2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（2） 同步练习
一、选择题
1．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
2．已知⊙O的半径是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
3．（2017·莱西模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴ = ，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH= BF=3．
∴BH= = =4，
∴BC=2BH=8．
故答案为：A．
【分析】作直径CF，连结BF，作AH⊥BC于H，首先依据等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，接下来，在Rt△BAH中，依据勾股定理可求得BH的长，然后依据垂径定理可得到BC=2BH.
4．（2018·衢州模拟）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①弧AB=弧CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故答案为：D．
【分析】如图连接OB、OD；根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，进而得出BM=DN，利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON；由HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，根据等量减等量差相等得出PA=PC。
5．下列说法中正确的是（ ）
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确；在同圆和等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦相等，所以②错误；③在同圆和等圆中，两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等，所以③错误；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变，所以④正确．
故选C．
【分析】根据圆心角的定义对①进行判断；根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对②③④进行判断
6．（2017·桂平模拟）如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，
由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴ = ，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=4，
∴A′B=2A′Q=4 ，
即PA+PB的最小值4 ．
故选D．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
7．如图，已知 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】作
在 中，
故答案为：C.
【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。
二、填空题
8．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
9．如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠A0B，∠C0D．已知CD=6，∠A0B +∠C0D=180°，则弦AB的弦心距等于 ．
【答案】3
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作OF⊥AB于F，作直径BE，连接AE，如图所示，
∵∠AOB+∠COD=180°，
而∠AOE+∠AOB=180°，
∴∠AOE=∠COD，
∴ = ，
∴AE=DC=6，
∵OF⊥AB，
∴BF=AF，
而OB=OE，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF= AE=3．
故答案为：3
【分析】作OF⊥AB于F，作直径BE，连接AE，根据等角的补角相等可得∠AOE=∠COD，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AE=弧DC，则AE=DC，由垂径定理和已知条件易证OF为△ABE的中位线，根据三角形的中位线定理可得OF=AE即可求解。
10．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
三、解答题
11．如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
【答案】解：如图，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，在△OBE与△ODF中， ，∴△OBE≌△ODF（HL），∴BE=DF，2BE=2DF，即AB=CD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】由题意用斜边直角边定理易证△OBE≌△ODF，所以可得BE=DF，根据垂径定理可得AE=BE，CF=DF，则结论可得证。
12．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证： .
【答案】解：连结OM、ON，如图，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，∴OC=OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中 ，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM=∠DON，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OM、ON，由题意用斜边直角边定理易证Rt△OMC≌Rt△OND，所以可得对应角∠COM=∠DON，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧BN。
13．如图，在⊙ 中， ， ，ＯC分别交AC，BD于E、F，求证：
【答案】解：∵ ，
∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∴ ，
∴AC=BD，
∴OE=OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由题意根据垂径定理可得OB⊥AC，OC⊥BD，弧AC=弧BD，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，则OE=OF。
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD是对角线，AB＝CD.
求证：
（1）AC＝DB；
（2）AD∥BC
【答案】（1）证明：∵
∴ 弧AB=弧CD
∴ 弧BD=弧AC
∴AC=BD
（2）证明：∵∴ 弧AB=弧CD∴
∴AD∥BC
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，加上公共弧AD可得弧BD=弧AC，同理可得AC=BD；
（2）根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，由相等的弧所对的圆周角相等可得∠DAC=∠ACB，根据平行线的性质可得AD∥BC。
15．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
16．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
17．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（2） 同步练习
一、选择题
1．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
2．已知⊙O的半径是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
3．（2017·莱西模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
4．（2018·衢州模拟）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①弧AB=弧CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列说法中正确的是（ ）
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
6．（2017·桂平模拟）如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
7．如图，已知 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
8．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
9．如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠A0B，∠C0D．已知CD=6，∠A0B +∠C0D=180°，则弦AB的弦心距等于 ．
10．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
三、解答题
11．如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
12．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证： .
13．如图，在⊙ 中， ， ，ＯC分别交AC，BD于E、F，求证：
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD是对角线，AB＝CD.
求证：
（1）AC＝DB；
（2）AD∥BC
15．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
16．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
17．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
2．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴ = ，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH= BF=3．
∴BH= = =4，
∴BC=2BH=8．
故答案为：A．
【分析】作直径CF，连结BF，作AH⊥BC于H，首先依据等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，接下来，在Rt△BAH中，依据勾股定理可求得BH的长，然后依据垂径定理可得到BC=2BH.
4．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故答案为：D．
【分析】如图连接OB、OD；根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，进而得出BM=DN，利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON；由HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，根据等量减等量差相等得出PA=PC。
5．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确；在同圆和等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦相等，所以②错误；③在同圆和等圆中，两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等，所以③错误；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变，所以④正确．
故选C．
【分析】根据圆心角的定义对①进行判断；根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对②③④进行判断
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，
由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴ = ，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=4，
∴A′B=2A′Q=4 ，
即PA+PB的最小值4 ．
故选D．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】作
在 中，
故答案为：C.
【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。
8．【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
9．【答案】3
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作OF⊥AB于F，作直径BE，连接AE，如图所示，
∵∠AOB+∠COD=180°，
而∠AOE+∠AOB=180°，
∴∠AOE=∠COD，
∴ = ，
∴AE=DC=6，
∵OF⊥AB，
∴BF=AF，
而OB=OE，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF= AE=3．
故答案为：3
【分析】作OF⊥AB于F，作直径BE，连接AE，根据等角的补角相等可得∠AOE=∠COD，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AE=弧DC，则AE=DC，由垂径定理和已知条件易证OF为△ABE的中位线，根据三角形的中位线定理可得OF=AE即可求解。
10．【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
11．【答案】解：如图，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，在△OBE与△ODF中， ，∴△OBE≌△ODF（HL），∴BE=DF，2BE=2DF，即AB=CD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】由题意用斜边直角边定理易证△OBE≌△ODF，所以可得BE=DF，根据垂径定理可得AE=BE，CF=DF，则结论可得证。
12．【答案】解：连结OM、ON，如图，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，∴OC=OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中 ，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM=∠DON，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OM、ON，由题意用斜边直角边定理易证Rt△OMC≌Rt△OND，所以可得对应角∠COM=∠DON，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧BN。
13．【答案】解：∵ ，
∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∴ ，
∴AC=BD，
∴OE=OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由题意根据垂径定理可得OB⊥AC，OC⊥BD，弧AC=弧BD，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，则OE=OF。
14．【答案】（1）证明：∵
∴ 弧AB=弧CD
∴ 弧BD=弧AC
∴AC=BD
（2）证明：∵∴ 弧AB=弧CD∴
∴AD∥BC
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，加上公共弧AD可得弧BD=弧AC，同理可得AC=BD；
（2）根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，由相等的弧所对的圆周角相等可得∠DAC=∠ACB，根据平行线的性质可得AD∥BC。
15．【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
16．【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
17．【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
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