（结果保留二次根式）
26化简下列各式：（1） （2）
