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2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.1 正方形的性质 同步练习
一、选择题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形.
故答案为：D.
【分析】有一个角是直角的平行四边形可以是矩形.
2．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
3．如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3.
故答案为：A.
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
4．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
二、填空题
5．如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC= 。
【答案】30°
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】△ABE为等边三角形∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°
故答案为：30°.
【分析】由题意易证得∠DAE=150°，又AE=AB=AD，∠AED=∠ADE=15°.同理∠BEC=15°，用大减小∠BAE-∠AED-∠BEC即可得到答案.
6．如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为 。
【答案】55°
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝90－x＋20，∴x＝55°
故答案为：55°.
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BDC′，故∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC.
7．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝ 如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝
【答案】∠EDC=150 ；∠BEG＝450
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，
∴∠BCE=∠BEC= （180°-30°）=75°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；
由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，
∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°．
故答案为：15°；45°.
【分析】根据已知可以证明△ADE和△BCE是两个全等的等腰三角形，由此可求得∠BEC的度数，从而即可求得∠DCE的度数；由上一问得到的结论应用上列等式∠BEG=180°-∠AED-∠AEB，代入数值即可得解.
三、解答题
8．在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：
（1）BH＝DE；
（2）BH⊥DE.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE，
∴△BCH≌△DCE，
∴BH＝DE
（2）证明：由(1)得，∠CBH＝∠CDE，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°，
∴BH⊥DE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；由(1)得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可.
9．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.
（1）说明：DE=DF
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线，无需证明。
【答案】（1）证明：连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
（2）∠BAC＝90°， DE⊥DF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据AAS可证明△BDE≌△CDF，即可得出DE＝DF；要利用上一问得到的结论DE=DF，然后再根据三个角是直角的四边形是矩形，条件综合即可证四边形EDFA是正方形.
10．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再结合题中所给的有关角的等量关系可证明△AED≌△DFC．得到AE=DF，ED=FC，容易发现DF=DE+EF，进行边的等量代换即可得证.
11．已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形．
【答案】解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由于四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，易证明△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，再根据正方形的判定定理即可证得.
12．AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF垂直AC交BC 于F，求证EC=EF=FB
【答案】证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
AE＝AB
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE=FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可.
13．如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由
【答案】解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：
①∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
②延长BE交DF于点M
∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90°
∴∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE=DF，延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F=90°，从而证明∠BMF=90°，BE⊥DF即可．
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2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.1 正方形的性质 同步练习
一、选择题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
4．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC= 。
6．如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为 。
7．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝ 如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝
三、解答题
8．在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：
（1）BH＝DE；
（2）BH⊥DE.
9．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.
（1）说明：DE=DF
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线，无需证明。
10．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．
11．已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形．
12．AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF垂直AC交BC 于F，求证EC=EF=FB
13．如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形.
故答案为：D.
【分析】有一个角是直角的平行四边形可以是矩形.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3.
故答案为：A.
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
5．【答案】30°
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】△ABE为等边三角形∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°
故答案为：30°.
【分析】由题意易证得∠DAE=150°，又AE=AB=AD，∠AED=∠ADE=15°.同理∠BEC=15°，用大减小∠BAE-∠AED-∠BEC即可得到答案.
6．【答案】55°
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝90－x＋20，∴x＝55°
故答案为：55°.
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BDC′，故∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC.
7．【答案】∠EDC=150 ；∠BEG＝450
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，
∴∠BCE=∠BEC= （180°-30°）=75°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；
由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，
∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°．
故答案为：15°；45°.
【分析】根据已知可以证明△ADE和△BCE是两个全等的等腰三角形，由此可求得∠BEC的度数，从而即可求得∠DCE的度数；由上一问得到的结论应用上列等式∠BEG=180°-∠AED-∠AEB，代入数值即可得解.
8．【答案】（1）证明：在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE，
∴△BCH≌△DCE，
∴BH＝DE
（2）证明：由(1)得，∠CBH＝∠CDE，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°，
∴BH⊥DE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；由(1)得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可.
9．【答案】（1）证明：连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
（2）∠BAC＝90°， DE⊥DF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据AAS可证明△BDE≌△CDF，即可得出DE＝DF；要利用上一问得到的结论DE=DF，然后再根据三个角是直角的四边形是矩形，条件综合即可证四边形EDFA是正方形.
10．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再结合题中所给的有关角的等量关系可证明△AED≌△DFC．得到AE=DF，ED=FC，容易发现DF=DE+EF，进行边的等量代换即可得证.
11．【答案】解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由于四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，易证明△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，再根据正方形的判定定理即可证得.
12．【答案】证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
AE＝AB
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE=FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可.
13．【答案】解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：
①∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
②延长BE交DF于点M
∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90°
∴∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE=DF，延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F=90°，从而证明∠BMF=90°，BE⊥DF即可．
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