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2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2．如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB＝a，AN平分∠DAB.DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，则DM＋CN的值为(用含有a的代数式表示)（ ）
A．a B． a C． a D． a
3．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
二、填空题
5．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．
6．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点An的坐标为
7．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
三、解答题
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
10．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
11．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
12．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
13．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝ a－x，∴DM＋CN＝ a
故答案为：C.
【分析】根据AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N得∠MDC=∠NCD=45°，所以DM+CN=（DP+PC）cos45°=CDcos45°； 再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出.
3．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB=EH，
∴∠EBH=∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH=EB=EA，
∴EH=AB，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
则与∠BEG相等的角有3个。
故答案为：B.
【分析】连接BH，根据折叠的性质得到角相等，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，根据等角的余角相等得到与∠BEG相等的角.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4× ×5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2。
故答案为：B.
【分析】四边形EFGH的外围有四个直角三角形， 每个直角三角形面积=（8-5）×5÷2. 则四边形EFGH面积=方形ABCD的面积-四个直角三角形面积.
5．【答案】125
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF＝ ＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°
故答案为：125.
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解.
6．【答案】(2n-1， 2n-1)
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
故答案为：(2n-1， 2n-1).
【分析】首先根据直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解.此题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键.
7．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
8．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
9．【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
10．【答案】（1）解：四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
（2）解：连结OE.由菱形OCED得CD⊥OE，
∴OE∥BC，又CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8，
∴S四边形OCED＝ OE·CD＝ ×8×6＝24
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半.
11．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°
（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.
12．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
（2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由已知条件证明△ADF≌△CDE得到AF＝CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等.
13．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形：
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠DCA即可；要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等.
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2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2．如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB＝a，AN平分∠DAB.DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，则DM＋CN的值为(用含有a的代数式表示)（ ）
A．a B． a C． a D． a
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝ a－x，∴DM＋CN＝ a
故答案为：C.
【分析】根据AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N得∠MDC=∠NCD=45°，所以DM+CN=（DP+PC）cos45°=CDcos45°； 再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出.
3．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB=EH，
∴∠EBH=∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH=EB=EA，
∴EH=AB，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
则与∠BEG相等的角有3个。
故答案为：B.
【分析】连接BH，根据折叠的性质得到角相等，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，根据等角的余角相等得到与∠BEG相等的角.
4．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4× ×5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2。
故答案为：B.
【分析】四边形EFGH的外围有四个直角三角形， 每个直角三角形面积=（8-5）×5÷2. 则四边形EFGH面积=方形ABCD的面积-四个直角三角形面积.
二、填空题
5．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．
【答案】125
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF＝ ＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°
故答案为：125.
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解.
6．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点An的坐标为
【答案】(2n-1， 2n-1)
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
故答案为：(2n-1， 2n-1).
【分析】首先根据直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解.此题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键.
7．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
三、解答题
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
10．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）解：四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
（2）解：连结OE.由菱形OCED得CD⊥OE，
∴OE∥BC，又CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8，
∴S四边形OCED＝ OE·CD＝ ×8×6＝24
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半.
11．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°
（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.
12．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
（2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由已知条件证明△ADF≌△CDE得到AF＝CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等.
13．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形：
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠DCA即可；要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等.
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