：圆的基础知识期末总复习学案（一）
基础知识回顾
一．点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d，则：点P在圆内
<＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外 <＝>
2.过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 2-1-c-n-j-y
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
特别提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 21*cnjy*com
垂径定理：
垂直于弦的直径_________弦，_______所对的弧；垂直弦平分弧的直线__________,平分弦平分弧的直线_________________.21教育网
特别提醒：在有关圆中弦之类的计算和证明时，我们通常作弦心距为辅助线.
三．圆心角和圆周角
1.圆心角的度数_______所对弧的度数，圆周角的度数__________所对弧的度数，同弧所对的圆周角____________圆心角；21cnjy.com
2.直径所对的圆周角是_________,直角的圆周角所对的弦是___________;
3.同弧（等弧）所对的圆心角_______,圆周角_____________;
特别提醒：相等的圆心角，相等的圆周角，相等的弦，相等的弧，相等的弦心距这些量中只要有一个成立，其余量全成立.2·1·c·n·j·y
四．正多边形和圆：
1.各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2.每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示21·世纪*教育网
3.每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成2n个全等的 三角形【来源：21cnj*y.co*m】
特别提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主【出处：21教育名师】
五．弧长与扇形面积计算：
圆的半径为R，弧长为L，圆心角为，扇形的面积为s扇，则有如下公式：
=
特别提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位
3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择
4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等.【版权所有：21教育】
.典型例题解析
圆心角圆周角及弧的有关概念
例1.(1)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB
（2）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）21教育名师原创作品
A． 30° B．45° C．60° D．70°21*cnjy*com
(3)如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为 （ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
练一练：
1.如图，是⊙的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是( )
Ａ．∠A ﹦∠D Ｂ．CE ﹦DE Ｃ．∠ACB ﹦90° D．CE ﹦BD
2.如图．圆O的直径CD过弦EF的中点G, ∠DCF=20°.，则∠EOD等于（ ）
A. 10° B. 20° C. 40° D. 80°
3.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）www-2-1-cnjy-com
4.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
圆中的有关计算
例2（1）.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
（2）..如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使他们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，0F=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位
（3）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
练一练：
如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为（ ）A．56 B．58 C．60 D．62
弧长及扇形面积
例3.(1)如图,△ABC是等于直角三角形，∠ACB=90°AC=BC，把△ABC绕点A顺时针方向旋转45°后得到△AB`C`,如AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）21世纪教育网版权所有
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CB＝16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴
影部分面积是( )
B、 C、 D、
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）．21·cn·jy·com
练一练：
与圆O的重迭情形，其中BC为圆O直径。若，BC＝2，则图中灰色区域
的面积为（ ）
A. B. C. D.
2.把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为 www.21-cn-jy.com
：圆的基础知识期末总复习学案（一）
基础知识回顾
一．点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有 三 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d，则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外 <＝>
2.过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 不能 作圆，过 不在同一直线上 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的 外心 这个三角形叫做这个圆的 内接三角形
⑶三角形外心的形成：三角形 三边垂直平分线的 的交点，外心的性质：到 三角形三个顶点的距离 相等21·世纪*教育网
特别提醒：1、锐角三角形外心在三角形 内部 直角三角形的外心是 斜边的中点 锐角三角形的外心在三角形 外部 21*cnjy*com
垂径定理：
垂直于弦的直径_平分____弦，___平分弦__所对的弧；垂直弦平分弧的直线__经过圆心________,平分弦平分弧的直线__经过圆心_______________.
特别提醒：在有关圆中弦之类的计算和证明时，我们通常作弦心距为辅助线.
三．圆心角和圆周角
1.圆心角的度数__等于_____所对弧的度数，圆周角的度数__________所对弧的度数，同弧所对的圆周角____________圆心角；
2.直径所对的圆周角是____直角_____,直角的圆周角所对的弦是____直径_______;
3.同弧（等弧）所对的圆心角__相等_____,圆周角____相等_________;
特别提醒：相等的圆心角，相等的圆周角，相等的弦，相等的弧，相等的弦心距这些量中只要有一个成立，其余量全成立.
四．正多边形和圆：
1.各边相等， 各内角 也相等的多边形是正多边形
2.每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 中心 外接圆的半径叫正多边形的 半径 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 中心角 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 边心距 用r表示
3.每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的 等腰 三角形，被它的半径和边心距分成2n个全等的 直角 三角形
特别提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主
五．弧长与扇形面积计算：
圆的半径为R，弧长为L，圆心角为，扇形的面积为s扇，则有如下公式：
=
特别提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位
3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择
4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等. 21*cnjy*com
.典型例题解析
圆心角圆周角及弧的有关概念
例1.(1)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ）
A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB
（2）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）21教育网
A． 30° B．45° C．60° D．70°www.21-cn-jy.com
如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠BEC的度数为 （ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
（1）.思路分析：由于是圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，只要找到与同弧所对的圆周角即可。故选择A【来源：21·世纪·教育·网】
（2）思路分析：由于，只要设故故选择C
3.思路分析：由于ABCD是正方形，所分的四段弧都等于，正好是其中一段弧所对的圆周角。故选择B
练一练：
1.如图，是⊙的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是( D )
Ａ．∠A ﹦∠D Ｂ．CE ﹦DE Ｃ．∠ACB ﹦90° D．CE ﹦BD
2.如图．圆O的直径CD过弦EF的中点G, ∠DCF=20°.，则∠EOD等于（ C ）
A. 10° B. 20° C. 40° D. 80°
3.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ B ）2-1-c-n-j-y
4.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ D ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
圆中的有关计算
例2（1）.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
（2）..如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使他们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，0F=6个单位，则圆的直径为（ ） 2·1·c·n·j·y
A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位
（3）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
2.思路分析：在一个圆中，90o的圆周角所对的弦就是圆的直径，连接EF， 则EF就是圆的直径。答案Bwww-2-1-cnjy-com
思路分析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长【来源：21cnj*y.co*m】
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
∴，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴OE=AF=AC=3cm，
在Rt△DOE中，DE==4cm，
在Rt△ADE中，AD==4cm．
故选A．
练一练：
如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ D ）21世纪教育网版权所有
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ B ）21cnjy.com
如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为（ A ）A．56 B．58 C．60 D．62
弧长及扇形面积
例3.(1)如图,△ABC是等于直角三角形，∠ACB=90°AC=BC，把△ABC绕点A顺时针方向旋转45°后得到△AB`C`,如AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）【出处：21教育名师】
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，CB＝16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴
影部分面积是( )
B、 C、 D、
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）．【版权所有：21教育】
思路分析：△ABC是等于直角三角形，∠ACB=90°AC=BC，AB=2，所以AC=，观察图形可知阴影部分的面积等于S扇形BAB`+S△ACB`﹣S△ACB﹣S扇形ACC` =
答案：
（2）思路分析：设半圆与BC的交点为D,连结AD,可得阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去三角形ABC 的面积。故答案B正确。A、C、D均不正确。21教育名师原创作品
答案B
练一练：
与圆O的重迭情形，其中BC为圆O直径。若，BC＝2，则图中灰色区域
的面积为（ D ）
A. B. C. D.
2.把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为 21·cn·jy·com
：圆的基础知识期末总复习配套练习（一）
选择题
钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC⊥AB于点D，若OD=3，则弦AB的长为( )
A、10 B、8 C、6 D、4
3.若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（ ）
A.3π B.4π C.5π D.6π
4.如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）21·世纪*教育网
A.4 B.5 C.6 D.7
6.如图，⊙O的半径为5，若OP=3，，则经过点P的弦长可能是 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝500，则∠DAB等于（ ） A. B. C. D. www-2-1-cnjy-com
8.如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为( ) A．36°?????? B．46°????? C．27°????? D．63°2-1-c-n-j-y
9.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A．?????? B．8?????? C．????? D．
10.如图，是⊙的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是( )
Ａ．∠A ﹦∠D Ｂ．CE ﹦DE Ｃ．∠ACB ﹦90° D．CE ﹦BD
11.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ） 21*cnjy*com
A. B. C. D.
12.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
13.如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
14.如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）
A． B． AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°
15.如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）21cnjy.com
如图，在中，，，，以点为圆心，为半径
的圆与交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC
的长为（ ）
19.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( )
20.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，
如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，
则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二．填空题
21．在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为_____
22．如图所示，四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为__________
23.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_______
24.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)， B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为___________ 21世纪教育网版权所有
如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O的半径为______21·cn·jy·com
26.如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70，那么∠A的度数为_____21教育网
27.自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的平行线，且交BC于E、F两点，则
∠EDF=_______
28.如图，⊙O是的外接圆，CD是直径，，则的度数是
29.如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是_________www.21-cn-jy.com
30．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为_______2·1·c·n·j·y
31．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O的半径为_____________
32．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，
秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡
过的圆弧长为______
如果一边长为20cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝
围成的圆形铁圈中穿过，那么铁圈直径的最小值为 cm
（铁丝粗细忽略不计）．
⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离
是 cm
35.一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为__________
：圆的基础知识期末总复习配套练习（一）答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
B
C
C
A
D
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
B
D
C
C
B
B
C
C
B
C
二．选择题
21. 10分米 22. 23. cm 24. 25.
