浙教版数学八年级上册 2.3 第2课时 等腰三角形性质定理2课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形性质定理2
学习目标
1、经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识；2、掌握等腰三角形三线合一的性质；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理、判断、计算和作图.
知识回顾
1、什么叫轴对称图形？
把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形.
2、什么叫等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
知识回顾
3、等腰三角形的轴对称性：
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
4、等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.简单的说在同一个三角形中，等边对等角.
合作学习
A
B
C
D
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线. 将△ABD沿AD对折，你发现了什么？
△ABD与△ACD完全重合
找出图中所有相等的线段和相等的角.
合作学习
A
B
C
D
相等的线段 相等的角
　
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
大胆猜想
A
B
C
D
1、BD=CD，AD为底边上的中线.
2、∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高.
3、∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线.
猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
验证猜想
已知： △ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.
求证： AD⊥BC，BD=CD.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2.
在△ABD和△ACD中， AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD.
∴ BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°.
A
B
C
D
1
2
等腰三角形性质定理2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
新课讲解
新课讲解
几何语言
A
B
C
D
1
2
在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
(2)∵AD是中线，∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
(3)∵AD是角平分线，∴ AD⊥BC，BD=CD.
例题讲解
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC.
求证：AD⊥BC.
A
B
C
D
E
证明：如图，延长AD，交BC于点E.
∵ AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）.
而AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（已知），
例题讲解
A
B
C
D
E
∴△ABD≌△ACD（ASA）.
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
∴△ABC是等腰三角形（定义）.
∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
∴ AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
即 AD⊥BC.
解：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角）.
又∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°，∴ ∠B=∠C=40°.
∵ AB=AC，AD BC，
∴ ∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一）.
∴ ∠BAD=∠CAD=50°.
巩固练习
1、如图，房屋顶角∠BAC=100 ，过屋顶A的立柱AD BC ，屋椽AB=AC.求顶架上∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数.
A
B
D
C
巩固练习
2、已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点.
求证：AB⊥CD.
分析：
AB⊥CD
AO⊥CD
即证明AO是等腰三角形ACD底边上的高线
只需证明AO是等腰三角形ACD的顶角平分线或底边上的中线
即证OC=OD或∠CAO=∠DAO(等腰三角形三线合一）
△CAB≌△DAB
AB=AB，AC=AD，BC=BD（SSS）
.
证明：∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（SSS）.
∴∠CAB=∠DAB，
∴AO是△ADC的顶角平分线，
又∵AC=AD，∴△ADC为等腰三角形（定义），
∴AO⊥CD（等腰三角形三线合一），即AB⊥CD.
AC=AD（已知），
BC=BD（已知），
AB=AB（公共边），
h
例题讲解
作法：如图，
1、作线段BC=a，
a
B
C
例2 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高线长为h.
例题讲解
作法：如图，
2、作线段BC的垂直平分线l，
交BC于点D.
B
C
D
l
例2 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高线长为h.
例题讲解
作法：如图，
3、在直线l上截取DA=h，连结AB，AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
B
C
D
l
A
例2 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高线长为h.
证明：∵AB=AC， AD是BC边上的中线，
∴∠B=∠C（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，
∵DE=AE， ∴∠1=∠2（等边对等角），∴∠3=∠B=∠C，
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行）.
随堂练习
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE=AE.求证：DE∥AC.
1
2
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等腰三角形的性质定理
文字叙述
几何语言
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
定理1 等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）.
定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线互相重合（简称等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，∠1=∠2， ∴AD⊥BC，BD=CD.
课堂小结
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