3．1 平方根
一、教学目标
1、通过认知冲突，感受开方运算引进的必要性，从而经历平方根概念的产生过程，感受平方运算与开平方运算的关系。
2、了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示平方根和算术平方根。
3、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求实数的平方根和算术平方根。
4、学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
二、重点与难点
重点：平方根的概念和求法。
难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示，是本节课的难点。
三、教学过程
（一） 回顾 & 思考
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是哪些？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、对于以上的问题你有什么遗憾？乘方是不是也应该有逆运算？
（二）、创设情境，设疑引新
填空：
已知底数和指数，求幂，叫乘方运算
已知指数和幂，求底数，就构成了乘方的逆运算。
观察：
求幂的运算叫乘方运算，a是x的平方幂
求底数的运算叫开方运算，X是a的平方根。
乘方和开方互为逆运算
概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根。
根据填空中的等式，请同学们说出9、1/4和0的平方根，并概括一下平方根的性质：
结论：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零有一个平方根，它是零本身；
负数没有平方根。
练习1：
1. 判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3）的平方根是±2 ； ( )
（4）1 的平方根是 1 ； ( )
（5）－1 是 1的平方根; ( )
（6）7的平方根是±49. ( )
（7）若= 16 则x = 4 ( )
2. 问：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没有，说明为什么 ？
一个数的平方根的表示方法：
总结：开平方：
1、求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
2、是不是所有的数都能进行开平方运算？
不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
3、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
（三）知识应用，例题分析
例1：求下列各数的平方根：
（1） 9 （2） （3）0.36 （4）
思考：1、表示什么意思？
2、表示什么意思？
3、－表示什么意思？
算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根,统称算术平方根.
即a的算术平方根是
练习2 填空
（1）表示25的 ；
（2）表示25的 ；
（3）表示37的 ；
（4）5的平方根可表示 ；
（5）3的算术平方根可表示 ；
（6）9的算术平方根是 ；
（7）的算术平方根是 ；
（8）的算术平方根是 。
例2：计算下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（四）小结 & 归纳
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
一个非负数a的平方根记做
正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根.
一个非负数a的算术平方根记做，0的算术平方根是0
2、平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3、开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
课件18张PPT。平方根3.1动 脑 筋？ 一张正方形桌子的面积为 m2,则它的边长是多少？425 m249 m2练一练440±３（5）（ ） = 25 ２（6）（ ）= 81２±5±9 如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。平方根的概念 说一说它们的平方根是多少？
4 ，9, 0，你会吗议一议：
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
1、一个正数有正、负两个平方根，
它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根平方根的性质：请问2的平方根是多少？如何表示呢？求一个数的平方根的运算叫做开平方平方根的表示方法：
一个正数a的正平方根用 表示
(读做“根号a”)；a的负平方根用
表示(读做“负根号a”)，因此，一个
正数a的平方根就用 表示，
(读做“正、负根号a”)，其中a叫做被
开方数。写一写： 求下列各数的平方根：
上面例子可以看到求一个数的平方根，可以转化为通过乘方运算来求．
算术平方根的概念： 正数正的平方根和零的平方根，统称算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记做 现在你知道桌子问题的答案了吗？下列各数有没有平方根？如果有，
求出它的算术平方根；如果没有，
请说明理由：议一议：140.9 学习了本节课， 你有哪些收获？
1.平方与开方互为逆运算．根据这种运算关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根．
2．正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根．
???????????????????????????????????????????????????????判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并加以改正。﹣3的平方根是 9 ( )
9的平方根是﹣3 ( )
-3是9的平方根 ( )
4的平方根是±2 ( )
( )
( )
(﹣10)2没有平方根 ( )
如果x2 = a,则 a 一定是正数。 ( )
( )
√×××√√××比一比：看谁最快发现？×思考： 你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x2＝49
（2）（x－1）2＝25课堂练习（一）
判断题
2. 因为(±3)2=9，所以±3是9的平方根 （ ）
单选题
4. 81的平方根为 [ ]
A.9 B.-9 C.±9 D.±3
5. 1.44的平方根是 [ ]
A.-1.2 B.1.2 C.±1.2 D.±0.12
6. 下列各式中正确的是 [ ]
7.下列各式中正确的是 [ ]
C.( -4)2 的平方根是4 D.-(-25)的平方根是-5
8.分别取9和4的一个平方根相加，其可能结果为 [ ]
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10. 当a<0时,- a的平方根是 [ ]
课堂练习（一）答案
1. √ 2. √ 3. √
4. C 5. C 6. B 7. A 8. D 9. B 10. D
课堂练习（二）
单选题
1. 0.0256的平方根是 [ ]
A.0.16 B.±0.16 C.1.6 D.±1.6
2. 下列说法正确的是 [ ]
A.因为36是正数，所以36有两个平方根
C.因为零既不是正数也不是负数，所以零没有平方根
D.因为(-3)2 底数是-3,所以(-3)2没有平方根
填空题
4. 4的平方根是 ．
课堂练习（二）答案
1. B 2. A 3. C 4. ±2
课堂练习（三）
判断题
1. 0.5是0.25的算术平方根． ( )
2. 4是16的算术平方根． ( )
单选题
3. 64的算术平方根是 [ ]
A. 8 B.±8
C.-8 D.4
4. 2的算术平方根是 [ ]
5. 0.0289的算术平方根是 [ ]
A.0.17 B.±0.17 C.0. 017 D.1.7
6. 1的算术平方根的平方根是 [ ]
A.1 B.-1 C.±1 D.不存在
7. 下列说法中，正确的是 [ ]
9. 下列各式，计算正确的是 [ ]
课堂练习（三）答案
1. √ 2. √
3. A 4. A 5. A 6. C 7. B 8. B 9. B
