2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.4.2平行四边形的判定定理（课时2） 同步练习
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故答案为：A
【分析】（1）一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）两组对边相等的四边形是平行四边形‘
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝ AC＝3，BD＝2OB.
∵AB⊥AC，
∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，
∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝ ＝5，
∴BD＝2OB＝10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝ AC＝3，BD＝2OB.则在Rt△AOB中，用勾股定理可求得OB==5，所以BD＝2OB＝10.
3．如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AMN，
∴MN∥BC.故①正确；
∵BC∥AD，
∴MN∥AD，
∵DN∥AM，
∴四边形AMND是平行四边形．
∴DN＝AM，
∴MN＝AM.故②正确．
故答案为：A.
【分析】（1）根据折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.而四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D＝∠AMN，根据平行线的判定可得MN∥BC；
（2）由（1）知BC∥AD，MN∥BC所以MN∥AD，而DN∥AM，根据平行线的定义可得四边形AMND是平行四边形。
4．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，DC∥AB，
∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD.
∵DG⊥AE，
∴AG＝FG.
∵F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝ ＝ ，
∴AF＝2GF＝2 .
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4 .故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB＝4，DC∥AB，由平行线的性质可得∠FAB＝∠DFA，根据角平分线的定义可得∠DAF＝∠FAB，所以∠DAF＝∠DFA，根据等角对等边可得AD＝FD，而DG⊥AE，根据等腰三角形三线合一可得AG＝FG.因为F为边DC的中点，所以DF＝CF＝2，在Rt△DGF中，有勾股定理可得GF＝=，根据线段中点定义可得AF＝2GF＝2，用角边角可证得△ADF≌△ECF，所以AF＝EF，所以AE＝2AF
＝4
二、填空题
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 ．
【答案】AD＝BC(AB∥CD或∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD或AO＝CO或BO＝DO)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】有四种添加方法：(1)添加AD＝BC，由“一组对边平行且相等”可得平行四边形；(2)添加AB∥CD，由“两组对边平行”可得平行四边形； (3)添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD，可得“两组对边平行”再得平行四边形；(4)添加AO＝CO或BO＝DO，由三角形全等，进一步得出“一组对边平行且相等”可得平行四边形．
【分析】方法不唯一。（1）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行线四边形”可添加AD＝BC；
（2）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可添加AB∥CD；
（3）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD；
（4）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可添加AO＝CO或BO＝DO。
6．如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝ .
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3.∴∠DAF＝∠BFA.∵AE平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠BFA＝∠BAF.∴AB＝BF＝BC＋CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，BC＝AD＝3，所以∠DAF＝∠BFA，由角平分线的定义可得∠DAF＝∠FAB，所以∠DAF＝∠FAB，∠BFA＝∠BAF，由线段的构成可得AB＝BF＝BC＋CF，所以CF＝AB－BC＝5－3＝2。
7．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝ AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为
【答案】3：4
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，连接CH，PF，
∵AP綊BE，∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE綊AB.∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．
设BD＝a，∵BD＝ AB，∴PE＝AB＝4a，
则PF＝PE－EF＝3a.
∵PH∥BC，
∴S△HBC＝S△PBC.
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3a.
∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，
∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4
【分析】根据题意可作辅助线，过点P作PH∥BC交AB于点H，连接CH，PF，而APBE，根据平行四边形的判断可得四边形APEB是平行四边形，由平行四边形的性质可得PEAB，而四边形BDEF是平行四边形，所以EF∥BD，由平行线的性质可得EF∥AB，所以P，F，E三点共线．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFPH是平行四边形，所以BH＝PF。设BD＝a，结合已知可得PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.因为平行线间的距离相等，所以S△HBC＝S△PBC.因为S△HBC∶S△ABC=BCBH∶BCAB＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，所以S△PBC∶S△ABC＝3∶4。
三、解答题
8．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝ BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
【答案】证明：∴OE∥BC，且OE＝ BC. 又∵CF＝ BC，∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据已知条件可得OE是三角形BCD的中位线，所以由三角形中位线定理可得OE= BC，OEBC，结合已知条件可得OE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OCFE是平行四边形．
9．在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
【答案】解：延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.[
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的添辅助线的方法--------“加倍中线法”可作辅助线，延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF∥BC，AF＝BC，所以∠FAB＝∠ABC=∠ACB，由等式的性质可得.∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，即∠FAC＝∠DBC，用边角边可证得△AFC≌△BCD，所以CD＝CF，即CD＝2CE.
10．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD.
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠B＝∠DAE.在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.
∴△ABE为等边三角形.
∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.然后用边角边可证得△ABC≌△EAD；
（2）由角平分线的定义可得∠DAE＝∠BAE，利用（1）中的结论可得∠BAE＝∠AEB＝∠B，所以根据等边三角形的判定定理可得△ABE为等边三角形，于是有∠BAE＝60°，所以∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，由（1）知△ABC≌△EAD，所以∠AED＝∠BAC＝85°.
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
【答案】解：连结ME，NF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BM⊥AC，DF⊥AC，∴∠BMO＝∠DFO＝90°.又∵∠BOM＝∠DOF，∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.同理可得OE＝ON，∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结ME，NF.根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD.由已知条件用角角边可证得△BMO≌△DFO，所以OM＝OF.同理可得OE＝ON，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形MEFN是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF∥MN.
12．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由.
【答案】解：AD＝BC.理由如下：
延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.
∵AB＋BC＝CD＋DA，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，CE＝AF.
又∵BE＝BC，DF＝AD，
∴∠E＝∠BCE＝∠F＝∠DAF.
又∵CE＝AF，∴△AFD≌△CEB(ASA)．
∴AD＝BC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】AD＝BC.理由如下：根据题意可作辅助线延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.由已知AB＋BC＝CD＋DA，可得AE＝CF.而AE∥CF，所以由平行四边形的判断可得四边形AECF为平行四边形，所以∠E＝∠F，CE＝AF.由线段的构成可得BE＝BC，DF＝AD，所以∠E＝∠F，CE＝AF.用角边角可证得△AFD≌△CEB，所以AD＝BC.
1 / 12017-2018学年数学浙教版八年级下册4.4.2平行四边形的判定定理（课时2） 同步练习
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
4．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
二、填空题
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 ．
6．如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝ .
7．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝ AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为
三、解答题
8．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝ BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
9．在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
10．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD.
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
12．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故答案为：A
【分析】（1）一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）两组对边相等的四边形是平行四边形‘
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝ AC＝3，BD＝2OB.
∵AB⊥AC，
∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，
∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝ ＝5，
∴BD＝2OB＝10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝ AC＝3，BD＝2OB.则在Rt△AOB中，用勾股定理可求得OB==5，所以BD＝2OB＝10.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AMN，
∴MN∥BC.故①正确；
∵BC∥AD，
∴MN∥AD，
∵DN∥AM，
∴四边形AMND是平行四边形．
∴DN＝AM，
∴MN＝AM.故②正确．
故答案为：A.
【分析】（1）根据折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.而四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D＝∠AMN，根据平行线的判定可得MN∥BC；
（2）由（1）知BC∥AD，MN∥BC所以MN∥AD，而DN∥AM，根据平行线的定义可得四边形AMND是平行四边形。
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，DC∥AB，
∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD.
∵DG⊥AE，
∴AG＝FG.
∵F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝ ＝ ，
∴AF＝2GF＝2 .
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4 .故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB＝4，DC∥AB，由平行线的性质可得∠FAB＝∠DFA，根据角平分线的定义可得∠DAF＝∠FAB，所以∠DAF＝∠DFA，根据等角对等边可得AD＝FD，而DG⊥AE，根据等腰三角形三线合一可得AG＝FG.因为F为边DC的中点，所以DF＝CF＝2，在Rt△DGF中，有勾股定理可得GF＝=，根据线段中点定义可得AF＝2GF＝2，用角边角可证得△ADF≌△ECF，所以AF＝EF，所以AE＝2AF
＝4
5．【答案】AD＝BC(AB∥CD或∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD或AO＝CO或BO＝DO)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】有四种添加方法：(1)添加AD＝BC，由“一组对边平行且相等”可得平行四边形；(2)添加AB∥CD，由“两组对边平行”可得平行四边形； (3)添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD，可得“两组对边平行”再得平行四边形；(4)添加AO＝CO或BO＝DO，由三角形全等，进一步得出“一组对边平行且相等”可得平行四边形．
【分析】方法不唯一。（1）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行线四边形”可添加AD＝BC；
（2）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可添加AB∥CD；
（3）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD；
（4）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可添加AO＝CO或BO＝DO。
6．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3.∴∠DAF＝∠BFA.∵AE平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠BFA＝∠BAF.∴AB＝BF＝BC＋CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，BC＝AD＝3，所以∠DAF＝∠BFA，由角平分线的定义可得∠DAF＝∠FAB，所以∠DAF＝∠FAB，∠BFA＝∠BAF，由线段的构成可得AB＝BF＝BC＋CF，所以CF＝AB－BC＝5－3＝2。
7．【答案】3：4
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，连接CH，PF，
∵AP綊BE，∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE綊AB.∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．
设BD＝a，∵BD＝ AB，∴PE＝AB＝4a，
则PF＝PE－EF＝3a.
∵PH∥BC，
∴S△HBC＝S△PBC.
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3a.
∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，
∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4
【分析】根据题意可作辅助线，过点P作PH∥BC交AB于点H，连接CH，PF，而APBE，根据平行四边形的判断可得四边形APEB是平行四边形，由平行四边形的性质可得PEAB，而四边形BDEF是平行四边形，所以EF∥BD，由平行线的性质可得EF∥AB，所以P，F，E三点共线．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFPH是平行四边形，所以BH＝PF。设BD＝a，结合已知可得PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.因为平行线间的距离相等，所以S△HBC＝S△PBC.因为S△HBC∶S△ABC=BCBH∶BCAB＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，所以S△PBC∶S△ABC＝3∶4。
8．【答案】证明：∴OE∥BC，且OE＝ BC. 又∵CF＝ BC，∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据已知条件可得OE是三角形BCD的中位线，所以由三角形中位线定理可得OE= BC，OEBC，结合已知条件可得OE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OCFE是平行四边形．
9．【答案】解：延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.[
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的添辅助线的方法--------“加倍中线法”可作辅助线，延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF∥BC，AF＝BC，所以∠FAB＝∠ABC=∠ACB，由等式的性质可得.∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，即∠FAC＝∠DBC，用边角边可证得△AFC≌△BCD，所以CD＝CF，即CD＝2CE.
10．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠B＝∠DAE.在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.
∴△ABE为等边三角形.
∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.然后用边角边可证得△ABC≌△EAD；
（2）由角平分线的定义可得∠DAE＝∠BAE，利用（1）中的结论可得∠BAE＝∠AEB＝∠B，所以根据等边三角形的判定定理可得△ABE为等边三角形，于是有∠BAE＝60°，所以∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，由（1）知△ABC≌△EAD，所以∠AED＝∠BAC＝85°.
11．【答案】解：连结ME，NF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BM⊥AC，DF⊥AC，∴∠BMO＝∠DFO＝90°.又∵∠BOM＝∠DOF，∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.同理可得OE＝ON，∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结ME，NF.根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD.由已知条件用角角边可证得△BMO≌△DFO，所以OM＝OF.同理可得OE＝ON，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形MEFN是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF∥MN.
12．【答案】解：AD＝BC.理由如下：
延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.
∵AB＋BC＝CD＋DA，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，CE＝AF.
又∵BE＝BC，DF＝AD，
∴∠E＝∠BCE＝∠F＝∠DAF.
又∵CE＝AF，∴△AFD≌△CEB(ASA)．
∴AD＝BC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】AD＝BC.理由如下：根据题意可作辅助线延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.由已知AB＋BC＝CD＋DA，可得AE＝CF.而AE∥CF，所以由平行四边形的判断可得四边形AECF为平行四边形，所以∠E＝∠F，CE＝AF.由线段的构成可得BE＝BC，DF＝AD，所以∠E＝∠F，CE＝AF.用角边角可证得△AFD≌△CEB，所以AD＝BC.
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