2017-2018学年数学浙教版八年级下册2.3.2一元二次方程的应用（课时2）同步练习
一、选择题
1．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m．故答案为：A．
【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意可得相等关系，剩余一块矩形空地的面积=矩形的长矩形的宽，而矩形的长为（x-2），矩形的宽（x-3），
列出方程并解这个方程即可求解。
2．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，化简为x2＋65x－350＝0.故B符合题意。
【分析】根据题意可知，镶一条金色纸边后的矩形的长为（80＋2x），宽为（50＋2x），而此时整个挂图的面积是5 400 ，所以可列方程(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，整理得，+65x-350.
3．（2016九上·绵阳期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
4．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128.
【分析】根据题意可知，用a表示两次降价后的售价，再根据已知条件得到a的方程。
二、解答题
5．如图S2－1所示，要建一个面积为130 m2的仓库，仓库有一边靠墙(墙长16 m)，并在与墙平行的一边开一道宽1 m的门，现有能围成32 m的木板，求仓库的长与宽？(注意：仓库靠墙的那一边不能超过墙长)．
【答案】解：设仓库的宽为x，则长为(32－2x＋1)，列方程得
(32－2x＋1)x＝130，解得x1＝，x2＝10，当x＝时，长为20，不合题意，则只能长为13，宽为10.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意可设仓库的宽为x，则长为(32－2x＋1)，列方程得(32－2x＋1)x＝130，解方程即可求出x的值，再将x的值与墙长16 m比较大小，即可得出仓库的长与宽。
6．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC
【答案】（1）解：S＝20t－4t2
（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)
（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.
∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】(1)根据题意可得，CQ=2t，CP=20-4t，所以Rt△CPQ的面积S=CQCP=2t（20-4t）=20t－4t2；
（2）当t＝3秒时，CQ=2t=2×3＝6，CP=20-4t=20-43=8，所以根据勾股定理可得，PQ＝10；
（3）根据题意列方程得，20t－4t2＝15×20，解方程得，t＝2或t＝3.即t为2秒或3秒时S＝S△ABC.
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，∴s= 1/2 QB PM= 1/2（16-t）×12=96-6t（0≤t≤ 21/2）
（2）解：由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 t=7/2；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 t1=16/3，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当 t=7/2s或 t=16/3s时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；列一次函数关系式
【解析】【分析】(1)若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知s=PM×QB=96-6t；
（2）由图结合题意可得，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间 t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，由PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出。
8．如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中每一横行共多少块瓷砖，每一竖行共有多少块瓷砖（均用含n的代数式表示）。
（2）设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与（1）中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值。
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
【答案】（1）解：白瓷砖：n（n+1）．
黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）解：n（n+1）+4n+6=506．
解得n1=20，n2=-25（不合题意，舍去）．
所以n的值为20
（3）解：由题意得n（n+1）=4n+6， n=．因为不是正整数，
所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形
【知识点】一元二次方程的其他应用；用字母表示数；探索图形规律
【解析】【分析】（1）根据题意可得白瓷砖：n（n+1）．黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）铺设地面所用瓷砖总数为y=n（n+1）+4n+6=+5n+6；当y=506时可得n（n+1）+4n+6=506．解这个方程即可求解；
（3）根据黑瓷砖与白瓷砖块数相等可得n（n+1）=4n+6，解得n=，而n为正整数，所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。
9．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽
【答案】解：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得： x1=25 ， x2=4 ，∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设垂直于墙的一边为x米，根据题意列方程得：x（58﹣2x）=200，解这个方程即可求解。
10．如图，在△ABC中，∠B=90°。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2 ？
【答案】解：设经过x秒，得：
BP=6-x,BQ=2x
解得：
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设经过x秒，△ PBQ的面积等于8cm2 。根据题意可得BP=6-x，BQ=2x，△ PBQ的面积=BP×BQ=8，解方程即可求解。
11．MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2，花圃的宽应当是多少？
【答案】解：设花圃的宽为xm,那么它的长是
根据题意得方程
即
解这个方程，得 ，
根据题意，舍去
所以，花圃的宽是5m
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据图形可设花圃的宽为xm,那么它的长是 ( 24 3 x ) m，由题意列方程x ( 24 3 x )=45，解方程得 = 3 , = 5 ,当=3时，花圃的长为24-33=1510，所以=3不符合实际意义，所以，花圃的宽是5m。
12．如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
【答案】解：设道路的宽为xm，
根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，
∴x2－52x＋100＝0，
∴x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设道路的宽为xm，根据题意可知，余下部分拼接在一起依然是一个矩形，这时矩形的长为(32－x），矩形的宽为(20－x)，因为草坪的面积为540，所以可列方程为，(20－x)(32－x)＝540，解得x1＝2，x2＝5020（不合题意，舍去)。
1 / 12017-2018学年数学浙教版八年级下册2.3.2一元二次方程的应用（课时2）同步练习
一、选择题
1．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
2．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0
3．（2016九上·绵阳期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
4．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
二、解答题
5．如图S2－1所示，要建一个面积为130 m2的仓库，仓库有一边靠墙(墙长16 m)，并在与墙平行的一边开一道宽1 m的门，现有能围成32 m的木板，求仓库的长与宽？(注意：仓库靠墙的那一边不能超过墙长)．
6．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
8．如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中每一横行共多少块瓷砖，每一竖行共有多少块瓷砖（均用含n的代数式表示）。
（2）设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与（1）中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值。
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
9．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽
10．如图，在△ABC中，∠B=90°。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2 ？
11．MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2，花圃的宽应当是多少？
12．如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m．故答案为：A．
【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意可得相等关系，剩余一块矩形空地的面积=矩形的长矩形的宽，而矩形的长为（x-2），矩形的宽（x-3），
列出方程并解这个方程即可求解。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，化简为x2＋65x－350＝0.故B符合题意。
【分析】根据题意可知，镶一条金色纸边后的矩形的长为（80＋2x），宽为（50＋2x），而此时整个挂图的面积是5 400 ，所以可列方程(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，整理得，+65x-350.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
4．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128.
【分析】根据题意可知，用a表示两次降价后的售价，再根据已知条件得到a的方程。
5．【答案】解：设仓库的宽为x，则长为(32－2x＋1)，列方程得
(32－2x＋1)x＝130，解得x1＝，x2＝10，当x＝时，长为20，不合题意，则只能长为13，宽为10.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意可设仓库的宽为x，则长为(32－2x＋1)，列方程得(32－2x＋1)x＝130，解方程即可求出x的值，再将x的值与墙长16 m比较大小，即可得出仓库的长与宽。
6．【答案】（1）解：S＝20t－4t2
（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)
（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.
∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】(1)根据题意可得，CQ=2t，CP=20-4t，所以Rt△CPQ的面积S=CQCP=2t（20-4t）=20t－4t2；
（2）当t＝3秒时，CQ=2t=2×3＝6，CP=20-4t=20-43=8，所以根据勾股定理可得，PQ＝10；
（3）根据题意列方程得，20t－4t2＝15×20，解方程得，t＝2或t＝3.即t为2秒或3秒时S＝S△ABC.
7．【答案】（1）解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，∴s= 1/2 QB PM= 1/2（16-t）×12=96-6t（0≤t≤ 21/2）
（2）解：由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 t=7/2；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 t1=16/3，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当 t=7/2s或 t=16/3s时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；列一次函数关系式
【解析】【分析】(1)若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知s=PM×QB=96-6t；
（2）由图结合题意可得，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间 t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，由PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出。
8．【答案】（1）解：白瓷砖：n（n+1）．
黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）解：n（n+1）+4n+6=506．
解得n1=20，n2=-25（不合题意，舍去）．
所以n的值为20
（3）解：由题意得n（n+1）=4n+6， n=．因为不是正整数，
所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形
【知识点】一元二次方程的其他应用；用字母表示数；探索图形规律
【解析】【分析】（1）根据题意可得白瓷砖：n（n+1）．黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）铺设地面所用瓷砖总数为y=n（n+1）+4n+6=+5n+6；当y=506时可得n（n+1）+4n+6=506．解这个方程即可求解；
（3）根据黑瓷砖与白瓷砖块数相等可得n（n+1）=4n+6，解得n=，而n为正整数，所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。
9．【答案】解：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得： x1=25 ， x2=4 ，∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设垂直于墙的一边为x米，根据题意列方程得：x（58﹣2x）=200，解这个方程即可求解。
10．【答案】解：设经过x秒，得：
BP=6-x,BQ=2x
解得：
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设经过x秒，△ PBQ的面积等于8cm2 。根据题意可得BP=6-x，BQ=2x，△ PBQ的面积=BP×BQ=8，解方程即可求解。
11．【答案】解：设花圃的宽为xm,那么它的长是
根据题意得方程
即
解这个方程，得 ，
根据题意，舍去
所以，花圃的宽是5m
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据图形可设花圃的宽为xm,那么它的长是 ( 24 3 x ) m，由题意列方程x ( 24 3 x )=45，解方程得 = 3 , = 5 ,当=3时，花圃的长为24-33=1510，所以=3不符合实际意义，所以，花圃的宽是5m。
12．【答案】解：设道路的宽为xm，
根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，
∴x2－52x＋100＝0，
∴x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设道路的宽为xm，根据题意可知，余下部分拼接在一起依然是一个矩形，这时矩形的长为(32－x），矩形的宽为(20－x)，因为草坪的面积为540，所以可列方程为，(20－x)(32－x)＝540，解得x1＝2，x2＝5020（不合题意，舍去)。
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