2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷
一、选择题
1．如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7cm，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
2．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．45° C．30° D．25°
3．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为（ ）
A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
4．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
5．如图，已知 是⊙O的直径，把 为 的直角三角板 的一条直角边 放在直线 上，斜边 与⊙O交于点 ，点 与点 重合．将三角板 沿 方向平移，使得点 与点 重合为止．设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2016九上·卢龙期中）已知⊙O的半径为5cm，P为该圆内一点，且OP=1cm，则过点P的弦中，最短的弦长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4 cm D．4 cm
7．如图，圆心角∠AOB=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．45°
8．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
二、填空题
11．如图，点A、B把⊙O分成 两条弧，则∠AOB= ．
12．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD= °．
13．如图，在 中， ，AC=8，BC=6，两等圆 、 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。
14．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为 ．
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为 度．
16．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为 ．
三、解答题
17．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
18．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．
19．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．
20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
21．如图（1），已知 ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E
（1）△DOE是等边三角形.
（2）如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
22．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝AC，△ADC的外接圆⊙O交BC于点E，连接DE并延长交AB延长线于点F.
（1）求证：CF＝DB；
（2）当AD＝ 时，求AB的长．
24．已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据点到圆心的距离 大于圆的半径 ，则该点在圆外.
故答案为：C.
【分析】点到圆心的距离大于该圆的半径，故该点在圆外。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，
∴∠ADC= ∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ADC的度数。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 如图
AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为圆，理由如下：
连接OA，OC，OB
∵OA=OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB，
∴AC=BC=
在Rt△BOC中，由勾股定理得出OC=4cm，
∴不管AB如何移动OC都是4cm，
故，AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为以点O为圆心，4cm为半径的圆
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可知：圆心到线段AB的中点的距离为4cm，则AB的中点所经过的路线是以O为圆心，4cm为半径的圆。
4．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；平移的性质
【解析】【解答】解：当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°；
当B、E重合时，∠POF的度数最大，∠POF=2∠PBF=60°；
故x的取值范围是30°≤x≤60°．
故答案为：30°≤x≤60°
【分析】当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B、E重合时，∠POF的度数最大，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠POF=2∠PBF=60°，从而得出答案。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在过点P的所有⊙O的弦中，最短的弦长为垂直于OP的弦，即OP⊥AB，
连接OA，
在Rt△AOP中，OA=5cm．OP=1cm．根据勾股定理可得：AP=2 cm，
根据垂径定理可得：AB=2AP，
所以AB=4 cm．
故选C．
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：认真观察图形，∵∠AOB=80°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．
8．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：延长CE交AB于G
则△AEG和△FEG都是直角三角形∴ ，
∴ ，即 ，这个函数是一个二次函数且抛物线的开口向下，故答案为：C
【分析】延长CE交AB于G，根据图形的对称性得出△AEG和△FEG都是直角三角形，AG=BG=2，设AF=x，则FG=(2-X)，根据勾股定理得出AE2=AG2+GE2 ， FE2=FG2+EG2，然后将两式相减得出，即可得出y与x 之间的函数关系式，由于所得函数是一个二次函数，而且二次项系数为负，故抛物线的开口向下，从而得出答案。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
= .
故答案为：C
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，OO′=OA，从而得出点O′在⊙O上，进而判断出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及周角的定义得出∠B′O′B=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠O′B′B=∠O′BB′=30°，从而得出三角形OB′B是含30°角的直角三角形，进而可以算出BB'的长，然后根据图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=S△OBB'-S扇形O'OB即可算出答案。
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′= OA= ×2= ，即PA+PB的最小值= ．故答案为：D．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON= ∠AON= ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，根据角的和差得出∠AOB′=90°，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长，从而得出答案。
11．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠AOB=360°× =80°．故答案为：80°
【分析】根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数即可算出答案。
12．【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵OABC为平行四边形，
∴OC=AB
∵OA=OC=OB， ∴OA=OB=AB，
∴三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OD⊥AB， ∴∠BOD=30°， ∴∠BAD=30°÷2=15°
【分析】连接OB，根据平行四边形的对边相等得出OC=AB，根据同圆的半径相等得出OA=OC=OB，故OA=OB=AB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出三角形OAB为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠AOB=60°，根据等腰三角形的三线合一得出∠BOD=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案。
13．【答案】
【知识点】相切两圆的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积，因此，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴根据勾股定理得：AB=10，且∠A＋∠B=90°。∴扇形的半径为5。
∴阴影部分的面积=
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据直角三角形两锐角互余得出∠A＋∠B=90°，又⊙ A 、 ⊙ B 外切且是等圆，故扇形的半径为5，观察图形发现：阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积，然后利用扇形面积计算公式：S=即可算出答案。
14．【答案】6cm
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AB=2BC，
在Rt△OBC中，OB=5，OC=4，∴BC= =3，
∴AB=6，
故答案为：6cm.
【分析】根据切线的性质得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AB=2BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC的长，从而得出AB的长。
15．【答案】37
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在△BCE中， ∠BEC =127°，
∴∠EBC+∠ECB=180° 127°=53°，
∵点E是△ABC的内心，
∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°，
∴∠BAC=74°，
∴∠DAC= ∠BAC =37°，
∴∠CBD=∠DAC=37°
故答案为：37°
【分析】根据三角形的内角和得出∠EBC+∠ECB=53°，根据三角形的外心的定义得出∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°，再根据三角形的内角和得出∠BAC=74°，根据三角形内心的定义得出AD是∠BAC的角平分线，故∠DAC= ∠BAC =37°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠CBD的度数。
16．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC，
又OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠AOC=2∠COB=120°，
∵∠1=∠2，∴∠EOF=∠1+∠COE=∠COE+∠2=∠AOC=120°，
设扇形的半径是r，
∴ ，∴r=3，
【分析】连接OB，根据菱形的性质得出OC=BC，又OC=OB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠COB=60°，根据菱形的对角线平分一组对角得出∠AOC=2∠COB=120°，根据角的和差及等量代换得出∠EOF=120°，设扇形的半径是r，然后根据扇形的面积公式即可列出方程，求解得出答案。
17．【答案】解： 四点共圆， 即 是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出∠A=∠BCE，根据等边对等角得出∠BCE=∠E，故∠A=∠E，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
18．【答案】解：连接OC，
∵AD=4，BD=9，
∴AB=4+9=13，OC= ，
∴OD=BD-OB=9- = ，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接OC，根据题意得出直径AB=13，半径OC=6.5，根据线段的和差得出OD的长，然后根据勾股定理计算出CD的长，BC的长。
19．【答案】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又∵CD为⊙的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，∴在Rt△OCD中，OC= OD=15cm，∴AB=2OC=30cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=60°，根据切线的性质得出∠OCD=90°，根据三角形的内角和得出∠D=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OC= OD=15cm，从而得出AB的长。
20．【答案】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵ ，∴ ，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BE，如图，根据垂径定理得出AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出AE，OC的长，根据直径所对的圆周角的直角得出∠ABE=90°，根据三角形的中位线定理得出BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中，利用勾股定理即可算出CE的长。
21．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形，
∴∠BOD=∠EOC=60°， ∴∠DOE=60°， ∴△DOE为等边三角形
（2）解：当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.理由如下：证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠DOE=2∠ACD=60°，
∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，根据同圆的半径相等得出OB=OC=OE=OD ，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OBD和△OEC都为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BOD=∠EOC=60°， 根据平角的定义得出∠DOE=60°， 从而根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△DOE为等边三角形；
（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.理由如下：连结CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°，根据平角的定义得出∠ADC=90°，根据三角形的内角和得出∠ACD=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠DOE=2∠ACD=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△DOE为等边三角形。
22．【答案】（1）解：∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴弧AD=弧BD。∴∠C= ∠AOD。
∵∠AOD=∠COE，∴∠C= ∠COE。
∵AO⊥BC，∴∠C=30°
（2）解：连接OB，
由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°。∴∠AOB=120°。
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF= ，OF= 。
∴AB= 。
∴ 。
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧AD=弧BD，根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠C= ∠AOD，根据对顶角相等及等量代换得出∠C= ∠COE，根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连接OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=60°，∠BOD=60°，故∠AOB=120°，在Rt△AOF中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AF，OF的长，根据垂径定理得出AB的长，再根据 S阴影=S扇形 S△OAB，即可算出答案。
23．【答案】（1）证明：连结AE，如图，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中， ，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB
（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD= ，∴DC= AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结AE，如图，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ADC=∠DAB=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出BE=CE，再根据二直线平行，内错角相等得出∠DCE=∠FBE，根据ASA判断出△DCE≌△FBE，根据全等三角形的对应边相等得出DE=FE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出：四边形BDCF为平行四边形，由平行四边形对边相等得出CF=DB；
（2）根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=60°，根据角的和差得出∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出DC的长，进而得出AC的长，从而得出答案。
24．【答案】（1）解：如图，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴CD⊥AB，又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点.
（2）解：如图，连接OD，∵AD=BD，OB=OC，∴DO是△ABC的中位线.
∴DO∥AC，OD= AC=3.
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°.根据等腰三角形的三线合一得出AD=BD，即点D是AB的中点；
（2）如图，连接OD，连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，故DO是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半得出DO∥AC，OD= AC=3，然后根据平行线的性质得出DE⊥DO，从而得出点O到直线DE的距离为3。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷
一、选择题
1．如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7cm，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据点到圆心的距离 大于圆的半径 ，则该点在圆外.
故答案为：C.
【分析】点到圆心的距离大于该圆的半径，故该点在圆外。
2．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．45° C．30° D．25°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，
∴∠ADC= ∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ADC的度数。
3．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为（ ）
A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 如图
AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为圆，理由如下：
连接OA，OC，OB
∵OA=OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB，
∴AC=BC=
在Rt△BOC中，由勾股定理得出OC=4cm，
∴不管AB如何移动OC都是4cm，
故，AB的中点C在滑动过程中所经过的路线为以点O为圆心，4cm为半径的圆
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可知：圆心到线段AB的中点的距离为4cm，则AB的中点所经过的路线是以O为圆心，4cm为半径的圆。
4．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
5．如图，已知 是⊙O的直径，把 为 的直角三角板 的一条直角边 放在直线 上，斜边 与⊙O交于点 ，点 与点 重合．将三角板 沿 方向平移，使得点 与点 重合为止．设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；平移的性质
【解析】【解答】解：当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°；
当B、E重合时，∠POF的度数最大，∠POF=2∠PBF=60°；
故x的取值范围是30°≤x≤60°．
故答案为：30°≤x≤60°
【分析】当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B、E重合时，∠POF的度数最大，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠POF=2∠PBF=60°，从而得出答案。
6．（2016九上·卢龙期中）已知⊙O的半径为5cm，P为该圆内一点，且OP=1cm，则过点P的弦中，最短的弦长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4 cm D．4 cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在过点P的所有⊙O的弦中，最短的弦长为垂直于OP的弦，即OP⊥AB，
连接OA，
在Rt△AOP中，OA=5cm．OP=1cm．根据勾股定理可得：AP=2 cm，
根据垂径定理可得：AB=2AP，
所以AB=4 cm．
故选C．
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
7．如图，圆心角∠AOB=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．45°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：认真观察图形，∵∠AOB=80°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．
8．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：延长CE交AB于G
则△AEG和△FEG都是直角三角形∴ ，
∴ ，即 ，这个函数是一个二次函数且抛物线的开口向下，故答案为：C
【分析】延长CE交AB于G，根据图形的对称性得出△AEG和△FEG都是直角三角形，AG=BG=2，设AF=x，则FG=(2-X)，根据勾股定理得出AE2=AG2+GE2 ， FE2=FG2+EG2，然后将两式相减得出，即可得出y与x 之间的函数关系式，由于所得函数是一个二次函数，而且二次项系数为负，故抛物线的开口向下，从而得出答案。
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
= .
故答案为：C
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，OO′=OA，从而得出点O′在⊙O上，进而判断出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及周角的定义得出∠B′O′B=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠O′B′B=∠O′BB′=30°，从而得出三角形OB′B是含30°角的直角三角形，进而可以算出BB'的长，然后根据图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=S△OBB'-S扇形O'OB即可算出答案。
10．如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′= OA= ×2= ，即PA+PB的最小值= ．故答案为：D．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON= ∠AON= ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，根据角的和差得出∠AOB′=90°，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长，从而得出答案。
二、填空题
11．如图，点A、B把⊙O分成 两条弧，则∠AOB= ．
【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠AOB=360°× =80°．故答案为：80°
【分析】根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数即可算出答案。
12．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD= °．
【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵OABC为平行四边形，
∴OC=AB
∵OA=OC=OB， ∴OA=OB=AB，
∴三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OD⊥AB， ∴∠BOD=30°， ∴∠BAD=30°÷2=15°
【分析】连接OB，根据平行四边形的对边相等得出OC=AB，根据同圆的半径相等得出OA=OC=OB，故OA=OB=AB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出三角形OAB为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠AOB=60°，根据等腰三角形的三线合一得出∠BOD=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案。
13．如图，在 中， ，AC=8，BC=6，两等圆 、 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。
【答案】
【知识点】相切两圆的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积，因此，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴根据勾股定理得：AB=10，且∠A＋∠B=90°。∴扇形的半径为5。
∴阴影部分的面积=
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据直角三角形两锐角互余得出∠A＋∠B=90°，又⊙ A 、 ⊙ B 外切且是等圆，故扇形的半径为5，观察图形发现：阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积，然后利用扇形面积计算公式：S=即可算出答案。
14．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为 ．
【答案】6cm
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AB=2BC，
在Rt△OBC中，OB=5，OC=4，∴BC= =3，
∴AB=6，
故答案为：6cm.
【分析】根据切线的性质得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AB=2BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC的长，从而得出AB的长。
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为 度．
【答案】37
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在△BCE中， ∠BEC =127°，
∴∠EBC+∠ECB=180° 127°=53°，
∵点E是△ABC的内心，
∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°，
∴∠BAC=74°，
∴∠DAC= ∠BAC =37°，
∴∠CBD=∠DAC=37°
故答案为：37°
【分析】根据三角形的内角和得出∠EBC+∠ECB=53°，根据三角形的外心的定义得出∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°，再根据三角形的内角和得出∠BAC=74°，根据三角形内心的定义得出AD是∠BAC的角平分线，故∠DAC= ∠BAC =37°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠CBD的度数。
16．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC，
又OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠AOC=2∠COB=120°，
∵∠1=∠2，∴∠EOF=∠1+∠COE=∠COE+∠2=∠AOC=120°，
设扇形的半径是r，
∴ ，∴r=3，
【分析】连接OB，根据菱形的性质得出OC=BC，又OC=OB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠COB=60°，根据菱形的对角线平分一组对角得出∠AOC=2∠COB=120°，根据角的和差及等量代换得出∠EOF=120°，设扇形的半径是r，然后根据扇形的面积公式即可列出方程，求解得出答案。
三、解答题
17．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】解： 四点共圆， 即 是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出∠A=∠BCE，根据等边对等角得出∠BCE=∠E，故∠A=∠E，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
18．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．
【答案】解：连接OC，
∵AD=4，BD=9，
∴AB=4+9=13，OC= ，
∴OD=BD-OB=9- = ，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接OC，根据题意得出直径AB=13，半径OC=6.5，根据线段的和差得出OD的长，然后根据勾股定理计算出CD的长，BC的长。
19．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．
【答案】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又∵CD为⊙的切线，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，∴在Rt△OCD中，OC= OD=15cm，∴AB=2OC=30cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=60°，根据切线的性质得出∠OCD=90°，根据三角形的内角和得出∠D=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OC= OD=15cm，从而得出AB的长。
20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
【答案】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵ ，∴ ，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BE，如图，根据垂径定理得出AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出AE，OC的长，根据直径所对的圆周角的直角得出∠ABE=90°，根据三角形的中位线定理得出BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中，利用勾股定理即可算出CE的长。
21．如图（1），已知 ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E
（1）△DOE是等边三角形.
（2）如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形，
∴∠BOD=∠EOC=60°， ∴∠DOE=60°， ∴△DOE为等边三角形
（2）解：当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.理由如下：证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠DOE=2∠ACD=60°，
∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，根据同圆的半径相等得出OB=OC=OE=OD ，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OBD和△OEC都为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BOD=∠EOC=60°， 根据平角的定义得出∠DOE=60°， 从而根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△DOE为等边三角形；
（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.理由如下：连结CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°，根据平角的定义得出∠ADC=90°，根据三角形的内角和得出∠ACD=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠DOE=2∠ACD=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△DOE为等边三角形。
22．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴弧AD=弧BD。∴∠C= ∠AOD。
∵∠AOD=∠COE，∴∠C= ∠COE。
∵AO⊥BC，∴∠C=30°
（2）解：连接OB，
由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°。∴∠AOB=120°。
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF= ，OF= 。
∴AB= 。
∴ 。
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧AD=弧BD，根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠C= ∠AOD，根据对顶角相等及等量代换得出∠C= ∠COE，根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连接OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=60°，∠BOD=60°，故∠AOB=120°，在Rt△AOF中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AF，OF的长，根据垂径定理得出AB的长，再根据 S阴影=S扇形 S△OAB，即可算出答案。
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝AC，△ADC的外接圆⊙O交BC于点E，连接DE并延长交AB延长线于点F.
（1）求证：CF＝DB；
（2）当AD＝ 时，求AB的长．
【答案】（1）证明：连结AE，如图，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中， ，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB
（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD= ，∴DC= AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结AE，如图，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ADC=∠DAB=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得出BE=CE，再根据二直线平行，内错角相等得出∠DCE=∠FBE，根据ASA判断出△DCE≌△FBE，根据全等三角形的对应边相等得出DE=FE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出：四边形BDCF为平行四边形，由平行四边形对边相等得出CF=DB；
（2）根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=60°，根据角的和差得出∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出DC的长，进而得出AC的长，从而得出答案。
24．已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
【答案】（1）解：如图，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴CD⊥AB，又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点.
（2）解：如图，连接OD，∵AD=BD，OB=OC，∴DO是△ABC的中位线.
∴DO∥AC，OD= AC=3.
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°.根据等腰三角形的三线合一得出AD=BD，即点D是AB的中点；
（2）如图，连接OD，连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，故DO是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半得出DO∥AC，OD= AC=3，然后根据平行线的性质得出DE⊥DO，从而得出点O到直线DE的距离为3。
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