2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.3中心对称 同步练习
一、选择题
1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2017·信阳模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列汉字中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法错误的是（ ）
A．中心对称图形一定是旋转对称图形
B．轴对称图形不一定是中心对称图形
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。
D．旋转对称图形一定是中心对称图形。
7．关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）．
A．平行 B．相等
C．平行且相等 D．相等且平行或在同一直线上
二、填空题
8．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：
9．把汉字“目”绕其中心旋转90°后，所得图形与汉字 相似．
10．已知点O是ABCD对角线的交点，则图中关于点O对称的三角形有 对，它们分别是 。
11． 如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD BC(填位置关系)．
三、解答题
12．在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．
13．请你写出5个成中心对称的汉字，填在下面的方框内．
14．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
15．在 ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若 ，则∠ACB= °，BC= ；
（2）如图2， ，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知 ，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】轴对称图形与中心对称图形的特征。
【分析】中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合。轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，根据定义可A得符合题意.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形是沿某 一条直线对折两边能完全重合的图形，中心对称图形是绕一点旋转180度后能与自身重合的图形.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C是轴对称图形，D既是轴对称图形，又是中心对称图形．故答案为：D
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图。根据定义可得D既是轴对称图形，又是中心对称图形。
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；简单事件概率的计算
【解析】【解答】既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共2张，所以，所求概率为： ，故答案为：B．
【分析】轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合。所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆2个，所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率=.
5．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图和第二个图只是轴对称图形，第3和第4个是中心对称图形．故答案为：B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义可知第3和第4个是中心对称图形。
6．【答案】D
【知识点】轴对称图形；旋转对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】中心对称与轴对称在关系： 中心对称图形一定是旋转对称图形， 而旋转对称图形不一定是中心对称图形
【分析】中心对称与轴对称的关系是：中心对称图形一定是旋转对称图形， 而旋转对称图形不一定是中心对称图形。
7．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
【分析】中心对称的性质有：对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
8．【答案】平行四边形
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形．
故答案可为：平行四边形．
【分析】中心对称图形的几何图形有：线段、菱形、正方形、矩形、圆、平行四边形等。
9．【答案】四
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：把汉字“目”绕其中心旋转90°后，观察图形，
可知，它与汉字四相似．
【分析】根据旋转的性质可得，把汉字“目”绕其中心旋转90°后，观察图形可知，它与汉字四相似．
10．【答案】4；
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】图中成中心对称的三角形有ΔOAB 与ΔOCD，ΔOBC与ΔOAD，ΔACD与ΔACB， ΔABD与ΔBCD共四对。
【分析】中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合。根据定义可得图中关于点O对称的三角形4对，它们分别是ΔOAB 与 ΔOCD ， ΔOBC 与 ΔOAD ， ΔACD 与ΔACB，ΔABD 与ΔBCD。
11．【答案】平行且相等；；平行且相等
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB平行且相等CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD|平行且相等BC(填位置关系)．
【分析】根据中心对称的性质可得ABCD，ΔAOD成中心对称的是 Δ OBC，由此可得ADBC。
12．【答案】解：这些艺术字均为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可得题目中的汉字或字母是中心对称图形，且对称中心为图形中的点O。
13．【答案】解：一、王、中、田、申（答案不唯一）．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】答案不唯一，只要这个图形绕着某一点旋转与原来的图形重合即可。
14．【答案】（1）解：如图
（2）解：S△ABC=2×3- ×2×1- ×2×1- ×3×1=6-2- ．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）关于点O成中心对称的图形的性质可得，只需要将顶点A、B、C与点O连接起来，并延长与原来相同的长度即为各点的对称点A′、B′、C′，再将点A′、B′、C′顺次连接即可；
（2）△ABC的面积=矩形的面积-3个直角三角形的面积=2×3-×2×1-×2×1-×3×1=.
15．【答案】（1）∠ACB=；；BC=+；
（2）；
（3）解：按△AB′D中的直角分类：
①当∠B′AD=90°时，如答图3，
∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=6.
如答图4，
∵∠A B′D=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=2.
②当∠AB′D=90°时，如答图5，
∵∠B′AD=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=4.
③当∠ADB′=90°时，如答图6，
∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=3.
综上所述， 当BC长为6，2， 4或3时，是△AB′D直角三角形.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）设B′C与AD相交于E，根据折叠的性质可得∠ACB=∠ACB′，∠B=∠AB′C，B′C=BC=AD
因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠CAD=∠ACB′=∠ACB，所以AE=CE，
所以B′E=DE，则∠B′DE=∠DB′E，所以∠DB′E=∠AB′D-∠AB′C=-==∠B′DE，
∠CAD=∠ACE=，所以∠ACB=∠CAD=；
过A作AGBC于G，因为∠B=30°，AB=，
所以AG=AB=，由勾股定理可得，BG==，
因为∠ACB=∠CAD=；
所以CG=AG=，由图知BC=BG+CG=+；
（2）如答图2，过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H.
∴CG=CH.
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，
∴ .
∵ ，∴ .
∵△AGC≌△AHC，∴ .
设AE=CE=x，
由勾股定理得， ，即 ，解得 .
∴△AEC的面积 .
（3）按△AB′D中的直角分类：
①当∠B′AD=90°时，如答图3，
∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=6.
如答图4，
∵∠A B′D=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=2.
②当∠AB′D=90°时，如答图5，
∵∠B′AD=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=4.
③当∠ADB′=90°时，如答图6，
∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=3.
综上所述， 当BC长为6，2， 4或3时，是△AB′D直角三角形.
【分析】（1）设B′C与AD相交于E，根据折叠的性质可得∠ACB=∠ACB′，∠B=∠AB′C，由平行四边形的性质可得∠CAD=∠ACB′=∠ACB，所以AE=CE，因为B′C=BC=AD，所以B′E=DE，根据等边对等角可得∠B′DE=∠DB′E，由角的构成可得∠DB′E=∠AB′D-∠AB′C=-==∠B′DE，根据三角形内角和定理可得∠CAD=∠ACE=，所以∠ACB=∠CAD=；
过A作AGBC于G，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB=，由勾股定理可得BG==，所以CG=AG=，由图知BC=BG+CG=+；
(2)过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H.根据角平分线的性质可得CG=CH，在Rt△BCG中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，，所以，根据△AGC≌△AHC可得，设AE=CE=x，由勾股定理得， ，即 ，解得 ，所以△AEC的面积 =；
（3）分三种情况：①当∠B′AD=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=6.②当∠AB′D=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=4.③当∠ADB′=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=3。
1 / 12017-2018学年数学浙教版八年级下册4.3中心对称 同步练习
一、选择题
1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】轴对称图形与中心对称图形的特征。
【分析】中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合。轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，根据定义可A得符合题意.
2．（2017·信阳模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形是沿某 一条直线对折两边能完全重合的图形，中心对称图形是绕一点旋转180度后能与自身重合的图形.
3．下列汉字中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C是轴对称图形，D既是轴对称图形，又是中心对称图形．故答案为：D
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图。根据定义可得D既是轴对称图形，又是中心对称图形。
4．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；简单事件概率的计算
【解析】【解答】既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共2张，所以，所求概率为： ，故答案为：B．
【分析】轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合。所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆2个，所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率=.
5．下列图形中，中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图和第二个图只是轴对称图形，第3和第4个是中心对称图形．故答案为：B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义可知第3和第4个是中心对称图形。
6．下列说法错误的是（ ）
A．中心对称图形一定是旋转对称图形
B．轴对称图形不一定是中心对称图形
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。
D．旋转对称图形一定是中心对称图形。
【答案】D
【知识点】轴对称图形；旋转对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】中心对称与轴对称在关系： 中心对称图形一定是旋转对称图形， 而旋转对称图形不一定是中心对称图形
【分析】中心对称与轴对称的关系是：中心对称图形一定是旋转对称图形， 而旋转对称图形不一定是中心对称图形。
7．关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）．
A．平行 B．相等
C．平行且相等 D．相等且平行或在同一直线上
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
【分析】中心对称的性质有：对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
二、填空题
8．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：
【答案】平行四边形
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形．
故答案可为：平行四边形．
【分析】中心对称图形的几何图形有：线段、菱形、正方形、矩形、圆、平行四边形等。
9．把汉字“目”绕其中心旋转90°后，所得图形与汉字 相似．
【答案】四
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：把汉字“目”绕其中心旋转90°后，观察图形，
可知，它与汉字四相似．
【分析】根据旋转的性质可得，把汉字“目”绕其中心旋转90°后，观察图形可知，它与汉字四相似．
10．已知点O是ABCD对角线的交点，则图中关于点O对称的三角形有 对，它们分别是 。
【答案】4；
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】图中成中心对称的三角形有ΔOAB 与ΔOCD，ΔOBC与ΔOAD，ΔACD与ΔACB， ΔABD与ΔBCD共四对。
【分析】中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合。根据定义可得图中关于点O对称的三角形4对，它们分别是ΔOAB 与 ΔOCD ， ΔOBC 与 ΔOAD ， ΔACD 与ΔACB，ΔABD 与ΔBCD。
11． 如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD BC(填位置关系)．
【答案】平行且相等；；平行且相等
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB平行且相等CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD|平行且相等BC(填位置关系)．
【分析】根据中心对称的性质可得ABCD，ΔAOD成中心对称的是 Δ OBC，由此可得ADBC。
三、解答题
12．在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．
【答案】解：这些艺术字均为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可得题目中的汉字或字母是中心对称图形，且对称中心为图形中的点O。
13．请你写出5个成中心对称的汉字，填在下面的方框内．
【答案】解：一、王、中、田、申（答案不唯一）．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】答案不唯一，只要这个图形绕着某一点旋转与原来的图形重合即可。
14．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
【答案】（1）解：如图
（2）解：S△ABC=2×3- ×2×1- ×2×1- ×3×1=6-2- ．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）关于点O成中心对称的图形的性质可得，只需要将顶点A、B、C与点O连接起来，并延长与原来相同的长度即为各点的对称点A′、B′、C′，再将点A′、B′、C′顺次连接即可；
（2）△ABC的面积=矩形的面积-3个直角三角形的面积=2×3-×2×1-×2×1-×3×1=.
15．在 ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若 ，则∠ACB= °，BC= ；
（2）如图2， ，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知 ，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？
【答案】（1）∠ACB=；；BC=+；
（2）；
（3）解：按△AB′D中的直角分类：
①当∠B′AD=90°时，如答图3，
∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=6.
如答图4，
∵∠A B′D=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=2.
②当∠AB′D=90°时，如答图5，
∵∠B′AD=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=4.
③当∠ADB′=90°时，如答图6，
∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=3.
综上所述， 当BC长为6，2， 4或3时，是△AB′D直角三角形.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）设B′C与AD相交于E，根据折叠的性质可得∠ACB=∠ACB′，∠B=∠AB′C，B′C=BC=AD
因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠CAD=∠ACB′=∠ACB，所以AE=CE，
所以B′E=DE，则∠B′DE=∠DB′E，所以∠DB′E=∠AB′D-∠AB′C=-==∠B′DE，
∠CAD=∠ACE=，所以∠ACB=∠CAD=；
过A作AGBC于G，因为∠B=30°，AB=，
所以AG=AB=，由勾股定理可得，BG==，
因为∠ACB=∠CAD=；
所以CG=AG=，由图知BC=BG+CG=+；
（2）如答图2，过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H.
∴CG=CH.
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，
∴ .
∵ ，∴ .
∵△AGC≌△AHC，∴ .
设AE=CE=x，
由勾股定理得， ，即 ，解得 .
∴△AEC的面积 .
（3）按△AB′D中的直角分类：
①当∠B′AD=90°时，如答图3，
∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=6.
如答图4，
∵∠A B′D=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=2.
②当∠AB′D=90°时，如答图5，
∵∠B′AD=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=4.
③当∠ADB′=90°时，如答图6，
∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°，AB′= ，∴BC=AD=3.
综上所述， 当BC长为6，2， 4或3时，是△AB′D直角三角形.
【分析】（1）设B′C与AD相交于E，根据折叠的性质可得∠ACB=∠ACB′，∠B=∠AB′C，由平行四边形的性质可得∠CAD=∠ACB′=∠ACB，所以AE=CE，因为B′C=BC=AD，所以B′E=DE，根据等边对等角可得∠B′DE=∠DB′E，由角的构成可得∠DB′E=∠AB′D-∠AB′C=-==∠B′DE，根据三角形内角和定理可得∠CAD=∠ACE=，所以∠ACB=∠CAD=；
过A作AGBC于G，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB=，由勾股定理可得BG==，所以CG=AG=，由图知BC=BG+CG=+；
(2)过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H.根据角平分线的性质可得CG=CH，在Rt△BCG中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，，所以，根据△AGC≌△AHC可得，设AE=CE=x，由勾股定理得， ，即 ，解得 ，所以△AEC的面积 =；
（3）分三种情况：①当∠B′AD=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=6.②当∠AB′D=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=4.③当∠ADB′=90°时，根据（1）中的结论以及直角三角形特殊角的性质易得BC=AD=3。
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