2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（1） 同步练习
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
5．如图，在半径为R的⊙O中， 和 度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A．R B． C．2R D．3R
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52° B．57° C．66° D．78°
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝（ ）
A．110° B．80° C．40° D．70°
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC= 度．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE= ．
12．如图，⊙ 经过五边形 的四个顶点，若 ， ， ，则 的度数为 ．
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为 °
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
三、解答题
17．如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB 的关系是？
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
20．如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
（1）求证：FA＝FG；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40° ，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40° ，
∴∠AOE=60°．
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠EOD=∠COD=∠BOC，则∠AOE=180-3∠BOC即可求解。
3．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
4．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= =8，
故答案为：B．
【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，根据同角的补角相等可得∠BOE=∠COD，于是由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得BE=CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，所以在直角三角形ABE中，用勾股定理可求解。
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故答案为：A．
【分析】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．用边角边易证△COE≌△OAB，于是可得OE=AB，由角的构成易得∠EOD=∠ODE，根据等角对等边可得DE=OE，所以CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R。
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中， ，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A不符合题意；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴ ，故B不符合题意；
连结AD，
∵ ，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D不符合题意；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴ 不一定等于 ，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，（1）由题意用边角边可证△OAE≌△OBF，所以OE=OF；
（2）由（1）可得∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AC=弧BD；
（3）结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD
，但∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，所以AC=BD不一定等于CD；
（4）连结AD，结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，∠BAD=∠ADC，由平行线的判定可得CD∥AB。
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故答案为：B.
【分析】根据题意和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，则∠BOE=3∠COD，根据三角形内角和定理可求得∠AOE的度数，则∠AEO=即可求解。
8．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧，
∴∠DOE=40°．
∵OD=OE，
∴∠ODE= =70°．
∵弦DE∥AB，
∴∠AOC=∠ODE=70°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°．
故答案为：A．
【分析】连接OE，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可求得∠DOE的度数，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠ODE=，再根据平行线的性质可得∠AOC=∠ODE，用平角的性质即可求得∠BOC的度数。
9．【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
【分析】要求∠ACD的度数，由题意连接OD，只需求得∠ACO和∠OCD的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
10．【答案】144
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．
【分析】在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
11．【答案】75
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°
【分析】由题意要求∠AOE的度数，只需求得∠BOE的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求得∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，于是可得∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE即可求解。
12．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
【分析】要求弧BC的度数，只需求得圆心角∠BOC的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
13．【答案】50
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OD，
∵AB=CD，∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，在△APC和△DPB中，
∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，
∴△APC≌△DPB，
∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，
∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP，
∴∠APO=∠DPO=65°，
∴∠APD=130°，
∴∠APC=50°．
故答案为：50．
【分析】由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等可得弧AB=弧CD，由弧的构成易证AC=BD，由同弧所对的圆周角相等可得∠PAC=∠PDB，于是用角角边可证△APC≌△DPB，则PA=PD，用边边边又可证△AOP≌△DOP，于是可得∠APO=∠DPO，则∠APD=2∠APO，由平角的性质即可求得∠APC的度数。
14．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
15．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是 的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B= ，即AP+BP的值最小= .
故答案为： .
【分析】根据轴对称的性质可知，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的最小值即为A′B的长，由已知条件和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也相等易证三角形OA′B是等腰直角三角形，于是用勾股定理可求得A′B的长。
16．【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
17．【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可知，要证AC=EB=DF，只需证弧DF=弧AC=弧EB即可，而要证这三段弧相等，需证它们所对的圆心角相等，即∠FOD=∠AOC=∠BOE，由题中的已知条件∠1=∠2=∠3即可求解。
18．【答案】解：
平分
∠1=∠2
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据性质“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可得，要证弧CA=弧CB，只需证∠AOC=∠BOC即可。由题意根据角平分线的判定即可证得∠AOC=∠BOC，则问题得证。
19．【答案】解：在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴ 的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由三角形的内角和定理可求得∠B的度数，再根据三角形的内角和定理可求得∠BOC的度数，由根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数可得弧BC的度数和弧BD的度数，则弧CD的度数=弧BD的度数-弧BC的度数。
20．【答案】解：∵∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，再根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。
21．【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AC=BD
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝ CD，AG＝ AB．
∵AB=CD，∴DF=AG．∵OD=OA，∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这两段相等的弧减去它们的公共弧BC可得弧AC=弧BD，同理可得AC=BD；
（2）连接OA、OD．根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF＝CD，AG＝AB．则DF=AG，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，所以OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
22．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠ABE＋∠AGB＝90°.∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°.∵ ，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG
（2）解：连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵ ，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴ 的长为2π×(2＋2)× ＝ π.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）要证FA=FG，根据等角对等边可知，需证∠AGB＝∠CAD。由直径所对的圆周角是直角可得∠BAC＝90°，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠ABE；运用等角的余角相等可得∠AGB＝∠CAD即可求解；
（2）要求求弧EC的长度，根据弧长公式可知，只需知道弧EC所对的圆心角和圆的半径即可求解。连接AO，EO，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的性质可证△ABO是等边三角形，则可得∠AOB=，结合题中相等弧所对的圆心角相等可求得∠EOC=，代入公式即可求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.4 圆心角（1） 同步练习
一、选择题
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
2．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40° ，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40° ，
∴∠AOE=60°．
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠EOD=∠COD=∠BOC，则∠AOE=180-3∠BOC即可求解。
3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= =8，
故答案为：B．
【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，根据同角的补角相等可得∠BOE=∠COD，于是由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得BE=CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，所以在直角三角形ABE中，用勾股定理可求解。
5．如图，在半径为R的⊙O中， 和 度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．
A．R B． C．2R D．3R
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，CO=AO=R，∠OCE=∠AOB=36°，CE=OB=R，
∴△COE≌△OAB（SAS）， ∴OE=AB． ∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE， ∴DE=OE， ∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R． 故答案为：A．
【分析】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．用边角边易证△COE≌△OAB，于是可得OE=AB，由角的构成易得∠EOD=∠ODE，根据等角对等边可得DE=OE，所以CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R。
6．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中， ，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A不符合题意；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴ ，故B不符合题意；
连结AD，
∵ ，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D不符合题意；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴ 不一定等于 ，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，（1）由题意用边角边可证△OAE≌△OBF，所以OE=OF；
（2）由（1）可得∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AC=弧BD；
（3）结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD
，但∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，所以AC=BD不一定等于CD；
（4）连结AD，结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，∠BAD=∠ADC，由平行线的判定可得CD∥AB。
7．如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故答案为：B.
【分析】根据题意和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，则∠BOE=3∠COD，根据三角形内角和定理可求得∠AOE的度数，则∠AEO=即可求解。
8．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝（ ）
A．110° B．80° C．40° D．70°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧，
∴∠DOE=40°．
∵OD=OE，
∴∠ODE= =70°．
∵弦DE∥AB，
∴∠AOC=∠ODE=70°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°．
故答案为：A．
【分析】连接OE，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可求得∠DOE的度数，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠ODE=，再根据平行线的性质可得∠AOC=∠ODE，用平角的性质即可求得∠BOC的度数。
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
【分析】要求∠ACD的度数，由题意连接OD，只需求得∠ACO和∠OCD的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
10．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC= 度．
【答案】144
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．
【分析】在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．
11．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE= ．
【答案】75
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°
【分析】由题意要求∠AOE的度数，只需求得∠BOE的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求得∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，于是可得∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE即可求解。
12．如图，⊙ 经过五边形 的四个顶点，若 ， ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，
∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴弧BC的度数为40°．故答案为：40．
【分析】要求弧BC的度数，只需求得圆心角∠BOC的度数即可。由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
13．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC的度数为 °
【答案】50
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OD，
∵AB=CD，∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，在△APC和△DPB中，
∵∠PAC=∠PDB，∠APC=∠DPB，AC=BD，
∴△APC≌△DPB，
∴PA=PD，在△AOP和△DOP中，
∵PA=PD，OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP，
∴∠APO=∠DPO=65°，
∴∠APD=130°，
∴∠APC=50°．
故答案为：50．
【分析】由题意根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等可得弧AB=弧CD，由弧的构成易证AC=BD，由同弧所对的圆周角相等可得∠PAC=∠PDB，于是用角角边可证△APC≌△DPB，则PA=PD，用边边边又可证△AOP≌△DOP，于是可得∠APO=∠DPO，则∠APD=2∠APO，由平角的性质即可求得∠APC的度数。
14．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
15．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是 的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B= ，即AP+BP的值最小= .
故答案为： .
【分析】根据轴对称的性质可知，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的最小值即为A′B的长，由已知条件和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也相等易证三角形OA′B是等腰直角三角形，于是用勾股定理可求得A′B的长。
16．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
三、解答题
17．如图，AB，CD，EF都是☉O的直径，且∠1=∠2=∠3，求证：AC=EB=DF.
【答案】解：在☉O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB，CD，EF都是☉O的直径，
∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴ = = ，
∴AC=EB=DF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可知，要证AC=EB=DF，只需证弧DF=弧AC=弧EB即可，而要证这三段弧相等，需证它们所对的圆心角相等，即∠FOD=∠AOC=∠BOE，由题中的已知条件∠1=∠2=∠3即可求解。
18．D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则 弧CA与 弧CB 的关系是？
【答案】解：
平分
∠1=∠2
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据性质“在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等”可得，要证弧CA=弧CB，只需证∠AOC=∠BOC即可。由题意根据角平分线的判定即可证得∠AOC=∠BOC，则问题得证。
19．如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求弧CD和弧BC的度数.
【答案】解：在Rt△AOB中，∠A=35°，
∴∠B=55°，又∵OC=OB，
∴∠COB=180°-2∠B=70°，
∴ 的度数为70°，
∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，
∴ 的度数为20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由三角形的内角和定理可求得∠B的度数，再根据三角形的内角和定理可求得∠BOC的度数，由根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数可得弧BC的度数和弧BD的度数，则弧CD的度数=弧BD的度数-弧BC的度数。
20．如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
【答案】解：∵∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，再根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。
21．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD；
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形；
【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AC=BD
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形，DF＝ CD，AG＝ AB．
∵AB=CD，∴DF=AG．∵OD=OA，∴OD=OA，
∴△OFD≌△OGA，
∴OF=OG．
∴矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这两段相等的弧减去它们的公共弧BC可得弧AC=弧BD，同理可得AC=BD；
（2）连接OA、OD．根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF＝CD，AG＝AB．则DF=AG，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，所以OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G.
（1）求证：FA＝FG；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠ABE＋∠AGB＝90°.∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°.∵ ，
∴∠C＝∠ABE.
∴∠AGB＝∠CAD.
∴FA＝FG
（2）解：连接AO，EO.
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO.
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO.
∴△ABO是等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
∵ ，
∴∠AOE＝60°.
∴∠EOC＝60°.
∴ 的长为2π×(2＋2)× ＝ π.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）要证FA=FG，根据等角对等边可知，需证∠AGB＝∠CAD。由直径所对的圆周角是直角可得∠BAC＝90°，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠ABE；运用等角的余角相等可得∠AGB＝∠CAD即可求解；
（2）要求求弧EC的长度，根据弧长公式可知，只需知道弧EC所对的圆心角和圆的半径即可求解。连接AO，EO，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的性质可证△ABO是等边三角形，则可得∠AOB=，结合题中相等弧所对的圆心角相等可求得∠EOC=，代入公式即可求解。
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