2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测基础卷
一、选择题：
1．若方程 的两根为 a 和 b ，且 a>b ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 是19的算术平方根 B． 是19的平方根
C． 是19的算术平方根 D． 是19的平方根
2．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13
C．13 D．以上选项都不正确
5．某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．25(1＋x)2＝64 B．25(1＋x2)＝64
C．64(1－x)2＝25 D．64(1－x2)＝25
6．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若两个不相等的实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，则mn的值为（ ）
A．6 B．－6 C．4 D．－4
9．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则 的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
10．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
二、填空题：
11．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ，则 的值是
12．关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数k的值为
13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
14．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为82.9万辆.已知2015年底该市汽车拥有量为50万辆，设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得 。
15．已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，则a= 。
16．如图,将边长为12cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿 着 AD 方 向 平 移, 得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为32cm2,则它移动的距离AA′等于 。
三、解答题：
17．用适当的方程解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知一元二次方程x2－11x＋30=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC底边上的高.
19．商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件.经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件.
（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？
（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？
20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：
（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．
22．如图，在△ABC中， ， ， ，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？
23．已知:如图,A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q 分别从A、C 同时出发,点P 以3cm/s的速度向点B 移动,一直到达点 B 为止,点 Q 以2cm/s的速度向点 D 移动．
（1）P、Q 两点从出发点出发几秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2
（2）P、Q 两点从出发点出发几秒时,点P、Q 间的距离是10cm
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵ 方程（x-5）2=19的两个实数根为a和b
∴ a-5和b-5 是19的两个平方根，且互为相反数
∵a＞b，
∴a-5是19的算术平方根
故答案为：C
【分析】根据平方根的意义可知 a-5和b-5 是19的两个平方根，且互为相反数，再由a＞b，就可得出a-5是19的算术平方根。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，
∵△=42﹣4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，
∴ ，
解得：a ＞1 ，
故答案为：B
【分析】 由已知原方程无实数根，可得出b2-4ac＜0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵方程 的两根为：
∵三角形的两边长分别为3和6，第三边不能取2，只能取4，则这个三角形的周长为：13，
故答案为：C
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据三角形三边关系定理确定出第三边的长，然后求出这个三角形的周长。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：25(1＋x)2＝64
故答案为：A
【分析】此题的等量关系为：8月份接待游客的人数×（1+月平均增长率）2=10月共接待游客的人数，列方程即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，
∴b2-ab+b=0，∵-b≠0，∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b-a+1=0，∴a-b=1．
所以选：A．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，那么代入方程中即可得到b2-ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0
∴4-4（kb+1）＞0
解之：kb＜0
当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限
故答案为；B
【分析】由一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，求出kb＜0，再分情况讨论，就可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，
即m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ，
∴ mn=-4
故答案为：D
【分析】由已知实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，可得出m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ，再利用一二次方程根与系数的关系，就可得出mn的值。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b
∴ a+b=3，ab=p ，
∵ a2－ab＋b2＝18
∴（a+b）2-3ab=18即9-3p=18
解之：p=-3
∴ab=-3
∵
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知 a+b=3，ab=p ，再将a2－ab＋b2＝18 转化为（a+b）2-3ab=18，求出p的值，就可得出ab的值，然后将 转化为 ，代入求值即可。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
11．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ,
∴ ,∴ ,
∴
故答案为：2023
【分析】将x=1代入方程求出a+b的值，再将代数式转化为2018-（a+b），然后整体代入求值。
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程 有两个相等的实数根
∴ 解得：
故答案为：4
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可知b2-4ac=0，建立关于k的方程，求解即可。
13．【答案】74
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这个两位数的个位数为 ，
则这个两位数为： ，新两位数为
∴ ，整理得：
解得： （不合题意舍去）
∴原两位数为：74
故答案为：74
【分析】设原来两位数的个位数为 ，可表示出十位数字，再分别表示出原两位数和对调后的两位数，然后根据对调后的两数=原来的两位数-27，列方程求解，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，由题意得：
50（1+x）2=82.9
故答案为：50（1+x）2=82.9
【分析】此题的等量关系为：2015年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2017年底该市汽车拥有量，列方程即可。
15．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，
∴ ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵方程： ， ，
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数求出，再将转化为，然后代入建立关于a的方程，求出方程的解即可。
16．【答案】4cm或8cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设AB与AC交于点E，AC与CD交于点F，
∵ 将边长为12cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿 着 AD 方 向 平 移，得到 △A′B′C′
∴△ADC是等腰直角三角形，AB∥CD，AC∥AC
∴ 两个三角形重叠部分的四边形AECF是平行四边形
设AA为x，则AE=x，AD=12-x
∴S四边形AECF=AEAD=x(12-x）=32
解之：x1=4，x2=8
∴AA的长为4cm或8cm
故答案为：4cm或8cm
【分析】设AB与AC交于点E，AC与CD交于点F，利用平移的性质及正方形的性质，易证四边形AECF是平行四边形及△AAE是等腰直角三角形，设AA为x，则AE=x，AD=12-x，然后根据重叠部分的面积=32，列方程求解即可。
17．【答案】（1）解：∵ ，方程两边开平方得：
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
（3）解：∵ ， ，方程两边同时开平方得： ，
（4）解：∵ ，∴ ，∴
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，此方程是形如x2=a（a≥0），因此利用直接开平方法求解。
（2）此方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数，因此利用配方法解此方程。
（3）观察方程的特点：左边可以分解因式，右边为0，因此利用因式分解法解此方程。
18．【答案】解：解方程x2－11x＋30=0得： ，
∵方程的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当5为腰长，6为底边长时，三角形的高为4，
∴当6为腰长，5为底边长时，三角形的高为 ，
∴这个三角形的高为：4或
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，再根据此方程的解是等腰三角形的底边和腰长，利用三角形三边关系定理确定出等腰三角形的腰和底边，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理求出△ABC底边上的高。
19．【答案】（1）解：设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件.
根据题意得：（45﹣x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20.因为要减少库存，所以x=20.
答：降价20元可使销售利润达到1750元
（2）解：设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x）=﹣2（x﹣15）2+1800.
∴当x=15时 日盈利达到最大，为1800元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据降价后：每一件的利润×销售量=1750，设未知数，列方程求出方程的解，再根据要减少库存，确定出符合题意的x的值即可。
（2）根据商场平均每天盈利y=每一件的利润×销售量，列出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可。
20．【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。
（3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
21．【答案】（1）解：方程 ，可化为： ，∴
（2）解：方程：（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，可化为： ，
∴ ，∵ ，∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺常数项，利用提公因式法，可将方程转化为“ab=0”的形式，就可求出方程的解。
（2）将原方程先转化为 ，将x2+y2（x2+y2≥0）看着整体，利用因式分解法可得出 ，即可求出x2+y2的值。
22．【答案】解：AC= 设x秒后，△PCQ的面积等于450平方米，
（50﹣2x） 3x=450 x=10或x=15． ∵CQ=3x15=45＞40＞BC，∴x=15应舍去，
所以x=10，即当10秒时面积450平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，再根据点的运动方向及速度，设 设x秒后，△PCQ的面积等于450平方米，用含x的代数式表示出PC、CQ，再利用 △PCQ的面积=450，列方程求出符合题意的x的值即可。
23．【答案】（1）解：设P、Q 两点从出发点出发x 秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2,
则AP＝3xcm,CQ＝2xcm，可列方程 ，解之得x＝5．
答：P、Q 两点出发5秒时,四边形PBCQ 的面积为33cm2
（2）解：设P、Q 两点从出发点出发y 秒时,点P、Q 间的距离为10．过点Q 作QE⊥AB,交AB 于点E,
则AP＝3y,CQ＝2y,PE＝|16－3y－2y|,根据勾股定理,得(16－3y－2y) 2＝102－62,化简方程,得(16－5y) 2＝64,
解得y1＝ , y2＝ .答：P、Q 两点从出发点出发 秒或 秒时,点P 与点Q 的距离是10cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设P、Q 两点从出发点出发x 秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2, 根据两点的运动速度和方向，分别用含x的代数式表示出AP、CQ，再根据四边形PBCQ 的面积=33，建立关于x的方程，求出方程的解。
（2）设P、Q 两点从出发点出发y 秒时,点P、Q 间的距离为10．过点Q 作QE⊥AB,交AB 于点E, 用含x的代数式表示出AP、CQ、PE的长，利用勾股定理建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得出结果。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测基础卷
一、选择题：
1．若方程 的两根为 a 和 b ，且 a>b ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 是19的算术平方根 B． 是19的平方根
C． 是19的算术平方根 D． 是19的平方根
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵ 方程（x-5）2=19的两个实数根为a和b
∴ a-5和b-5 是19的两个平方根，且互为相反数
∵a＞b，
∴a-5是19的算术平方根
故答案为：C
【分析】根据平方根的意义可知 a-5和b-5 是19的两个平方根，且互为相反数，再由a＞b，就可得出a-5是19的算术平方根。
2．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，
∵△=42﹣4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
3．若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，
∴ ，
解得：a ＞1 ，
故答案为：B
【分析】 由已知原方程无实数根，可得出b2-4ac＜0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集。
4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13
C．13 D．以上选项都不正确
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵方程 的两根为：
∵三角形的两边长分别为3和6，第三边不能取2，只能取4，则这个三角形的周长为：13，
故答案为：C
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据三角形三边关系定理确定出第三边的长，然后求出这个三角形的周长。
5．某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．25(1＋x)2＝64 B．25(1＋x2)＝64
C．64(1－x)2＝25 D．64(1－x2)＝25
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：25(1＋x)2＝64
故答案为：A
【分析】此题的等量关系为：8月份接待游客的人数×（1+月平均增长率）2=10月共接待游客的人数，列方程即可。
6．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，
∴b2-ab+b=0，∵-b≠0，∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b-a+1=0，∴a-b=1．
所以选：A．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，那么代入方程中即可得到b2-ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0
∴4-4（kb+1）＞0
解之：kb＜0
当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限
故答案为；B
【分析】由一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，求出kb＜0，再分情况讨论，就可得出答案。
8．若两个不相等的实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，则mn的值为（ ）
A．6 B．－6 C．4 D．－4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，
即m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ，
∴ mn=-4
故答案为：D
【分析】由已知实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，可得出m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ，再利用一二次方程根与系数的关系，就可得出mn的值。
9．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则 的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b
∴ a+b=3，ab=p ，
∵ a2－ab＋b2＝18
∴（a+b）2-3ab=18即9-3p=18
解之：p=-3
∴ab=-3
∵
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知 a+b=3，ab=p ，再将a2－ab＋b2＝18 转化为（a+b）2-3ab=18，求出p的值，就可得出ab的值，然后将 转化为 ，代入求值即可。
10．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
二、填空题：
11．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ，则 的值是
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ,
∴ ,∴ ,
∴
故答案为：2023
【分析】将x=1代入方程求出a+b的值，再将代数式转化为2018-（a+b），然后整体代入求值。
12．关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数k的值为
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程 有两个相等的实数根
∴ 解得：
故答案为：4
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可知b2-4ac=0，建立关于k的方程，求解即可。
13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
【答案】74
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这个两位数的个位数为 ，
则这个两位数为： ，新两位数为
∴ ，整理得：
解得： （不合题意舍去）
∴原两位数为：74
故答案为：74
【分析】设原来两位数的个位数为 ，可表示出十位数字，再分别表示出原两位数和对调后的两位数，然后根据对调后的两数=原来的两位数-27，列方程求解，即可得出答案。
14．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为82.9万辆.已知2015年底该市汽车拥有量为50万辆，设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得 。
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，由题意得：
50（1+x）2=82.9
故答案为：50（1+x）2=82.9
【分析】此题的等量关系为：2015年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2017年底该市汽车拥有量，列方程即可。
15．已知 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，则a= 。
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，
∴ ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵方程： ， ，
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数求出，再将转化为，然后代入建立关于a的方程，求出方程的解即可。
16．如图,将边长为12cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿 着 AD 方 向 平 移, 得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为32cm2,则它移动的距离AA′等于 。
【答案】4cm或8cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设AB与AC交于点E，AC与CD交于点F，
∵ 将边长为12cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿 着 AD 方 向 平 移，得到 △A′B′C′
∴△ADC是等腰直角三角形，AB∥CD，AC∥AC
∴ 两个三角形重叠部分的四边形AECF是平行四边形
设AA为x，则AE=x，AD=12-x
∴S四边形AECF=AEAD=x(12-x）=32
解之：x1=4，x2=8
∴AA的长为4cm或8cm
故答案为：4cm或8cm
【分析】设AB与AC交于点E，AC与CD交于点F，利用平移的性质及正方形的性质，易证四边形AECF是平行四边形及△AAE是等腰直角三角形，设AA为x，则AE=x，AD=12-x，然后根据重叠部分的面积=32，列方程求解即可。
三、解答题：
17．用适当的方程解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵ ，方程两边开平方得：
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
（3）解：∵ ， ，方程两边同时开平方得： ，
（4）解：∵ ，∴ ，∴
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，此方程是形如x2=a（a≥0），因此利用直接开平方法求解。
（2）此方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数，因此利用配方法解此方程。
（3）观察方程的特点：左边可以分解因式，右边为0，因此利用因式分解法解此方程。
18．已知一元二次方程x2－11x＋30=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC底边上的高.
【答案】解：解方程x2－11x＋30=0得： ，
∵方程的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当5为腰长，6为底边长时，三角形的高为4，
∴当6为腰长，5为底边长时，三角形的高为 ，
∴这个三角形的高为：4或
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，再根据此方程的解是等腰三角形的底边和腰长，利用三角形三边关系定理确定出等腰三角形的腰和底边，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理求出△ABC底边上的高。
19．商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件.经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件.
（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？
（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？
【答案】（1）解：设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件.
根据题意得：（45﹣x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20.因为要减少库存，所以x=20.
答：降价20元可使销售利润达到1750元
（2）解：设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x）=﹣2（x﹣15）2+1800.
∴当x=15时 日盈利达到最大，为1800元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据降价后：每一件的利润×销售量=1750，设未知数，列方程求出方程的解，再根据要减少库存，确定出符合题意的x的值即可。
（2）根据商场平均每天盈利y=每一件的利润×销售量，列出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可。
20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。
（3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
21．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：
（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．
【答案】（1）解：方程 ，可化为： ，∴
（2）解：方程：（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，可化为： ，
∴ ，∵ ，∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺常数项，利用提公因式法，可将方程转化为“ab=0”的形式，就可求出方程的解。
（2）将原方程先转化为 ，将x2+y2（x2+y2≥0）看着整体，利用因式分解法可得出 ，即可求出x2+y2的值。
22．如图，在△ABC中， ， ， ，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？
【答案】解：AC= 设x秒后，△PCQ的面积等于450平方米，
（50﹣2x） 3x=450 x=10或x=15． ∵CQ=3x15=45＞40＞BC，∴x=15应舍去，
所以x=10，即当10秒时面积450平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，再根据点的运动方向及速度，设 设x秒后，△PCQ的面积等于450平方米，用含x的代数式表示出PC、CQ，再利用 △PCQ的面积=450，列方程求出符合题意的x的值即可。
23．已知:如图,A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q 分别从A、C 同时出发,点P 以3cm/s的速度向点B 移动,一直到达点 B 为止,点 Q 以2cm/s的速度向点 D 移动．
（1）P、Q 两点从出发点出发几秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2
（2）P、Q 两点从出发点出发几秒时,点P、Q 间的距离是10cm
【答案】（1）解：设P、Q 两点从出发点出发x 秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2,
则AP＝3xcm,CQ＝2xcm，可列方程 ，解之得x＝5．
答：P、Q 两点出发5秒时,四边形PBCQ 的面积为33cm2
（2）解：设P、Q 两点从出发点出发y 秒时,点P、Q 间的距离为10．过点Q 作QE⊥AB,交AB 于点E,
则AP＝3y,CQ＝2y,PE＝|16－3y－2y|,根据勾股定理,得(16－3y－2y) 2＝102－62,化简方程,得(16－5y) 2＝64,
解得y1＝ , y2＝ .答：P、Q 两点从出发点出发 秒或 秒时,点P 与点Q 的距离是10cm
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设P、Q 两点从出发点出发x 秒时,四边形PBCQ 的面积是33cm2, 根据两点的运动速度和方向，分别用含x的代数式表示出AP、CQ，再根据四边形PBCQ 的面积=33，建立关于x的方程，求出方程的解。
（2）设P、Q 两点从出发点出发y 秒时,点P、Q 间的距离为10．过点Q 作QE⊥AB,交AB 于点E, 用含x的代数式表示出AP、CQ、PE的长，利用勾股定理建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得出结果。
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