初中数学浙教版八下精彩练习4.1多边形（1）
一、A练就好基础
1．在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠D=250°，则∠B为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．在四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：4：5，则∠C等于（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
3．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130
4．在四边形的内角中，直角最多可以有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6．如图，将一个等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2= °。
7．一块四边形的绿化园地，四角都建有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 。
8．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC。
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E。请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由。
二、B更上一层楼
10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
11．（2019八上·长兴月考）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
13．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
三、C开拓新思路
14．如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠D=90，∠A：∠C=1：5，AB=6，CD=，求：
（1）∠A，∠C的度数。
（2）AD、BC的长度。
（3）四边形ABCD的面积。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C+∠D+∠B=360°
∴∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-250° =110°
故答案为：B.
【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出∠B=360°-（∠A+∠C+∠D），从而得出结果。
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设 ∠A =x°，则 ∠B =2x°， ∠C =4x°， ∠D=5x°
∵∠A +∠B +∠C+∠D=360°
∴x+2x+4x+5x=360
∴x=30
∴∠C =4x°=120°
故答案为：C.
【分析】利用比例，设出未知数，然后通过四边形的内角和为360°，得出方程x+2x+4x+5x=360，然后得出结果。
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设 ∠B = x°，则∠D =（ x-60）°
∵∠A+∠B+∠C+∠D= 360°
∴160+x+x-60=360
∴x=130°
即∠B = 130°
故答案为：D.
【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程160+x+x-60=360，从而得出结果。
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，即可判断。
∵四边形的内角和等于，，
∴直角最多可以有4个，
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①两个都是四边形，内角和相同，符合题意；
②一个三角形，一个五边形，内角和不相同，不符合题意；
③两个都是三角形，内角和相同，符合题意；
④一个三角形，一个四边形，内角和不相同，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接利用多边形的内角和公式，可以知道边数不同，内角和也不同，然后通过图形观察剪开的图形边数是否相同，从而得出结果。
6．【答案】240
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC
∴∠B=∠C=60°
∵∠1+∠B+∠C+∠2= 360°
∴∠1+∠2= 360°-（∠B+∠C）=240°
故答案为：240.
【分析】利用等边三角形，可以得出∠B=∠C=60°，利用四边形内角和为360°，得出结果。
7．【答案】4π
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由四边形内角和为360°可知，
阴影部分面积=πr2=π×22=4π
故答案为：4π
【分析】利用四边形内角和为360°，可以得到阴影部分面积就是-整个圆的面积，从而得出结果。
8．【答案】解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x
解得x=70°.
∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程，从而得出结果。
9．【答案】（1）证明：∵∠A=∠B，∠C=∠ADC，
且∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
2∠B+2∠C=360°，
∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD
（2）解：△ADE是等边三角形。理由如下
∵∠ADC+∠A=180°，∠ADC-∠A=60°，
∴∠A=60°，∴∠B=∠A=60°
DE∥BC
∴∠AED=∠B=∠A=60°，
即△ADE是等边三角形
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，可以得出 2∠B+2∠C=360° ，从而得出 ∠B+∠C=180° ，即证 AB∥CD.
（2）利用两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC+∠A=180° ，从而得出各个角度，从而判断出三角形的形状。
10．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AD，如图
由8字型，可以得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°
故答案为：C.
【分析】利用8字形，添出辅助线，得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE，再利用等量替换，四边形的内角和为360°，得出结果。
11．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC， DC⊥BC，
∴DE=DC，
∴S△BCD=BC×CD=×9×4=18，
∵S△ABD=AB×DE=×6×4=12，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=18+12=30.
故答案为：B.
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH=CD=4，根据三角形的面积公式分别求出△BCD和△ABD的面积，则四边形ABCD的面积可得.
12．【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
13．【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
14．【答案】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠B=∠D=90°，
∠A+∠C=180°.
∠A：∠C=1：5，
∴∠A=30°，∠C=150°.
（2）解：延长BC与AD的延长线相交于点E.
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=6，
BE=2，AE=4..
在Rt△CDE中，∵∠ECD=180°-∠BCD=30°，CD=，
ED=1，CE=2，
AD=AE-ED=4-1，
BC=BE-CE=2-2。
（3）解：S△ABE=BE·AB=×2×6=6，
S△CDE=CD·ED=××1=
S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=6-=
【知识点】含30°角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出方程 ∠A+∠C=180° ，再利用比例，得出结果。
（2）利用特殊角的作用 30° ，添出辅助线，然后利用 30° 直接按三角形三边关系，得出 BE=2，AE=4，同时利用补角，得出 ∠ECD=180°-∠BCD=30° ，再利用30° 直接按三角形三边关系，得出 ED=1，CE=2 ，从而得出结果。
（3）利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，得出 S△ABE和S△CDE，再利用 S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE ，得出结果。
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习4.1多边形（1）
一、A练就好基础
1．在四边形ABCD中，∠A+∠C+∠D=250°，则∠B为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C+∠D+∠B=360°
∴∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-250° =110°
故答案为：B.
【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出∠B=360°-（∠A+∠C+∠D），从而得出结果。
2．在四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：4：5，则∠C等于（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设 ∠A =x°，则 ∠B =2x°， ∠C =4x°， ∠D=5x°
∵∠A +∠B +∠C+∠D=360°
∴x+2x+4x+5x=360
∴x=30
∴∠C =4x°=120°
故答案为：C.
【分析】利用比例，设出未知数，然后通过四边形的内角和为360°，得出方程x+2x+4x+5x=360，然后得出结果。
3．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设 ∠B = x°，则∠D =（ x-60）°
∵∠A+∠B+∠C+∠D= 360°
∴160+x+x-60=360
∴x=130°
即∠B = 130°
故答案为：D.
【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程160+x+x-60=360，从而得出结果。
4．在四边形的内角中，直角最多可以有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，即可判断。
∵四边形的内角和等于，，
∴直角最多可以有4个，
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：
5．如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①两个都是四边形，内角和相同，符合题意；
②一个三角形，一个五边形，内角和不相同，不符合题意；
③两个都是三角形，内角和相同，符合题意；
④一个三角形，一个四边形，内角和不相同，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接利用多边形的内角和公式，可以知道边数不同，内角和也不同，然后通过图形观察剪开的图形边数是否相同，从而得出结果。
6．如图，将一个等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2= °。
【答案】240
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC
∴∠B=∠C=60°
∵∠1+∠B+∠C+∠2= 360°
∴∠1+∠2= 360°-（∠B+∠C）=240°
故答案为：240.
【分析】利用等边三角形，可以得出∠B=∠C=60°，利用四边形内角和为360°，得出结果。
7．一块四边形的绿化园地，四角都建有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 。
【答案】4π
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由四边形内角和为360°可知，
阴影部分面积=πr2=π×22=4π
故答案为：4π
【分析】利用四边形内角和为360°，可以得到阴影部分面积就是-整个圆的面积，从而得出结果。
8．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
【答案】解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x
解得x=70°.
∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由题意设出未知数，利用四边形内角和为360°，得出方程，从而得出结果。
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC。
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E。请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵∠A=∠B，∠C=∠ADC，
且∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
2∠B+2∠C=360°，
∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD
（2）解：△ADE是等边三角形。理由如下
∵∠ADC+∠A=180°，∠ADC-∠A=60°，
∴∠A=60°，∴∠B=∠A=60°
DE∥BC
∴∠AED=∠B=∠A=60°，
即△ADE是等边三角形
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，可以得出 2∠B+2∠C=360° ，从而得出 ∠B+∠C=180° ，即证 AB∥CD.
（2）利用两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC+∠A=180° ，从而得出各个角度，从而判断出三角形的形状。
二、B更上一层楼
10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AD，如图
由8字型，可以得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°
故答案为：C.
【分析】利用8字形，添出辅助线，得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE，再利用等量替换，四边形的内角和为360°，得出结果。
11．（2019八上·长兴月考）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC， DC⊥BC，
∴DE=DC，
∴S△BCD=BC×CD=×9×4=18，
∵S△ABD=AB×DE=×6×4=12，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=18+12=30.
故答案为：B.
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH=CD=4，根据三角形的面积公式分别求出△BCD和△ABD的面积，则四边形ABCD的面积可得.
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
13．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
三、C开拓新思路
14．如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠D=90，∠A：∠C=1：5，AB=6，CD=，求：
（1）∠A，∠C的度数。
（2）AD、BC的长度。
（3）四边形ABCD的面积。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠B=∠D=90°，
∠A+∠C=180°.
∠A：∠C=1：5，
∴∠A=30°，∠C=150°.
（2）解：延长BC与AD的延长线相交于点E.
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=6，
BE=2，AE=4..
在Rt△CDE中，∵∠ECD=180°-∠BCD=30°，CD=，
ED=1，CE=2，
AD=AE-ED=4-1，
BC=BE-CE=2-2。
（3）解：S△ABE=BE·AB=×2×6=6，
S△CDE=CD·ED=××1=
S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=6-=
【知识点】含30°角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出方程 ∠A+∠C=180° ，再利用比例，得出结果。
（2）利用特殊角的作用 30° ，添出辅助线，然后利用 30° 直接按三角形三边关系，得出 BE=2，AE=4，同时利用补角，得出 ∠ECD=180°-∠BCD=30° ，再利用30° 直接按三角形三边关系，得出 ED=1，CE=2 ，从而得出结果。
（3）利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，得出 S△ABE和S△CDE，再利用 S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE ，得出结果。
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