：圆的基础知识期末总复习学案（二）
与圆有关的阴影部分面积计算类问题
例5如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，求阴影部分的面积（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）
例6.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．21cnjy.com
练一练：
1.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）21·cn·jy·com
A．－ B．－ C．π－ D．π－
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 www.21-cn-jy.com
3。如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，
OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．
圆的综合应用
例7如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
例8如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
练一练：
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．21世纪教育网版权所有
（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
3.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，求四边形MANB面积的最大值21教育网
：圆的基础知识期末总复习学案（二）答案
与圆有关的阴影部分面积计算类问题
例5如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，求阴影部分的面积（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）
思路分析：先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，
得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的
面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．
解：∵AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（Hl）， ∴BE=DF，∴EC=CF，又∵∠C=90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EFcos45°=2×=，∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-， ∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 例6.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．21世纪教育网版权所有
思路分析：（1）根据垂径定理可得，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数。 （2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据
,即可得出答案。
练一练：
1.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
A．－ B．－ C．π－ D．π－
解：扇形BEF的面积为：S1==，
菱形ABCD的面积为SABCD=，
如右图，连结BD，易证：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为：，因为四边形BPDQ的面积为，2·1·c·n·j·y
阴影部分的面积为：－ 故选择B
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析：根据题意结合图形A、B两个扇形半径相等圆心角之和为90°，
S阴影`=S△ABC`－S扇形C`－（S扇形A+S扇形B` ）=
故答案为
如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，
∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．
思路分析：（1）运用垂径定理和圆周角定理易解；（2）欲求图中阴影部分面积，需连接OB，先求扇形OBC和△OBC的面积，再计算它们的差．21·世纪*教育网
解：（1）∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，＝．
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°．
(2) ∵BC＝6，∴CE＝BC＝3．在Rt△OCE中，OC＝＝．
∴OE＝＝＝．
连接OB，∵＝，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°．
∴S阴影＝S扇形ABC－S△OBC＝××()2－×6×＝4－3．
圆的综合应用
例7如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
思路分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；2-1-c-n-j-y
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC=．
∵OE⊥AC， ∴AE=EC，
又∵OA=OB， ∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2， ∴DE=OD﹣OE=2﹣．
例8如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
思路分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；
（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．
（1）证明：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
（2）解：连接OC，
∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，
∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，
∴△OPC是直角三角形，∴．
练一练：
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．21教育网
（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=． www-2-1-cnjy-com
解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DG=CG， ∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED；
②∵=，CF=2，
∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2；
③∵AF=3，FG=2，
③∵AF=3，FG=2，∴AG=，
tan∠E=．
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴弧BD=弧BC，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5
3.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，求四边形MANB面积的最大值21cnjy.com
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，
连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．21·cn·jy·com
：圆的基础知识期末总复习配套练习（二）
已知A、B、C是半径为2的圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点，连接AB、AC，
点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE.（1）求证：OD=OE；
（2）连接BC，当BC=2时，求∠DOE的度数.
在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证AC?AF=DF?FE
3.如图，等边△ABC内接⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.www.21-cn-jy.com
（1）填空：∠APC=________ 度，∠BPC________ 度.
（2）求证：△ACM≌△BCP.
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积
4.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°.
（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.
5.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.
（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.
6.如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为．
（1）的平分线交⊙O于，连结．求证：为弧ADB的中点；
（2）如果⊙O的半径为，，
①求到弦的距离；
②填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为．
7.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．（1）求出直线AB的函数解析式；21世纪教育网版权所有
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；21教育网
（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，求图中阴影部分的面积之和。21cnjy.com
9.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值。21·cn·jy·com
：圆的基础知识期末总复习配套练习（二）答案
2证明：⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．21·cn·jy·com
⑵∵∠DBA=∠DAB，∴弧AD=弧BD，又∵BC=AF，∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA，
∴弧CD=弧DF，∴CD=DF.
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE，∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE，∴AC：FE=CD：AF，∴AC?AF= CD ?FE，而CD=DF，∴AC?AF=DF?FE.www.21-cn-jy.com
3.解：（1）60，60.
（2）∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM =180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.又△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠CAB=60°，∴∠PCM-∠ACP=∠BCA-∠ACP,即∠ACM=∠BCP.在△ACM和△BCP中
∠M=∠BPC,
∠ACM=∠BCP,
AC=BC,
∴△ACM≌△BCP.
（3）∵△ACM≌△BCP,
∴CM＝CP ,AM=BP.
又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形.
∴CM=CP=PM=1+2=3.
作PH⊥CM于H.
在Rt△PMH中，∠MPH=30°∴PH=.
∴S四边形PBCM=.
4.解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠CAP+∠C.∴∠C=∠APD-∠CAP=65°-40°=25°.又∵，∴∠B=∠C=25°.21世纪教育网版权所有
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，则OE=3.由垂径定理可知BE=DE.∵OA=OB.∴线段OE是△ABD的中位线.∴AD=2OE=6.21教育网
5.解：（1）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，
∴∠ACB=∠AFO∴OF∥BC
（2）由（1）知，∠CAB+∠ABC=90°
由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90° ∴∠CBE=∠CAB
又∠AFO=∠BEC，BE=OF ∴△AFO≌△CEB
（3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E
∴∠OEC=90°，ＣＥ＝ＣＤ＝
在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ
由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２
∴（５＋ｘ）２＝ 解得ｘ＝５．
在Ｒｔ△ＯＣＥ中
tan∠ＣＯＥ＝
∵∠ＣＯＥ为锐角 ∴∠OEC=６0°
由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：
6解：（1），
又，． ．
又，．
为弧ADB的中点．
（2）①，为⊙O的直径，，
．又，．
，．
作于，则．
②3.
7解：（1）设AB的函数表达式为
∵∴∴
∴直线AB的函数表达式为．
（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，
因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．
设所求的抛物线为
则
∴所求抛物线为
（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．
又AC=直角三角形的面积
假设抛物线上存在点．
当故满足条件的存在．它们是．
8.解：连接AE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， 又∵∠BED=120°， ∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵点E为BC的中点，∠AEB=90°， ∴AB=AC， ∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2． ∴∠BOE=∠EOD=60°， ∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．21cnjy.com
9.解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
