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浙教版2023年九年级上第三章《圆的基本性质》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知一个正多边形的每个外角都等于相邻内角的，则此正多边形的边数（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
3．如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
4．如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转43°得到△ADE，点B的对应点D恰好在BC边上，DE交AC于点F，若∠ACD＝34°，则∠DFC的度数为（ ）
A．43° B．77° C．103° D．113°
7．如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（ ）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）
A．9 B．15 C． D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 度．
12．如图所示，已知圆O的半径OA＝6，以OA为边分别作正五边形OABCD和正六边形OAEFGH，则图中扇形HOD的面积为 （结果保留π）．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 ．
14．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，线段AD与交于点E，则图中的长为 ．（结果保留π）
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为 ．
16．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）在（2）的旋转变换中，求线段BC扫过的面积．
18．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD∥AB，连接AD，BC交于点E．
（1）求证：CE＝DE：
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，交⊙O于点G，若CG是⊙O的直径，AB＝12，求CD和BE的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．
22．浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
素材三 果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DM＝DE，DE⊥AD交点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．
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浙教版2023年九年级上第三章《圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知一个正多边形的每个外角都等于相邻内角的，则此正多边形的边数（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用邻补角互补求出外角，再利用外角和360°求出外角数，即求出边数．
【解答】解：设外角为α，则相邻内角为5α．
∵α+5α＝180，
∴α＝30°，
360÷30＝12，
∴此正多边形的边数为12．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和及外角和的应用，正多边形内外角特点是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），
∴OP＝＝5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3．如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系即可解答．
【解答】解：∵弧AC＝弧BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴，
故选：C．
【点评】该题考查了圆心角和圆周角定理，解答该题的关键是清楚同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
4．如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意求出OC，根据勾股定理求出CD，根据垂径定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵OC：OB＝3：5，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，CD＝＝＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE＝2CD＝8，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
5．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转43°得到△ADE，点B的对应点D恰好在BC边上，DE交AC于点F，若∠ACD＝34°，则∠DFC的度数为（ ）
A．43° B．77° C．103° D．113°
【分析】由旋转的性质得到：△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°，由此∠AEF＝∠ACD＝34°，由三角形内角和定理求出∠AFE＝103°，由对顶角的性质得到∠DFC＝∠AFE＝103°．
【解答】解：由旋转的性质得到：△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°，
∴∠AEF＝∠ACD＝34°，
∴∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠AED＝103°，
∴∠DFC＝∠AFE＝103°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，关键是旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠CAE＝43°．
7．如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（ ）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，从而可得∠EBP+∠PCD＝180°，再利用平角定义可得∠APC+∠BPE＝180°，从而可得∠A＝∠BPE＝m，进而可得∠BPE＝∠CPD＝m，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，
∴∠EBP+∠PCD＝360°﹣（∠ABP+∠ACP）＝180°，
∵∠APC+∠BPE＝180°，
∴∠A＝∠BPE＝m，
∴∠BPE＝∠CPD＝m，
∴∠E+∠D＝360°﹣（∠BPE+∠CPD+∠EBP+∠PCD）＝360°﹣（2m+180°）＝180°﹣2m，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BD、OD，交BC与E，根据对称求出BD＝OB，求出△DOB是等边三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根据弧长公式求出OB＝6，根据阴影部分的面积＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE求得即可．
【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，
由题意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵的长为π，
∴，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，
∴CE＝OE＝
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）
A．9 B．15 C． D．
【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD，再根据三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴AD＝BD＝AB＝3，
∵OA＝OE，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD＝，
由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+BE2＝DE2，
即（3）2+（2x）2＝（3x）2，
解得x＝3或x＝﹣3（舍去），
即OD＝3，
∴S△DOE＝OD BD
＝×
＝，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出OD的长是正确解答的关键．
10．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 24 度．
【分析】连接OD，结合已知条件易得∠AOD的度数，然后利用圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA＝OD，∠DAB＝66°，
∴∠ODA＝∠OAD＝66°，
∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∴∠ACD＝∠AOD＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠AOD的度数是解题的关键．
12．如图所示，已知圆O的半径OA＝6，以OA为边分别作正五边形OABCD和正六边形OAEFGH，则图中扇形HOD的面积为 π （结果保留π）．
【分析】先根据多边形内角和公式计算出∠AOD、∠AOH的度数，再求出∠HOD，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，
＝108°，
＝120°，
∴∠DOH＝∠AOH﹣∠AOD＝120°﹣108°＝12°，
∴扇形HOD的面积为：＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 3 ．
【分析】由题意易得，根据勾股定理可求OE的长，然后问题可求解．
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴，
∴，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
14．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，线段AD与交于点E，则图中的长为 π ．（结果保留π）
【分析】连接AC，取AC中点O，连接OB，OE，由圆周角定理证明AC是⊙O直径，求出AC的长，得到圆的半径长，由圆周角定理求出∠BOE＝90°，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接AC，取AC中点O，连接OB，OE，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O直径，
∵AC＝＝5，
∴⊙O的半径是，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠BOE＝90°，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，勾股定理，关键是证明AC是⊙O直径，由圆周角定理求出∠BOE的度数，
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接CO和BO，根据∠A＝45°，CD⊥AB于点D，推出AD＝CD＝6，算出BD，根据勾股定理算出BC，证△BCO是等腰直角三角形，根据代入计算即可．
【解答】解：如图，连接CO和BO，
∵∠A＝45°，CD⊥AB于点D，AB＝8，CD＝6，
∴∠ACD＝∠A＝45°，
AD＝CD＝6，
BD＝AB﹣AD＝8﹣6＝2，
∴，
∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，（同弧所对圆周角是圆心角的一半）
又∵CO＝BO，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：
【点评】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，掌握知识点计算是解题的关键．
16．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 4 ．
【分析】连接OC，设CD交PE于点K，连接OK，求出OK，OP的值，利用三角形的三边关系即可解答．
【解答】解：如图，连接OC，设CD交PE于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK＝PK，CK＝DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，OC＝5，CK＝3，
∴OK＝＝4，
∵OP＝OB+PB＝6，
∴6﹣4≤PK≤6+4，
∴2≤PK≤10，
∴PK的最小值为2，最大值为10，
∵PE＝2PK，
∴PE的最小值为4，最大值为20．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识、正确作出辅助线．
三．解答题（共7小题）
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）在（2）的旋转变换中，求线段BC扫过的面积．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）根据扇形的面积公式，利用线段BC扫过区域的面积＝S扇形COC2﹣S扇形BOB2进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）线段BC扫过的而积为．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC＝∠BOC＝45°，∠ACD＝∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∴矩形ADOE是正方形．
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠BOC＝45°，∠ACD＝∠AOD＝45°，
∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD∥AB，连接AD，BC交于点E．
（1）求证：CE＝DE：
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，交⊙O于点G，若CG是⊙O的直径，AB＝12，求CD和BE的长．
【分析】（1）由平行线的性质得到：∠A＝∠CDA，由圆周角定理得到∠CDE＝∠ECD，因此CE＝DE；
（2）连接OD，OE，由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，求出∠AOC＝60°，推出△COD是等边三角形，得到CD的长，由等腰三角形的性质推出OE⊥AB，由锐角的余弦即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠CDA，
∴＝，
∴∠CDE＝∠ECD，
∴CE＝DE；
（2）解：连接OD，OE，
∵＝，
∴∠A＝∠B，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠AOF＝∠B+∠OCB＝2∠B＝2∠A，
∵CF⊥AD，
∴∠A+∠AOF＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠AOF＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝AB＝×12＝6，
∵∠A＝∠B，
∴EA＝BE，
∵AO＝BO，
∴EO⊥AB，
∴cosB＝＝，
∵OB＝OA＝6，
∴BE＝4．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质求出∠A＝30°．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（I）根据AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，进而可得出结论；
（II）连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（I）∵AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点，
∴＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°；
（II）如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，＝，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝7.5，
∴⊙O的半径是7.5．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 22.5 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．
【分析】（1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定，判断∠MCD＝∠CMD，即可证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，再证明出△CDE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵D是的中点，
∴，
∴∠COD＝∠BOD＝45°，
∵，
∴∠BAD＝∠BOD＝22.5°，
故答案为：22.5．
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AMO＝∠ABD，
∵，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OD＝OB，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，
∵∠AMO＝∠CMD，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM．
（3）∵CD＝BD＝，
∴DM＝DC＝，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，
∵∠COD＝45°，OC＝OD，
∴∠ODC＝67.5°，
∴∠CDE＝45，
∵CE⊥AD，
∴DE＝ CD，
∴DE＝1，
∴ME＝﹣1．
【点评】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键．
22．浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
素材三 果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
【分析】任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，则2022年的产量为35（1+x）2千克，由2022年的产量解方程即可；
任务2：由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为m（cm），根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
【解答】解：任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，
由题意得：
35（1+x）2＝50.4，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：桃形李产量的年平均增长率为20%；
任务2：设裁掉正方形的边长为m（cm），由题意得：
（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300，
化简得，4m2﹣310m+2700＝0，
整理得，（m﹣10）（4m﹣270）＝0，
解得：m1＝10，m2＝（不符合题意舍去），
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，
设底面正六边形的边长为a（cm），纸盒的高为b（cm），
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AGB＝90°，
∴直角三角形ABG中，BG＝a，AG＝，
同理可得直角三角形FHE中，HE＝，
∵CG＝AG＝，b+AG+GC+b＝75，
∴2b+＝75①，
∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
∴BM为等边三角形的高，
∴BM＝，
同理可得，EN＝BM＝
∵四边形AGHF为矩形，
∴GH＝AF＝a，
∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80，
∴2a+＝80②，
联立①②式可得b＝150﹣8，
答：纸盒的高为（150﹣8）cm；
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DM＝DE，DE⊥AD交点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）由角平分线定义得到∠CDM＝∠ADM，由等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD，由直角三角形的性质即可求出∠CAD的度数；
（3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠DOE＝60°，由直角三角形的性质求出DF，OF，OD的长，求出扇形ODE的面积，△ODF的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明：∵DM＝DE，
∴＝，
∴∠CAD＝∠DAB；
（2）解：连接OM，OD，作OH⊥MD于H，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴∠MDC+∠MDO＝90°，
∵OM＝OD，OH⊥MD，
∴∠DOH＝∠MOD，
∵∠CAD＝∠MOD，
∴∠CAD＝∠DOH，
∵∠DOH+∠MDO＝90°，
∴∠DOH＝∠CDM，
∴∠CAD＝∠CDM，
∵DM平分∠ADC，
∴∠CDM＝∠ADM，
∵∠CAD+∠ADM+∠CDM＝90°，
∴∠CAD＝30°；
（3）解：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠DOB＝∠DAB+∠ADO＝2∠B，
∵∠DOB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵AD＝6cm，
∴DF＝AD＝3cm，
∴OF＝FD＝cm，
∴OD＝2OF＝2cm，
∴扇形ODE的面积＝＝2π（cm2），△ODF的面积＝OF DF＝×3×＝（cm2），
∴阴影的面积＝扇形ODE的面积﹣△ODF的面积＝（2π﹣）（cm2）．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD；由直角三角形的性质求出DF，OF，OD的长，∠DOE＝60°．
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