2.5有理数的乘方1
第1课时 乘方的意义
教材分析：乘方运算是一种有理数新的运算，构成了有理数的三级运算，在以后的内容中，广泛使用乘方的有关知识。
教学目标：
［知识与技能］掌握乘方的有关概念，能进行简单的乘方运算。
［情感态度与价值观］通过对生活中学生感兴趣的问题计算表示，了解乘方运算的必要。
教学重点：乘方概念及计算。
教学难点：乘方结果符合的确定。
教学流程：乘方概念→乘方计算
教学活动过程设计：
一、学生兴趣问题引入
［师］假设一张厚度为0.09mm的纸连续对折始终是可能的，对折多少次后所得的厚度将超过你的身高？你能算吗？
［生］1次对折后，厚度为0.09×2mm,2次对折后，厚度为0.09×2×2mm，14次对折后，厚度为0.09×2×2×2……×2≈1.47m。
14个2
为了表示简便，我们把2×2×2……×2记为214。
14个2
[师]如果对于几个相同的因数a相乘：
a×a×a×a×……×a我们也将之记为an。
n个a
板书：求n个相同因数a的乘积的运算叫做乘方（Power），乘方的结果叫做幂（Power），a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。
把an读做a的n次方。
二、乘方的意义举例：
1、几种常见的乘方
[师]怎样表示图中正方形的面积，立方体的体积呢？
[生]5×5平方单位，5×5×5立方单位。
[师]我们可以把5×5记做52，读作5的平方，5×5=52=25；
5×5×5记作53，读作5的立方，即5×5×5＝53＝125。
注意：一个数可以看做这个数本身的一次方，例如，5就是51，指数1通常省略不写，二次方也叫做平方，如52通常读做5的平方；三次方也叫做立方，如53可读做5的立方。
做一做
1、（口答）把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数。
（1）（－6）×（－6）×（－6）
（2）×××
2、把（－）5写成几个相同因数相乘的形式。
10个（－2）
3、把（－2）×（－2）×（－2）×…×（－2）写成幂的形式。
［师］注意：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号，如（－5）3，()4
三、利用乘方定义计算
1、例1 计算：
（1）（－3）2； （2）1.53； （3）（－）4； （4）（－1）11；
解：（1）（－3）2＝（－3）×（－3）＝9
（2）1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375
（3）（－）4＝（－）×（－）×（－）×（－）＝
（4）（－1）＝－1（为什么？）。
2、小组探索:
计算：（1）102，103，104，105；
（2）（－10）2，（－10）3，（－10）4，（－10）5；
（3）0.12，0.13，0.14，0.15；
（4）（－0.1）2，（－0.1）3，（－0.1）4，（－0.1）5；
[师] 观察上述计算结果，你发现了什么规律？
（要求：四人一小组，每人计算一小题，观察结果，进行讨论探索，组长记录讨论结果，准备发言。）
（各小组补充，师归纳肯定）
（10的n次方等于在1后面补n个0，0.1的n次方等于1前面n个0的小数，负数的偶次方为正，奇次方为负。两个数互为相反数，偶次方相等，奇次方互为相反数。
3、运算顺序
［师］对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。
例2计算：
（1）－32； （2）3×23； （3）（３×2）3； （4）8÷（－2）3；
解：（1） －32＝－（3×3）＝－9； （2）3×23＝3×8＝24
（3）（3×2）3＝63＝216； （4）8÷（－2）3＝8÷（－8）＝－1
四、实际应用：
（1）1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后，剩下的小棒有多长？
解：第1次剩下（），第2次剩下（ ）2，第7次剩下（ ）7＝米，即不到1厘米。
（2）某种细胞每过30分便由1个分裂成2个。经过5时，这种细胞由一个分裂成了多少个？
解：1个细胞30分钟分裂成2个，1小时后能分裂成2×2个，1.5小时后能分裂成2×2×2个，2小时后能分裂成2×2×2×2个。
5小时共要分裂10次，分裂后的细胞个数为
2×2×2×2×……×2＝210＝1024（个）
10个2
五、课内练习：课本第48页第1、2题。
六、下面我们再来看以下几组乘方计算。
例4：１）－（－3）2＝－9
2）－（－2）3＝－（－8）＝8
3）－（－）3＝－（－）＝
4)－＝－
巩固训练：－24 （－2）4 （－）2 － －
特别要防止－24、－计算中出现错误。
思考：通过乘方的几组计算，你能知道：
什么数的平方比它的绝对值大？
什么数的平方比它的绝对值小？
什么数的平方等于它本身？
七、作业：作业题。
教学反思：乘方计算的符号关系要仔细讲解，要理解符号是如何确定的对于－32，（－3）2结果的符号是不少同学容易造成混乱，要重点分析。
2.5有理数的乘方2
第二课时 科学记数法
教学分析：课本通过中国首次载人航天飞行的行程与城市用水量所表示的数，进一步使学生体会生活中经常会遇到大数，并通过“有简单的表示方法吗？”这个问题，引起学生兴趣，引入科学记数法，并在教学中参透爱国主义教育与学生“节约”思想的培养。
教学目标：
［知识与技能］
1.借助身边熟悉的事物进一步体会大数，并会利用科学记数法表示大于10的数。
2.使学生了解什么是科学记数法，并会用科学记数法表示大于10的数。
［情感态度与价值观］
利用生活中的对一些大数的表示让学生体会到引入科学记数法的必要性，通过例题和练习感受到能利用科学记数法对一些大数进行描述。
教学重点：借助身边熟悉的事物进一步体会大数，并会利用科学记数法表示大于10的数。
教学难点：10的幂指数的特征。
教学活动过程设计：
一、材料引入：
问题：2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，飞船绕地球飞行了14圈，行程约60万km，已知赤道长度约40000km，飞船行程相当于多少个赤道长？
问题：如果某市每人每天节约用水0.5kg，该市约有1千3百万人口，那么该市每天节约用水多少kg？
［师］我们经常遇到一些较大的数，怎样使较大的数读写方便呢？
我们先来探索10n的数的特征。
（生回答）
101＝10 （10的1次幂等于1后面带1个0）
102＝100 （10的2次幂等于1后面带2个0）
103＝1000 （10的3次幂等于1后面带3个0）
104＝10000 （10的4次幂等于1后面带4个0）
105＝100000 （10的5次幂等于1后面带5个0）
……
109＝1000000000 （10的9次幂等于1后面带9个0）
10n呢？ （10的n次幂等于1后面带n个0）
引导学生总结规律：10的几次幂就等于10的后面带几个0。即10的n次幂等于1后面带n个0的（n＋1）位的数。反之，若把等式右边的整数写成10的幂的形式；（1）幂指数等于0的个数。（2）幂的指数比整数的位数少1。
二、感知新知：
老师提问：怎样借用10的乘方的方法来表示较大的数呢？
600 000＝6×105。
20 000 000＝2×10 000 000＝2×107；
570 000 000＝5.7×100 000 000＝5.7×108；
这种把一个数表示成a（1≤a＜10）与10的幂相乘的形式，叫做科学记数法（scientific notation）。
注意：（1）科学记数法中与10的幂相乘的数a，必须是整数数位只有一位的数，即1≤a＜10，这是科学记数法的规定。如
600记为6×102
6500000记为6.5×106
696000记为6.96×105
（2）10的幂指数n比原数整数数位少1。所以，用科学记数法表示的数，一个突出的特点就是这个数的整数数位一目了然，这对于判断一个数的大小是非常方便的。
三、例题指导：
例3：（1）用科学记数法表示下列各数：
23 000； 15800…0；
31个0
（2）下列用科学记数法表示的数，原来（指和一般10进制记数法表示的结果）各是什么数？
4.315×103； 1.02×106；
（3）计算：（8.1×108）÷（9×105）
解：（1）230 000=2.3×105； 15800…0＝1.58×1033
31个0
（2）4.315×103=4315； 1.02×106=1 020 000
（3）（8.1×108）÷(9×105) ＝＝＝900
例4：如果平均每人每天需要粮食0.5kg，那么全国每天大约需要粮食多少kg？1年呢（全国人口约1.3×109人，结果用科学记数法表示）？
解0.5×1.3×109＝0.65×1 000 000 000＝650 000 000＝6.5×108（kg）
按一年为365天计算
6.5×108×365＝6.5×365×100 000 000＝237 250 000 000
≈2.4×1011(kg)
答：全国一天大约需要粮食6.5×108kg，一年大约需要粮食2.4×1011kg。
四、课内练习：课本第51页第1、2题
五、小组探究:课本第51页
六、小结：
1、什么是科学记数法，以及为什么要学习科学记数法。
2、强调科学记数法中字母a的规定及10幂指数与原数整数位数的关系。
七、作业： 课本第51页，作业题。
课学反思：本课让学生观察回答10n的数的特征入手，使学生认识到10就是１后面有n个0，为科学记数法打下了基础。教学中一个大于10的数表示成a×10n的形式时，其中1≤a＜10，a学生容易做错，教学中应于注意。
课件25张PPT。2.5有理数的乘方(1)棋盘上的学问 古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？第64格第1格: 1第2格: 2第3格: 4=2×2第4格: 8第5格: 16……第64格=2 ×2 ×2= 2 ×2 ×2 ×263个2=2×2×······×25的平方(5的二次方)5的立方(5的三次方)计算下列图形中正方形的面积和立方体的体积.5×5记做52记做53那么:类似地,5×5×5 ×55×5×5 ×5×5
???5×5×???×5n个5分别记做=54=55???= 5na×a ×… ×a ×an个a记做an乘方的结果叫做幂。 读做“ 的 次方”，或读做“ 的 次幂”。
这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方,轻松过关2.(－5)2的底数是____,指数是____,(－5)2表示2个____ 相乘，叫做____的2次方，也叫做-5的_____.－52－5－5平方 1. ( )7表示___个 相乘，叫做 的____次方，也叫做 的___次幂，其中
叫做____ ，7叫做____；777底数指数轻松过关3.在－52中,底数是____,指数是____, 表示_____________255的平方的相反数幂的底数是分数或负数时,底数应该添上括号.4.把下列相同因数的乘积写成幂的形式.轻松过关(1)(-3)×（-3）相乘的形式.例1 计算自主尝试(1)(-3)2继续探究 对于有理数的混合运算,应先算乘方,后算乘除; 最后算加减,如果遇到括号,就先进行括号里的运算.有理数运算顺序算一算,从中你发现了什么?102 , 103 , 104 , 105
(-10)2 ,(-10)3 , (-10)4 , (-10)5
0.12 , 0.13 , 0.14 , 0.15
(-0.1)2 , (-0.1)3 , (-0.1)4 , (-0.1)5正数的任何次方为正数,负数的偶数次方为正数,负数的奇数次方为负数.8分题12分题8分题10分题挑战自我A. 4个5相乘 B. 5个4相乘 C. 5与4的积 D. 5个4相加的和选一选 (2). 计算 (-1)100 + ( -1)101 的值是( ) A. 1100 B. -1 C. 0 D. -1100 BC（每题4分）(1). 45 表示 ( )(1). 6的平方是____, -6的平方是____.(2).比较大小(填入“＞”“＜”或“＝”):3636① 34____43 ② -0.1___ -0.13＜＞（每空格2分）(1) 5×23(每题5分)算一算:(2) (-2)3÷22 下列运算对吗?如不对,请改正.×火眼金睛×86（每题3分）（ ）×-8×第1格: 1第2格: 2第3格: 4=2×2第4格: 8第5格: 16……第64格=2 ×2 ×2= 2 ×2 ×2 ×263个2=2×2×······×2=22=23=24=263学以致用棋盘上的学问本节课你学到了什么?1.有理数的乘方的意义和相关概念。2.乘方的有关运算。3.体会特殊到一般，具体到抽象的数学方法。幂的底数是分数或负数时,底数应该添上括号.再见作业1.作业本2.5(1)
2.课后作业题2.5(1)完成下列运算102 = ⑸ (－10)2 =
103 = ⑹ (－10)3 =
104 = ⑺ (－10)4 =
105 = ⑻(－10)5 =10000 1001000100 －1000 10000观察结果,你能发现什么规律?小组讨论.100000－100000 ①0.12 = ⑤ (－0.1)2 =
②0.13 = ⑥(－0.1)3 =
③ 0.14 = ⑦(－0.1)4 =
④ 0.15 = ⑧(－0.1)5 =0.0010.00010.00001 0.01－0.001 －0.00001 0.010.0001 规律:
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,
负数的偶次幂是正数10n等于1后面加n个00.1n,1前面零的个数
为n个.
(包括小数点前的1个零) 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由一个分裂成了多少个？应用提高1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？22×22×2×2课件11张PPT。2.5有理数的乘方（2）(1≤a＜10)M=a×10n科学记数法环渚学校 莫根龙1、把下列相同的因数写成幂的形式,并说明底数和指数2、 写成几个相同因数相乘的形式复习注意:底数如果是分数与负数时,要添上括号100；1000；10000返回下一张上一张退出计算0.01;0.001;0.0001;1. 2003年１０月１５日９时整我国自
行研制的“神舟”五号载人飞船，在酒泉
卫星发射中心发射成功。飞船绕地球飞行了14圈，行程600 000千米。已知赤道长度约40 000千米，飞船行程相当于多少个赤道长？ 2.如果某市每人每天节约用水0.5Kg，该市约有1350万人口，那么该市每天节约用水多少Kg？600 000=6×105
40 000=4×1041350万=13 500 000=1.35×107600 000=6×105
40 000=4×1041350万=13 500 000=1.35×107科学记数法 这种把一个数M表示成a(1≤a＜10)与10的幂相乘的形式，叫做科学记数法。M=a×10n
(其中1≤a＜10,n为正整数)M=a×10n例3 （1）用科学记数法表示数：
（2）下列科学记数法表示的数，原来（指用一般的十进制记数法表示的结果）各是什么数？
4.315×103； 1.02×106 ；
（3）计算：（8.1×108）÷（9×105）.例题解析例4 如果平均每人每天需要粮食0.5kg，那么全国每天大约需要粮食多少kg？1年呢（全国人口约1.3×109人，结果用科学记数法表示）？解：0.5×1.3×109 =0.65×1000000000
=650000000 =6.5×108（kg） 6.5×108×365 =6.5×365×100000000
=237250000000 ≈2.4×1011 （kg）答：全国每天大约需要粮食6.5×108 kg，
1年大约需要粮食2.4×1011 kg。练习第46页课内练习1、2
探究活动 第47页，小组进行这节课你学会了什么？你有何体会？作业
课本第47页第1-5题
第6题可根据自己的情况选做谢谢！
同学们，再见！2.5有理数的乘方（1）
1.选择题：
(1)109表示 [ ]
A.10个9连乘 B.10乘以9
C.9个10连乘 D.9个10连加
(2)一个数的平方是正数，那么这个有理数的立方是[ ]
A.正数 B.负数 C.正数或负数 D.奇数
(3)一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是[ ]
A.0 B.1 C.－1 D.2
(4)计算(－1)2000+(－1)2001÷｜－1｜的值等于[ ]
A.0 B.1 C.－1 D.1或－1
(5)关于(－3)4的正确说法是[ ]
A.－3是底数，4是幂
B.－3是底数，4是指数，－81是幂
C.3是底数，4是指数，81是幂
D.－3是底数，4是指数，81是幂
2.把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数各是什么？
(1)(－1.3)·(－1.3)·(－1.3)·(－1.3)
(2)×××××
3.计算：
(1)(－5)2; (2)(－)3;
(3)(－)4; (4)5×(－)3.
答案
1. (1)C (2)C (3)B (4)A (5)D
2. (1)(－1.3)(－1.3)(－1.3)(－1. 3)=(－1.3)4,其中，底数是－1. 3.指数是4.
(2)×××××=,其中：底数是，指数是6.
3. 答案：(1)25 (2)－ (3) (4)－()
2.5有理数乘方(2)
基础巩固训练
一、选择题
1.表示的意义是（ ）
A.12个4连乘 B.12乘以4 C.4个12连乘 D.4个12相加
2.下列各数中，数值相等的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.21000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 则n值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.若，则a值为
A.51 B. C.5.1 D.
二、填空题
1.在中，底数是 ，指数是 ，幂是 .
2.在中，底数是 ，指数是 ，结果是 .
3.底数是－2，指数是2的幂写作 ，其结果是 .
4. ＝ .
5.将621世纪教育网0写成科学记数法的表示形式应为 .
6. 的结果是 位数.
三、解答题
1.计算下列各题.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.用科学记数法表示下列各数.
（1）607000 （2）－7001000
（3）16780000 （4）100.1
3.写出下列用科学记数法表示的数的原数
（1） （2）
（3） （4）
能力达标测试
[时间60分钟 满分100分]
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.a与b互为相反数，则下列式子中，不是互为相反数的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）
A.0 B.0或1 C.1或－1 D.0或1或－1
3.的值为（ ）
A.2 B.4 C.－4 D.－2
4.化简为（ ）
A. B. C. D.
5. 所得的结果为（ ）
A.0 B.－1 C.－2 D.2
6.下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列各数，是用科学记数法表示的是（ ）
A. B. C. D.
8.用科学记数法表示的数，原数是（ ）
A.2001 B.200.1 C.200100 D.20.01
二、填空题（每小题2分，共20分）
1.若 .
2. 写成幂的形式为 .
3.若则 .
4.若一个数的5次幂是负数，则这个数的101次幂是 数.
5. ，则 .
6.若 .
7.若＞0，则x 0（填“＞”，“＜”或“＝”）
8. 结果是 位数.
9.将用科学记数法表示为 .
10.将一个15位数写成科学记数法的形式后，10的指数是 .
三、综合应用（每小题5分，共20分）
1.计算的值.
2.已知的值.
3.计算的值.
4.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求的值.
四、探索创新（每小题10分，共30分）
1.根据乘方的意义可知：，，
则即.想一想：
（1） （其中m，n都是正整数）.
（2） .
2.观察下列各式，回答下列问题.
，，，，，，，
（1）当底数的小数点向左（或向右）移动一位时，其平方数的小数点向左（或向右）移动几位？
（2）当底数的小数点向左（或向右）移动一位时，其立方数的小数点向左（或向右）移动几位？
3.已知.
（1）当a是最小的正整数时，求A2的值；
（2）当a是最大的负整数时，求A2的值.
五、中考题（每小题3分，共6分）
1.（2002·上海）在长江高科技园区的上海超级计算机中心内，被称为“神威1号”的计算机运算速度为每秒钟384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒 次.
2.（2002·北京东城）－32的值是（ ）
A.－9 B.9 C.－6 D.6
§2.11有理数的乘方和§2.12科学记数法参考答案
一、1. C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.D
二、1.－2 3 －8， 2. 2 3 －8， 3. 4. 4.2150 5. 6.246
三、1.（1）25. （2）－27.（3）1.（4）－1（5）81
2.（1）. （2）.（3）.（4）.
3.（1）1510. （2）－314200. （3）100000. （4）60000
能力达标测试参考答案
一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B
二、1.0或1. 2. . 3.0 4.负 5.0 6.－8 7.＜ 8.11 9. 10.14
三、1.解：原式＝－1＋1－1＋1＋…－1＋1＝0
2.解：由题意可知：a－2＝0，b＋3＝0，c－1＝0，∴ a＝2，b＝－3，c＝1.∴
3.解：原式＝
4.提示：由题意可知，∴原式＝0＋（－1）1000＝1.
四、1. （1） （2）－59
2.（1）当底数的小数点向左（或向右）移动一位时，其平方数的小数点向左（或向右）移动两位.（2）当底数的小数点向左（或向右）移动一位时，其立方数的小数点向左（或向右）移动三位.
3.解：（1），（2）
∴A2＝0
五、1.3.84×1011，2.A
