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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法-根的判别式及其应用 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·柳江月考）一元二次方程x2=4的根情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2019九上·凤翔期中）关于x的一元二次方程3x2﹣4x+8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2019九上·太原期中）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2019九上·保山期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·孝南月考）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
6．（2019九上·马山月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2019九上·乌拉特前旗期中）若一元二次方程(m－2)x2－4mx＋2m－6＝0有两个相等的实数根，则m等于( )
A．－6 B．1 C．－6或1 D．6
8．（2019九上·博白期中）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
二、填空题
9．（2019九上·汉滨月考）若关于x 的方程(a－1)x2－2x－1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 .
10．（2019九上·交城期中）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 .
11．（2019九上·吉林月考）一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是 。
12．（2019·嘉兴）在 的括号中添加一个关于 的一次项，使方程有两个相等的实数根
13．（2019八下·长兴月考）写出一个无实数根的一元二次方程： ．
三、解答题
14．（2019八上·浦东期中）已知关于的x方程 有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根.
15．若方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简 ．
16．（2019九上·汉滨月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0.求证：无论k 为何值，方程总有实数根；
17．（2019九上·朝阳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）当k取最小整数时，求方程的解。
18．（2019八下·余杭期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2=4 ，
∴x2-4=0，
∴△=b2-4ac=02-4×1×（-4）=16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】首先将方程整理成一般形式，然后算出方程根的判别式的值，根据判别式的值大于0方程有两个不相等的实数根即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
△＝（﹣4）2﹣4×3×8
＝16﹣96
＝﹣80＜0，
∴该方程没有实数根，
故答案为：D.
【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，即可得到答案
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.∵ =16-12=4>0, ∴ 有两个不相等的实数根；
B.∵ =36-36=0, ∴ 有两个相等的实数根；
C.∵ =16+20=36>0, ∴ 有两个不相等的实数根；
D.∵ =25-32=-7<0, ∴ 没有实数根；
故答案为：D.
【分析】算出各个方程根的判别式的值，如果判别式的值大于0，则该方程有两个不相等的实数根；如果判别式的值等于0，则该方程有两个相等的实数根；如果判别式的值小于0，则该方程没有实数根，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得：
△＝4 4a（2 c）＝0，
整理得：4ac 8a＝ 4，
4a（c 2）＝ 4，
∵方程ax2＋2x＋2 c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：c 2＝ ，
则 ＋c＝2，
故答案为：A.
【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2 c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜ ，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0，
解得：m1=﹣6，m2=1，∴m的值为﹣6或1．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和定义得到m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，解方程即可得到m的值．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 是一元二次方程.
∴△>0,即4-4× ×（-1）>0， .
∴ 且 .
故答案为：C.
【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△>0，即4-4× ×（-1）>0，则m的取值范围为 且 .
9．【答案】a≥0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当a 1＝0，即a＝1时，有 2x-1＝0，
解得：x＝
∴a＝1符合题意；
当a 1≠0，即a≠1时，有△＝（ 2）2+4（a 1）＝4a≥0，
解得：a≥0，
∴a≥0且a≠1.
综上可知：a的取值范围为a≥0.
故答案为：a≥0.
【分析】此题需要分类讨论：当a 1＝0，即a＝1时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a 1≠0，即a≠1时方程是一元二次方程，只有当根的判别式的值不为负数的时候，才有实数根，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴
解得： ，
∴ 的取值范围是： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据题意，可知一元二次方程的判别式且k2≠0，列出关于k的不等式组，即可求解.
11．【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：a=1，b=-3，c=1
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5.
【分析】先确定出二次函数中各项的系数，然后将它们代入公式△=b2-4ac计算即可。
12．【答案】 4x（只写一个即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵x2+（ ）+4=0，括号里是关于x的一次式
设x2+bx+4=0
∵此方程有两个相等的实数根
∴b2-16=0
解之：b=±4
故答案为：±4x
【分析】设已知方程为x2+bx+4=0，此有两个不相等的实数根，可得到b2-16=0，解方程求出b的值，就可得到答案。
13．【答案】答案不唯一，如：x2+x+1=0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 由x2+x+1=0得△=b2-4ac=1-4×1=-3<0,无实根；
【分析】一元二次方程a2+bx+c=0无实根的条件是判别式a≠0，△=b2-4ac<0,据此构造方程即可。
14．【答案】解：
=
=
即
当 ， =0
当 ， =0
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】将原方程整理成一般式，根据方程有两个相等的实数根即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k值，将k的值代入原方程解方程即可得出结论．
15．【答案】解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+2）]2-4×1×（m2+5）＞0，即2m-4＞0，
解得，m＞2；
∴ =m- -m+2= ，即 = ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可求出m的取值范围，再根据m＞2化简代数式，即可解答。
16．【答案】解：依题意求出△= =[﹣（k+2）]2-4×1×2k
=k2+4k+4-8k
= k2-4k+4
=(k-2)2≥0，
故无论k 为何值，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】算出方程根的判别式的值，由于该值是一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式后根据偶数次幂的非负性即可得出该值一定是非负数，从而得出结论.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根，
∴(k+1)2-4× k2>0
∴k>
（2）解：∵k取最小整数，
∴k=0
原方程可化为x2+x=0．
∴x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况判断出△的取值范围，并据此列出不等式，其解集即为k的取值范围；
（2）在（1）中求得的k的取值范围中取出k的最小整数值为k=0，将k=0回代到方程中，求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵ ，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）解：∵ ，
∴ ．
①当直角边长为5时， ， ；
②当斜边长为5时， ， ，
∴ 或 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根；依此即可得出答案.
（2）先分别求出一元二次方程的解，再分情况讨论： ①当直角边长为5时， ②当斜边长为5时， 根据勾股定理即可求得m值.
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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法-根的判别式及其应用 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·柳江月考）一元二次方程x2=4的根情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2=4 ，
∴x2-4=0，
∴△=b2-4ac=02-4×1×（-4）=16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】首先将方程整理成一般形式，然后算出方程根的判别式的值，根据判别式的值大于0方程有两个不相等的实数根即可得出答案.
2．（2019九上·凤翔期中）关于x的一元二次方程3x2﹣4x+8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
△＝（﹣4）2﹣4×3×8
＝16﹣96
＝﹣80＜0，
∴该方程没有实数根，
故答案为：D.
【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案.
3．（2019九上·太原期中）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，即可得到答案
4．（2019九上·保山期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.∵ =16-12=4>0, ∴ 有两个不相等的实数根；
B.∵ =36-36=0, ∴ 有两个相等的实数根；
C.∵ =16+20=36>0, ∴ 有两个不相等的实数根；
D.∵ =25-32=-7<0, ∴ 没有实数根；
故答案为：D.
【分析】算出各个方程根的判别式的值，如果判别式的值大于0，则该方程有两个不相等的实数根；如果判别式的值等于0，则该方程有两个相等的实数根；如果判别式的值小于0，则该方程没有实数根，从而即可一一判断得出答案.
5．（2019九上·孝南月考）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得：
△＝4 4a（2 c）＝0，
整理得：4ac 8a＝ 4，
4a（c 2）＝ 4，
∵方程ax2＋2x＋2 c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：c 2＝ ，
则 ＋c＝2，
故答案为：A.
【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2 c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案.
6．（2019九上·马山月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜ ，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
7．（2019九上·乌拉特前旗期中）若一元二次方程(m－2)x2－4mx＋2m－6＝0有两个相等的实数根，则m等于( )
A．－6 B．1 C．－6或1 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0，
解得：m1=﹣6，m2=1，∴m的值为﹣6或1．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和定义得到m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，解方程即可得到m的值．
8．（2019九上·博白期中）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 是一元二次方程.
∴△>0,即4-4× ×（-1）>0， .
∴ 且 .
故答案为：C.
【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△>0，即4-4× ×（-1）>0，则m的取值范围为 且 .
二、填空题
9．（2019九上·汉滨月考）若关于x 的方程(a－1)x2－2x－1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 .
【答案】a≥0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当a 1＝0，即a＝1时，有 2x-1＝0，
解得：x＝
∴a＝1符合题意；
当a 1≠0，即a≠1时，有△＝（ 2）2+4（a 1）＝4a≥0，
解得：a≥0，
∴a≥0且a≠1.
综上可知：a的取值范围为a≥0.
故答案为：a≥0.
【分析】此题需要分类讨论：当a 1＝0，即a＝1时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a 1≠0，即a≠1时方程是一元二次方程，只有当根的判别式的值不为负数的时候，才有实数根，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案.
10．（2019九上·交城期中）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴
解得： ，
∴ 的取值范围是： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据题意，可知一元二次方程的判别式且k2≠0，列出关于k的不等式组，即可求解.
11．（2019九上·吉林月考）一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是 。
【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：a=1，b=-3，c=1
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5.
【分析】先确定出二次函数中各项的系数，然后将它们代入公式△=b2-4ac计算即可。
12．（2019·嘉兴）在 的括号中添加一个关于 的一次项，使方程有两个相等的实数根
【答案】 4x（只写一个即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵x2+（ ）+4=0，括号里是关于x的一次式
设x2+bx+4=0
∵此方程有两个相等的实数根
∴b2-16=0
解之：b=±4
故答案为：±4x
【分析】设已知方程为x2+bx+4=0，此有两个不相等的实数根，可得到b2-16=0，解方程求出b的值，就可得到答案。
13．（2019八下·长兴月考）写出一个无实数根的一元二次方程： ．
【答案】答案不唯一，如：x2+x+1=0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 由x2+x+1=0得△=b2-4ac=1-4×1=-3<0,无实根；
【分析】一元二次方程a2+bx+c=0无实根的条件是判别式a≠0，△=b2-4ac<0,据此构造方程即可。
三、解答题
14．（2019八上·浦东期中）已知关于的x方程 有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根.
【答案】解：
=
=
即
当 ， =0
当 ， =0
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】将原方程整理成一般式，根据方程有两个相等的实数根即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k值，将k的值代入原方程解方程即可得出结论．
15．若方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简 ．
【答案】解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+2）]2-4×1×（m2+5）＞0，即2m-4＞0，
解得，m＞2；
∴ =m- -m+2= ，即 = ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可求出m的取值范围，再根据m＞2化简代数式，即可解答。
16．（2019九上·汉滨月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0.求证：无论k 为何值，方程总有实数根；
【答案】解：依题意求出△= =[﹣（k+2）]2-4×1×2k
=k2+4k+4-8k
= k2-4k+4
=(k-2)2≥0，
故无论k 为何值，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】算出方程根的判别式的值，由于该值是一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式后根据偶数次幂的非负性即可得出该值一定是非负数，从而得出结论.
17．（2019九上·朝阳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）当k取最小整数时，求方程的解。
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根，
∴(k+1)2-4× k2>0
∴k>
（2）解：∵k取最小整数，
∴k=0
原方程可化为x2+x=0．
∴x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况判断出△的取值范围，并据此列出不等式，其解集即为k的取值范围；
（2）在（1）中求得的k的取值范围中取出k的最小整数值为k=0，将k=0回代到方程中，求解即可。
18．（2019八下·余杭期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根．
（2）解：∵ ，
∴ ．
①当直角边长为5时， ， ；
②当斜边长为5时， ， ，
∴ 或 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根；依此即可得出答案.
（2）先分别求出一元二次方程的解，再分情况讨论： ①当直角边长为5时， ②当斜边长为5时， 根据勾股定理即可求得m值.
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