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2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.2 锐角三角函数的计算—利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题 同步练习
一、选择题
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】依题意，知MN=40×2=80(海里)，
又因为点P所在的直线与MN平行，
所以∠M=70°，∠N=40°，
所以∠MPN=70°，从而NP=MN=80海里.
故答案为：D。
【分析】由平行线的性质不难得出∠M=70°，∠N=40°，由三角形内角和可得出∠MPN=70°，发现∠M=∠MPN，则NP=MN。
2．如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（ ）海里/小时.
A．10 B．5 C．10 D．5
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】根据题意得：AB=10海里，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10海里，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD·sin ∠DBC=10× =5(海里)，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷ =10(海里/小时)，
故答案为：A。
【分析】求速度，则需要求出CD的长度；由方位角可得∠ADC=75°，∠BDC=60°，则∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，所以BD=AB，然后在Rt△BDC中，求出CD即可。
3．A,B两市相距150千米,分别从A,B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连结A,B两市的高速公路.问连结A,B两市的高速公路是否穿过风景区 请说明理由.
【答案】解:不穿过风景区.理由如下:
过C作CD⊥AB于点D,根据题意得:∠ACD=α,∠BCD=β,则在Rt△ACD中,AD=CD·tan α,在Rt△BCD中,BD=CD·tan β,∵AD+BD=AB,∴CD(tan α+tan β)=150,将tan α,tan β的值代入后,解得CD=50千米,50>45,故不会穿过风景区
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】要判断连结A,B两市的高速公路是否穿过风景区，需要求出离点C到直线AB的距离，再与45千米作比较。过C作CD⊥AB于点D,根据题意求CD，即可判断。
4．小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么他下降了（ ）
A．1米 B． 米 C．2 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：因为走的坡长为2米，且坡角为30°，
所以下降的高度=2×sin30°=1米
故答案为：A。
【分析】考查坡角的概念。
5．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为坡比BC：AC=1：，BC=10 m
所以AC=10m
则AB=m
故答案为：D。
【分析】考查坡比的概念，坡比是坡角的正切值。
二、解答题
6．如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A= .
【答案】30°
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥水平面，垂足为C，
在Rt△ABC中，sin∠A=,
则∠A=30°。
故答案为：30°。
【分析】构造直角三角形，由h=2,AB=4,求出∠A的正弦值，再根据特殊角的三角函数值判写。
7．如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据: ≈1.414, ≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
【答案】解:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5,在Rt△ABE中,BE=20米,∴ = ,∴AE=50米.在Rt△CFD中,∠D=30°,∴DF= =20 (米),∴AD=AE+EF+FD=50+6+20 ≈90.6(米).故坝底AD的长度约为90.6米
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】直接求AB的长度不容易，所以一般将AB的长度转化成求几条线段的长度；根据高是已知的，可过B，C分别作梯形的高，得到两个直角三角形，再根据坡比和坡角求出直角三角形的另一条直角边，从而可求出AB的长度。
8．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果用非特殊角的三角函数表示即可)
【答案】解:如图,过点P作PD⊥AB于点D.由题意知∠DPB=∠DBP=45°.在Rt△PBD中,sin 45°= = ,∴PB= PD.∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°.在Rt△PAD中,cos 25°= .∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里),∴PB=80 cos 25°海里
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角，在Rt△PAD中，求出PD；然后在Rt△PBD中，求出PB。
9．如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近 (渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)
【答案】解:作CD⊥AB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距离最近.设CD长为x,在Rt△ACD中,AD=CD tan 60°= x,在Rt△BCD中,BD=CD=x,∴AB=AD-BD= x-x=( -1)x,设渔政船从B航行到D需要t小时,则 t=BD=x,解得t= = .
答:渔政310船再按原航向航行 小时后,离渔船C的距离最近
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先找出渔政船310离渔船C的距离的位置：因为渔政船310的航线是在直线AB上，点C到直线AB上的垂线段最短，所以作CD⊥AB,交AB的延长线于D,CD=x，再用x表示出AB的长，根据行程关系列方程即可解出。
10．如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示，不取近似值)
【答案】解：作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AFC=∠AEC=90°.
∵∠FCE=90°，∠ACE=45°，∴AE=CE，∴四边形AFCE是正方形.设AF=FC=CE=AE=x海里，则FD=(x+30)海里，∵tan D= ，∠D=30°，∴ = ，
解得x=15 +15，∴AE=CE=(15 +15)海里.∵tan∠BCE= ，∠BCE=30°，∴ = ，
解得BE=(15+5 )海里.∴AB=AE+BE=15 +15+15+5 =20 +30(海里).
答：灯塔A、B之间的距离为(20 +30)海里
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】要求AB，而AB所在的三角形不是直角三角形，所以可以将AB分为两部分去求，作CE⊥AB于点E，则AB=AE+BE，根据方位角，可知AE=CE，且BE=CE，即需要求出CE；作AF⊥CD于点F，易得四边形AFCE是正方形，则在Rt△ADF中，由tan∠BCE=，构造方程解出CE。
11．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5， ≈1.73)
【答案】解：在Rt△BAE中，∠BAE=68°，BE=162米，∴AE= ≈ =64.8(米).在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DE=176.6米，∴CE= = ≈102.08(米)，
∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米)，即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】在Rt△BAE中，由tan∠BAE=，可求得AE的值；在Rt△DEC中，由tan∠DCE=，可求得CE，由AC=CE-AE可得AC，并将结果精确到0.1米。
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2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.2 锐角三角函数的计算—利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题 同步练习
一、选择题
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
2．如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（ ）海里/小时.
A．10 B．5 C．10 D．5
3．A,B两市相距150千米,分别从A,B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连结A,B两市的高速公路.问连结A,B两市的高速公路是否穿过风景区 请说明理由.
4．小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么他下降了（ ）
A．1米 B． 米 C．2 米 D． 米
5．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
二、解答题
6．如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A= .
7．如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据: ≈1.414, ≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
8．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果用非特殊角的三角函数表示即可)
9．如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近 (渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)
10．如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示，不取近似值)
11．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5， ≈1.73)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】依题意，知MN=40×2=80(海里)，
又因为点P所在的直线与MN平行，
所以∠M=70°，∠N=40°，
所以∠MPN=70°，从而NP=MN=80海里.
故答案为：D。
【分析】由平行线的性质不难得出∠M=70°，∠N=40°，由三角形内角和可得出∠MPN=70°，发现∠M=∠MPN，则NP=MN。
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】根据题意得：AB=10海里，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10海里，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD·sin ∠DBC=10× =5(海里)，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷ =10(海里/小时)，
故答案为：A。
【分析】求速度，则需要求出CD的长度；由方位角可得∠ADC=75°，∠BDC=60°，则∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，所以BD=AB，然后在Rt△BDC中，求出CD即可。
3．【答案】解:不穿过风景区.理由如下:
过C作CD⊥AB于点D,根据题意得:∠ACD=α,∠BCD=β,则在Rt△ACD中,AD=CD·tan α,在Rt△BCD中,BD=CD·tan β,∵AD+BD=AB,∴CD(tan α+tan β)=150,将tan α,tan β的值代入后,解得CD=50千米,50>45,故不会穿过风景区
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】要判断连结A,B两市的高速公路是否穿过风景区，需要求出离点C到直线AB的距离，再与45千米作比较。过C作CD⊥AB于点D,根据题意求CD，即可判断。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：因为走的坡长为2米，且坡角为30°，
所以下降的高度=2×sin30°=1米
故答案为：A。
【分析】考查坡角的概念。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为坡比BC：AC=1：，BC=10 m
所以AC=10m
则AB=m
故答案为：D。
【分析】考查坡比的概念，坡比是坡角的正切值。
6．【答案】30°
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥水平面，垂足为C，
在Rt△ABC中，sin∠A=,
则∠A=30°。
故答案为：30°。
【分析】构造直角三角形，由h=2,AB=4,求出∠A的正弦值，再根据特殊角的三角函数值判写。
7．【答案】解:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5,在Rt△ABE中,BE=20米,∴ = ,∴AE=50米.在Rt△CFD中,∠D=30°,∴DF= =20 (米),∴AD=AE+EF+FD=50+6+20 ≈90.6(米).故坝底AD的长度约为90.6米
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】直接求AB的长度不容易，所以一般将AB的长度转化成求几条线段的长度；根据高是已知的，可过B，C分别作梯形的高，得到两个直角三角形，再根据坡比和坡角求出直角三角形的另一条直角边，从而可求出AB的长度。
8．【答案】解:如图,过点P作PD⊥AB于点D.由题意知∠DPB=∠DBP=45°.在Rt△PBD中,sin 45°= = ,∴PB= PD.∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°.在Rt△PAD中,cos 25°= .∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里),∴PB=80 cos 25°海里
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角，在Rt△PAD中，求出PD；然后在Rt△PBD中，求出PB。
9．【答案】解:作CD⊥AB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距离最近.设CD长为x,在Rt△ACD中,AD=CD tan 60°= x,在Rt△BCD中,BD=CD=x,∴AB=AD-BD= x-x=( -1)x,设渔政船从B航行到D需要t小时,则 t=BD=x,解得t= = .
答:渔政310船再按原航向航行 小时后,离渔船C的距离最近
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先找出渔政船310离渔船C的距离的位置：因为渔政船310的航线是在直线AB上，点C到直线AB上的垂线段最短，所以作CD⊥AB,交AB的延长线于D,CD=x，再用x表示出AB的长，根据行程关系列方程即可解出。
10．【答案】解：作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AFC=∠AEC=90°.
∵∠FCE=90°，∠ACE=45°，∴AE=CE，∴四边形AFCE是正方形.设AF=FC=CE=AE=x海里，则FD=(x+30)海里，∵tan D= ，∠D=30°，∴ = ，
解得x=15 +15，∴AE=CE=(15 +15)海里.∵tan∠BCE= ，∠BCE=30°，∴ = ，
解得BE=(15+5 )海里.∴AB=AE+BE=15 +15+15+5 =20 +30(海里).
答：灯塔A、B之间的距离为(20 +30)海里
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】要求AB，而AB所在的三角形不是直角三角形，所以可以将AB分为两部分去求，作CE⊥AB于点E，则AB=AE+BE，根据方位角，可知AE=CE，且BE=CE，即需要求出CE；作AF⊥CD于点F，易得四边形AFCE是正方形，则在Rt△ADF中，由tan∠BCE=，构造方程解出CE。
11．【答案】解：在Rt△BAE中，∠BAE=68°，BE=162米，∴AE= ≈ =64.8(米).在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DE=176.6米，∴CE= = ≈102.08(米)，
∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米)，即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】在Rt△BAE中，由tan∠BAE=，可求得AE的值；在Rt△DEC中，由tan∠DCE=，可求得CE，由AC=CE-AE可得AC，并将结果精确到0.1米。
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