2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习
一、2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，A不符合题意；
B.根据两个三角形对应边成立比例，且夹角相等，这两个三角形相似，但是本题中两边对应边的
夹角∠B≠∠D，故不能判定△ABC∽△ADE，B符合题意；
C.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，C不符合题意；
D.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，∠D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、B根据相似三角形的判定：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例；并且夹角相等；那么这两个三角形相似；由此即可判断；
C、D根据相似三角形的判定：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；由此即可判断.
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在等腰△MNP中，
∵MN=MP=6， ∠P=75°，
∴底角 ∠P=∠N=75°，顶角∠M=30°，
A.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为75°，
∴底角为52.5°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故A不符合题意；
B.在等边三角形中，边长为5，
∴此等边三角形不可能与△MNP相似，
故B不符合题意；
C.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为30°，
∴底角为75°，
∴此三角形与△MNP相似，
故C符合题意；
D.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为40°，
∴底角为70°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似；由此逐一判断即可得出答案.
3．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠B＝∠ACP；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能使△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠B=∠ACP，
∴△APC∽△ACB，
②∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△APC∽△ACB，
③∵AC2=AP·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，
④∵AB·CP=AP·CB，
∴，
∴不能判断△APC与△ACB相似.
综上所述：能判断△APC∽△ACB的有①②③，
故答案为：D.
【分析】相似三角形判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似 ；由此可得出答案；
4．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且 ＝ ，AE＝BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C，
又∵，AE=BE，
∴CD=2AD，AB=2AE，
∴=2，
又∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC，∠A=∠C，由已知条件可知CD=2AD，AB=2AE，从而可得
，根据相似三角形判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，夹角相等，则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
5．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，若△ACB∽△CBD，写出BD与a，b之间满足的关系式 ．
【答案】BD＝
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ACB∽△CBD，
∴，
又∵AC=b，CB=a，
∴，
解得：BD=
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质得 ，将数值代入即可求得BD值.
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝6，当BC＝ 时，△ABC∽△CBD.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△CBD，
∴，
又∵AB=4，BD=6，
∴，
解得：BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的性质可得，将数值代入即可求得BC值.
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
只要
时，
△ABC∽△AED，
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4，在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的长为 ．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=2，BE=3，AC=4，
∴AB=AE+BE=5，
①当△ADE∽△ACB时，
∴，
∴，
∴AD=；
②当△ADE∽△ABC时，
∴，
∴，
∴AD=；
综上所述：AD长为或.
故答案为：或.
【分析】根据题意分情况讨论：当△ADE∽△ACB时，②当△ADE∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，分别代入数值即可求得AD值.
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？
【答案】解：存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有3个，理由如下，
设AP=x，
∵AP=7，AD=2，BC=3，
∵BP=7-x，
①当△PAD∽△PBC时，
∴，
∴，
∴
即AP=；
②当△PAD∽△CBP时，
∴，
∴，
∴x=1或x=6，
即AP=1或AP=6，
综上所述，这样的P点共有3个。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】①当△PAD∽△PBC时，②当△PAD∽△CBP时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得AP值.
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒后，△PBQ与△ABC相似，则BP＝AB－AP＝8－2x，BQ＝4x，(1)当BP与AB是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2；(2)当BP与BC是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ ，故经过2秒或 秒后，△PBQ与△ABC相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当△PBQ∽△CBA时，②当△PBQ∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得答案.
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，
∴AB==a
∵BC=a，BD=2a，
∴
又∵∠ABC-∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠2=∠BAC，
∵∠ABF=∠1+∠BAC=45°，
∴∠1+∠2=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，再由相似三角形的性质得∠2=∠BAC，再由三角形外角性质即可求得答案.
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且BC2＝BD·CE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形(已知)，∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)．又BC2＝AB·AC且BC2＝BD·CE(已知)，即 ，∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)
（2）解：∵△ABD∽△ECA，∴∠DAB＝∠CEA，又∠D＋∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠D＋∠CEA＝60°，∴∠DAE＝120°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可知
∠ABC＝∠ACB，
再由相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得证.
（2）根据相似三角形的性质可得∠DAB＝∠CEA，结合等边三角形的性质，等量代换即可得出答案.
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
【答案】（1）证明：如图，∵∠A与∠B是 所对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；
（2）证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴ ，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴ ＝ ，∴CD＝CB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角可得∠A＝∠B，根据相似三角形的判定： 两角对应相等的两个三角形相似 ，由此即可得证.
（2）根据相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ；由此可得△ADE∽△ACD，由相似三角形的性质得∠AED＝∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠AED＝90°，由垂径定理可得CD＝CB.
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点．
（1）求证：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB＝10，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点，∴PC＝ BC，CQ＝DQ＝ CD，且BC＝CD＝AD，∴PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∴△ADQ∽△QCP
（2）解：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△BMP∽△AMD，
∴BM：DM=BP：AD=3：4，
∵AB=10，
∴BD=10，
∴BM=10×=；
同理可得△DNQ∽△BNA，
∴DQ：BA=NQ：AN=1：2，
∵AB=10，DQ=5，
∴AQ=5，
∴NQ=5×=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可得 PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，由相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似，由此即可得证.
（2）根据正方形的性质可知AD∥BC，从而得△BMP∽△AMD，由相似三角形的性质得BM：DM=BP：AD=3：4，根据勾股定理求得BD长，由BM= BD 即可求得；同理可得△DNQ∽△BNA，由相似三角形的性质得DQ：BA=NQ：AN=1：2， 根据勾股定理求得AQ长，由NQ= AQ即可求得.
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习
一、2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠B＝∠ACP；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能使△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且 ＝ ，AE＝BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
5．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，若△ACB∽△CBD，写出BD与a，b之间满足的关系式 ．
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝6，当BC＝ 时，△ABC∽△CBD.
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4，在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的长为 ．
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为 ．
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且BC2＝BD·CE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）求∠DAE的度数．
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点．
（1）求证：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB＝10，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，A不符合题意；
B.根据两个三角形对应边成立比例，且夹角相等，这两个三角形相似，但是本题中两边对应边的
夹角∠B≠∠D，故不能判定△ABC∽△ADE，B符合题意；
C.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，C不符合题意；
D.∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
又∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，∠D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、B根据相似三角形的判定：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例；并且夹角相等；那么这两个三角形相似；由此即可判断；
C、D根据相似三角形的判定：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；由此即可判断.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在等腰△MNP中，
∵MN=MP=6， ∠P=75°，
∴底角 ∠P=∠N=75°，顶角∠M=30°，
A.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为75°，
∴底角为52.5°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故A不符合题意；
B.在等边三角形中，边长为5，
∴此等边三角形不可能与△MNP相似，
故B不符合题意；
C.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为30°，
∴底角为75°，
∴此三角形与△MNP相似，
故C符合题意；
D.在等腰三角形中，腰长为5，
∵顶角为40°，
∴底角为70°，
∴此三角形不可能与△MNP相似，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似；由此逐一判断即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠B=∠ACP，
∴△APC∽△ACB，
②∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△APC∽△ACB，
③∵AC2=AP·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，
④∵AB·CP=AP·CB，
∴，
∴不能判断△APC与△ACB相似.
综上所述：能判断△APC∽△ACB的有①②③，
故答案为：D.
【分析】相似三角形判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似 ；由此可得出答案；
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C，
又∵，AE=BE，
∴CD=2AD，AB=2AE，
∴=2，
又∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC，∠A=∠C，由已知条件可知CD=2AD，AB=2AE，从而可得
，根据相似三角形判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，夹角相等，则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
5．【答案】BD＝
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ACB∽△CBD，
∴，
又∵AC=b，CB=a，
∴，
解得：BD=
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质得 ，将数值代入即可求得BD值.
6．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△CBD，
∴，
又∵AB=4，BD=6，
∴，
解得：BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的性质可得，将数值代入即可求得BC值.
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
只要
时，
△ABC∽△AED，
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
8．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=2，BE=3，AC=4，
∴AB=AE+BE=5，
①当△ADE∽△ACB时，
∴，
∴，
∴AD=；
②当△ADE∽△ABC时，
∴，
∴，
∴AD=；
综上所述：AD长为或.
故答案为：或.
【分析】根据题意分情况讨论：当△ADE∽△ACB时，②当△ADE∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，分别代入数值即可求得AD值.
9．【答案】解：存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有3个，理由如下，
设AP=x，
∵AP=7，AD=2，BC=3，
∵BP=7-x，
①当△PAD∽△PBC时，
∴，
∴，
∴
即AP=；
②当△PAD∽△CBP时，
∴，
∴，
∴x=1或x=6，
即AP=1或AP=6，
综上所述，这样的P点共有3个。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】①当△PAD∽△PBC时，②当△PAD∽△CBP时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得AP值.
10．【答案】解：设经过x秒后，△PBQ与△ABC相似，则BP＝AB－AP＝8－2x，BQ＝4x，(1)当BP与AB是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2；(2)当BP与BC是对应边时， ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ ，故经过2秒或 秒后，△PBQ与△ABC相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当△PBQ∽△CBA时，②当△PBQ∽△ABC时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得答案.
11．【答案】45°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，
∴AB==a
∵BC=a，BD=2a，
∴
又∵∠ABC-∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠2=∠BAC，
∵∠ABF=∠1+∠BAC=45°，
∴∠1+∠2=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，再由相似三角形的性质得∠2=∠BAC，再由三角形外角性质即可求得答案.
12．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形(已知)，∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)．又BC2＝AB·AC且BC2＝BD·CE(已知)，即 ，∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)
（2）解：∵△ABD∽△ECA，∴∠DAB＝∠CEA，又∠D＋∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠D＋∠CEA＝60°，∴∠DAE＝120°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可知
∠ABC＝∠ACB，
再由相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得证.
（2）根据相似三角形的性质可得∠DAB＝∠CEA，结合等边三角形的性质，等量代换即可得出答案.
13．【答案】（1）证明：如图，∵∠A与∠B是 所对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；
（2）证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴ ，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴ ＝ ，∴CD＝CB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角可得∠A＝∠B，根据相似三角形的判定： 两角对应相等的两个三角形相似 ，由此即可得证.
（2）根据相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ；由此可得△ADE∽△ACD，由相似三角形的性质得∠AED＝∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠AED＝90°，由垂径定理可得CD＝CB.
14．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点，∴PC＝ BC，CQ＝DQ＝ CD，且BC＝CD＝AD，∴PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∴△ADQ∽△QCP
（2）解：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△BMP∽△AMD，
∴BM：DM=BP：AD=3：4，
∵AB=10，
∴BD=10，
∴BM=10×=；
同理可得△DNQ∽△BNA，
∴DQ：BA=NQ：AN=1：2，
∵AB=10，DQ=5，
∴AQ=5，
∴NQ=5×=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可得 PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，由相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似，由此即可得证.
（2）根据正方形的性质可知AD∥BC，从而得△BMP∽△AMD，由相似三角形的性质得BM：DM=BP：AD=3：4，根据勾股定理求得BD长，由BM= BD 即可求得；同理可得△DNQ∽△BNA，由相似三角形的性质得DQ：BA=NQ：AN=1：2， 根据勾股定理求得AQ长，由NQ= AQ即可求得.
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