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新浙教版数学八年级（上）
5.3 一次函数（2）
正比例函数的解析式是什么？
一次函数的解析式是什么？
y=kx
（k为常数，且k≠0）
y=kx+b
（k、b为常数，且k≠0）
当b=0时，
一次函数y=kx+b就变形为正比例函数y=kx
探索一：
形如y=kx+b(k不为零）的函数, 称y是x的一次函数
形如y=kx (k不为零）的函数, 称y是x的正比例函数
y=kx+b
y=kx
b=0
分别写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值
1） s = - t +4
2） y=-2（x-1）+x
探索二：
(2) 若x=1，y=5，则函数关系式 _______.
1.正比例函数y=kx(k≠0)
y= 5x
2.若y与x成正比例，且当x=0.5时，y=3
则y与x的关系式为_______
y=6x
(1) 若比例系数为- , 则函数关系式为 ；
1
3
y= x
1
3
－
探索三：
问题1、已知y是x的正比例函数,当x=5时，y=4，
求此函数解析式以及比例系数．
如何确定正比例函数的解析式
设y=kx
待确定
解k
代
回代
一对x,y值代入.
待定系数法
探索四：
问题、已知y是x的一次函数，当x=3时， y=1；
当x= -2时， y= -14 。
求这个一次函数的解析式
如何确定一次函数的解析式
两对x,y值代入
待确定
待确定
解k、b
代
设y=kx+b
回代
待定系数法
用待定系数法求函数解析式的一般步骤？
探索五：
y=kx
y=kx+b
知道一对x,y值,可确定k.
知道两对x,y值,可确定k, b.
待确定
待确定
待确定
解一元一次方程
解二元一次方程组
待定系数法
1、设：所求的一次函数解析式为y=kx+b；
2、列：依已知列出关于k、b的方程组；
3、解：解方程组，求得k、b；
4、写：把k、b的值代入y=kx+b ，写出 一次函数解析式。
求一次函数表达式的一般步骤是怎样的呢？
我们把这种方法称为:用待定系数法求函数的解析式.
y=kx+b
知道两对x,y值,可确定k, b.
待确定
待确定
解二元一次方程组
1、已知y是x的一次函数.当x=1时,y=-5；
当x=-2时,y=-20.求这个一次函数的表达式.
解:
把x=1时，y=-5；当x=-2时，y=-20分别代入y=kx+b，得
设这个一次函数解析式为 y=kx+b
-5=k+b
-20 =-2k+b
①
②
解得
k=5
b=-10
∴
y=5x-10
练一练
（3）当y=7时，求自变量x的值;
（2）当x=- 时，求函数y的值；
已知y是x的一次函数，
当x=-4时，y=9； x=6时，y=-1，
（1）求这个一次函数的关系式，自变量x的取值范围；
（4）当y＜1时，自变量x的取值范围.
待定系数法
y= -x +5,
x取全体实数
y =5.5
x = -2
∴ x ﹥4
∵ y＜1
∴ -x+5＜1
∴ -x＜- 4
解：
答：自变量x的取值范围 x ﹥4。
3、某地区从1995年底开始,沙漠面积几乎每年以相同的速度增长.据有关报道,到2001年底,该地区的沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩展到101.2万公顷。
①沙漠面积是怎么变化的？
②沙漠面积变化跟什么有关系？
③设95年年底沙漠面积为b万公顷，每经过一年，沙漠面积增加
k万公顷.经过x年，沙漠面积增加到y万公顷.则y 和 x的关系？
y=kx+b
④也就是说可选用一次函数来描述沙漠面积的变化，只要
求出系数k和b.
⑤根据题设条件能否建立关于这两个常数的二元一次方程组
(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化
(2)如果该地区的沙漠化得不到治理,那么到2020年底,
该地区的沙漠面积将增加到多少公顷
98年年底沙漠面积100.6万公顷；
01年年底沙漠面积101.2万公顷
3、某地区从1995年底开始,沙漠面积几乎每年以相同的速度增长.据有关报道,到2001年底,该地区的沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩展到101.2万公顷。
(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化
(2)如果该地区的沙漠化得不到治理,那么到2020年底,
该地区的沙漠面积将增加到多少公顷
解:
（1）设95年年底沙漠面积为b万公顷，每经过一年，沙漠面积增加k万公顷，经过x年，沙漠面积为
y万公顷，由题意得 y=kx+b
把x=3时，y=100.6；x=6时，y=101.2分别代入y=kx+b，得
100.6=3k+b
101.2=6k+b
①
②
解得
k=0.2
b=100
∴
y=0.2x+100
（2）当x=25时，y=0.2×25+100=105
答：（略）
一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的解析式：
1、设所求的一次函数解析式为y=kx+b，其中k、b是待定的常数。
2、把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组。
3、解这个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值。
4、把求得的k、b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次 函数。
待定系数法
（解）
（写）
（设）
（列）
在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物 体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。写出y与x之间
的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解: 设y=kx+b,根椐题意，得
14.5=b ①
16=3k+b ②
把b=14.5代入②，得 k=0.5
所以在弹性限度内：y=0.5x+14.5
当x=4时，y=0.5 × 4 + 14.5 = 16.5
答：物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米。
｛
2、已知y-100与x成正比例，且当x=10时,y=600.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）当-300＜y≤400时, 自变量x的取值范围。
解:
把x=10时，y=600代入y-100=kx，得
（1）设这个正比例函数解析式为 y-100=kx
解得
k=50
∴
y-100=50x
600-100=10k
即y=50x+100
（2）当-300＜y≤400时， -300＜50x+100 ≤400
∴自变量x的取值范围为-8＜x≤6
能力提升
3、若y+3与x-2成正比例，则y是x的( )
A、正比例函数 B、比例函数
C、一次函数 D、不存在函数关系
C
问题1.
已知y-100与x成正比例关系，且当x=10时， y=600
求y关于x的函数解析式.
解：
设y-100=kx (k≠0),
则
10k=600-100
k=50
解得
答：y关于x的解析式是 y=50x+100.
∴ y-100=50x
∴y=50x+100
问题2.
已知y+m与x-n成正比例（其中m，n是常数）
（1）y是x的一次函数吗？
（2）如果当y=-15时,x=11；当x=7时,y=1；
求y关于x的函数解析式
解:(1)
设y+m=k(x-n),
（k是常数，且 k≠0）
∴y=kx-kn-m
∵k、m、n都是常数
∴ -kn-m 是常数
∴ y是关于x的一次函数
（2）设y=kx+b, 则
11k+b= -15
7k+b=1
｛
∴y=- 4x+29
k =-4
b =29
｛
解得
答： y关于x的函数解析
式为
y=-4x+29
∴ y+m=kx-kn
近几年，我国经济快速发展，电力需求加大，供应不足，某市为了鼓励居民节约用电，对居民用电收费采取了价格浮动政策；每户居民每月用电不超过20度时，每度电费0.5元；超过20度时，超过部分每度电费0.6元。该市民王先生家七月份用电x度。
1）求王先生家应付电费y元与用电量x之间的函数解析式
2）若王先生家该月用电80度，求他需付的电费；
3）若王先生家该月付电费22元，求他家该月的用电量；登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5.3 一次函数（2）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、已知y是关于x的一次函数,且当x=3时，y=－2；当x=2时，y=－3．
(1)求这个一次函数的表达式；(2)求当x=－3时, 函数y的值；
(3)求当y=2时, 自变量x的值；(4)当y>1时, 自变量x的取值范围.
2、已知y－2与x成正比例，且x=2时，y=－6．求：
(1) y与x的函数关系式；(2)当y=14时，x的值．
3、为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数．现知道其中两条旅游线路原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格分别为每人1800元和2300元．
(1) 求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2) 王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路的价格．
4、某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶路程超过3千米的部分，按每千米1.6元计费.21世纪教育网版权所有
(1) 求出租车收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；
(2) 若某人一次乘出租车时，付出了车费14.4元，求他这次乘坐了多少千米的路程？
第二部分
1. 已知下列函数：①y=2x－1；②y=－x；③y=4x；④. 其中属于正比例函数的有（ ）21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一次函数y=kx+b中，k为……………………………………………………………（ ）
A．非零实数 B．正实数 C．非负实数 D．任意实数
3. 已知y与x成正比例，当x=－2时，y=6，那么比例系数k=_______.
4．已知一次函数y=－2x+b，当x=1时，y=2，那么b的值是_______.
5. 若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是___________．
6. 若已知一次函数y=3x－6，则当x<0时，y的取值范围为 .
7. 下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x（时）之间的关系；②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；③一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这个棵树的高度为y(cm)；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系. 其中y是x的一次函数的为 .(填序号).
8. 已知y与2x+1成正比例，且x=－1时，y=2，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；（2）当y=10时，求x的值；
9. 已知y是关于x的一次函数, 且当x=0时，y=2；当x=1时，y=－1．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 求当x=－3时,函数y的值；(3) 当y>0时,自变量x的取值范围.
10.如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
参考答案
第一部分
1、已知y是关于x的一次函数,且当x=3时，y=－2；当x=2时，y=－3．
(1)求这个一次函数的表达式；(2)求当x=－3时, 函数y的值；
(3)求当y=2时, 自变量x的值；(4)当y>1时, 自变量x的取值范围.
【解】(1) 设一次函数的表达式为y=kx+b. 由题意,得, 解得. ∴y=x－5.
(2) 当x=－3时, y=－3－5=－8；(3) 当y=2时, 2=x－5, 解得x=7.
(4) 当y>1时, x－5>1, 解得x>6.
2、已知y－2与x成正比例，且x=2时，y=－6．求：
(1) y与x的函数关系式；(2)当y=14时，x的值．
【解】(1) 设y－2=kx, 则－6－2=2k, ∴k=－4, ∴y=－4x+2.
(2) 当y=14时, 14=－4x+2, 解得x=－3.
3、为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数．现知道其中两条旅游线路原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格分别为每人1800元和2300元．
(1) 求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(2) 王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路的价格．
【解】(1) 设y=kx+b, 由题意得, 解得, ∴.
(2) 当x=5600时, y=×5600+300=4300元.
4、某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶路程超过3千米的部分，按每千米1.6元计费.21cnjy.com
(1) 求出租车收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；
(2) 若某人一次乘出租车时，付出了车费14.4元，求他这次乘坐了多少千米的路程？
解：当x≤3时, y=8；当x>3时, y=8+1.6(x－3)=1.6x+3.2.
(2) 由题意,得14.4=1.6x+3.2, 解得x=7千米.
第二部分
1. 已知下列函数：①y=2x－1；②y=－x；③y=4x；④. 其中属于正比例函数的有（ ）21教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
2．一次函数y=kx+b中，k为……………………………………………………………（ ）
A．非零实数 B．正实数 C．非负实数 D．任意实数
答案：C
3. 已知y与x成正比例，当x=－2时，y=6，那么比例系数k=_______.
答案：3
4．已知一次函数y=－2x+b，当x=1时，y=2，那么b的值是_______.
答案：4
5. 若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是___________．
答案：
6. 若已知一次函数y=3x－6，则当x<0时，y的取值范围为 .
答案：y<－6
7. 下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x（时）之间的关系；②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；③一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这个棵树的高度为y(cm)；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系. 其中y是x的一次函数的为 .(填序号).
答案：①③④
8. 已知y与2x+1成正比例，且x=－1时，y=2，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；（2）当y=10时，求x的值；
解：(1) 设y=k(2x+1), 则2=(－2+1)k, ∴k=－2, ∴y=－4x－2；
(2) 当y=10时, 10=－4x－2, 解得x=－3．
9. 已知y是关于x的一次函数, 且当x=0时，y=2；当x=1时，y=－1．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 求当x=－3时,函数y的值；(3) 当y>0时,自变量x的取值范围.
解：(1) 设y=kx+b, 则, 解得. ∴y=－3x+2.
(2) 当x=－3时, y=11；(3) 当y>0时, －3x+2>0, 解得x<.
10.如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解：(1) 设y=kx+b, 则, 解得, ∴y=1.5x+4.5；
(2) 当x=11时, y=1.5×11+4.5=21cm.
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