浙教版数学八年级上册 1.5 第2课时 “边角边”与线段的垂直平分线的性质 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第1章 三角形的初步认识
1.5全等三角形的判定
第2课时 “边角边”与线段的垂直平分线的性质
学习目标
1、探索并正确理解“SAS”的判定方法；
2、会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等；
3、了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件；
4、理解并掌握线段的垂直平分线的概念及性质.
问题探究
问题1、把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动吗？
A
B′
B
C
可以自由转动，因此连接另两端所成的三角形不能唯一确定.这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.
添加一个角呢？
问题2、如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′（固定两边的夹角），AB=A′B′，BC=B′C′，当把它们通过平移叠在一起时，你会发现什么？请说明理由.
A′
C′
B
A
C
B′
两个三角形全等
理由如下：
∵ ∠B=∠B′，
∴当把它们叠在一起时，射线AB与A′B′重合，射线BC与B′C′重合，
又∵ AB=A′B′， BC=B′C′，
∴点A与点A′重合，点C与点C′重合，
∴ △ABC与△A′B′C′重合，
即△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
D
问题3、如图，在△ABC 和△ABD 中,AB =AB，AC=AD，∠B =∠B（固定一边的对角），△ABC 和△ABD 全等吗？
两个三角形不全等

由上面探究可知：
（1）两边及夹角对应相等可以确定三角形的形状；
（2）两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状（即“边边角”对应相等或“SSA”），两个三角形不一定全等.
新课讲解
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
（简写成“边角边”或“SAS ”）
注：运用这一公理证明三角形全等时，对应角必须是两边的夹角.
在△ABC 和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC =A′C′
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言
必须是两边“夹角”
辨一辨
1、在下列图中找出全等三角形.

Ⅰ
30
8
9

Ⅲ
30
8
9

Ⅵ
30
8
8
Ⅶ

30
8
8
Ⅳ
Ⅳ
8
5
Ⅱ
30

8
5
30
Ⅴ

8
5
Ⅷ
8
5
不是两边夹角
不是两边夹角
100
2、在下面的图中，有①、②、③三个三角形，根据图中条件，三角形_____和_____全等（填序号即可）.
①
2
3
100
48
32
②
2
3
③
2
3
48
32
①
②
已知两边时，这个角一定要是这两边所夹的角.
48
例题讲解
例1 已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：△AOB≌△COD.
D
C
O
A
B
证明：在△AOB和△COD中，
OA=OC（已知），
∠AOB =∠COD（对顶角相等），
OB=OD（已知），
∴△AOB≌△COD（SAS）．
例2 已知：CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB.
求证：DE=AB.
分析：（1）DE和AB分别在
哪两个三角形中？
分别在△DCE和△ACB中.
A
B
C
D
E
（2）要证明这两个三角形全等，已知哪些条件？还缺少什么条件？
已知条件：CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB.
缺少条件：∠DCE=∠ACB.
（3）怎样能得出缺少的条件？
由∠DCA=∠ECB，得∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE.故∠DCE=∠ACB.
A
B
C
D
E
证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE, 即∠DCE=∠ACB.
在△DCE和△ACB中，
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
进行有关线段（或角）证明时，常常需要通过三角形全等来得到相等的线段（或角）．
CE=CB，
∠DCE=∠ACB,
CD=CA,
∴△DCE≌△ACB，∴DE=AB.
1.某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
拓展延伸
分析：利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块，因为它完整保留了两边及其夹角，那么这个三角形两条边的长度和夹角的大小就确定了，从而三角形的形状、大小就确定了．
　 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.
A
B
D
l
新课讲解
(1)点P在线段AB上；
此时点P与点D重合,所以PA=PB.
在直线l上任意取一点P，用圆规比较P到点A、B的距离，你发现了什么？
探究新知
点P的位置有两种可能：
A
B
（P）
l
D
(2)点P在线段AB外；
D
l
P1
P2
A
B
如图，在△ADP1和△BDP1中，
AD=BD，
∠ADP1 =∠BDP1，
P1D=P1D，
∴△ADP1≌△BDP1（SAS）,
即P1A=P1B ，同理P2A=P2B.
∵CD垂直平分AB(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线的性质定理).
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理
A
C
D
B
M
P
几何语言
例3 如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.
C
D
B
E
A
例题讲解
分析：利用线段垂直平分线的性质定理，实现线段之间的相互转化，从而求出三角形中未知线段的长度.
例3 如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.
C
D
B
E
A
例题讲解
解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD（线段垂直平分线的性质定理），
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC，
∴ △BCD的周长=AD+DC+BC
例3 如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长.
C
D
B
E
A
例题讲解
=AC+BC
=12+7=19.
等量转化
巩固练习
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，如果AC＝3 cm，BC＝1 cm，那么△BCE周长等于（ ）
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
分析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC
＝AC＋BC
＝3＋1＝4(cm)．
选C.
2、如图，在△ABC中，ED垂直平分BC交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15，BD＝6，求△ABC的周长．
解：∵ED垂直平分BC，BD＝6，
∴BC＝2BD＝12，BE＝CE，
∵△ABE的周长是15，
2、如图，在△ABC中，ED垂直平分BC交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15，BD＝6，求△ABC的周长．
∴AB＋BE＋AE ＝AB＋CE＋AE
＝AB＋AC＝15，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC
＝15＋12＝27.
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“SAS”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（1）已知两边，必须找“夹角”；
（2）已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
“SSA”不能判定两个三角形全等.
课堂小结
线段的垂直平分线
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
感谢观看！