：相似三角形期末总复习学案（一）
一．基础知识回顾
成比例线段：
（1）线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：= 21cnjy.com
（2）比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做成比例线段，简称_______ www.21-cn-jy.com
（3）比例的基本性质：=<＝>
（4）平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线______________
相似三角形：
(1)定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似
(2)性质：①相似三角形的对应角 对应边
②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于
③相似三角形周长的比等于 面积的比等于
判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交
__________________________相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似
⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边 的两三角形相似
相似多边形：
（1）定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形
（2）性质：⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
位似图形：
（1）定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为
（2）性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于
特别提醒：位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 【来源：21·世纪·教育·网】
二．典型例解：
比例和比例线段
例1（1）下列各组线段的长度成比例的为（ ）
A. 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm B. 2.5 cm，3.5 cm，4.5 cm，6.5 cm
C. 1.1 cm，2.2 cm，4.4 cm，8.8 cm D. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cm
（2）已知:,则
练一练：
1.如果,那么等于 ( )
A. B. C. D.
2.已知如图：AD∥BE∥CF，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图：线段AB=10，C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,则AC=___________
已知线段,线段C是线段的比
例中项，则
数3和12的比例中项是
相似三角形的性质及其应用
例2
（1）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 21·cn·jy·com
（2）．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是 ( )2·1·c·n·j·y
A.4.5 B.6 C.9 D.以上答案都有可能
练一练：
1.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为
如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=
4.如图，在△ABC中，BC=12cm，点D、F是AB的三等分点，点E、G是AC的三等分点，则DE+FG+BC= 21教育网
相似三角形的判定方法及其应用
例3
（1）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（ ）21·世纪*教育网
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
（2）如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
练一练：
1.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
2如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ ）21世纪教育网版权所有
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 任意两个等腰三角形相似; B. 任意两个等腰直角三角形相似
C. 两个全等三角形不相似; D. 两个相似三角形的相似比不可能等于1
如图，⊙O中，弦BA，DC的延长线交于点P，AD，BC相交于点E，则图中相似三角形
共有（ ）A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形
与△ABC相似. 满足这样条件的直线共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
：相似三角形期末总复习学案（一）答案
一．基础知识回顾
成比例线段：
（1）线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 长度 的比，即：= 21·cn·jy·com
（2）比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做成比例线段，简称 比例线段 21·世纪*教育网
（3）比例的基本性质：=<＝>
（4）平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线_截得的对应线段成比例___
相似三角形：
(1)定义：如果两个三角形的各角对应 相等 各边对应 成比例 那么这两个三角形相似
(2)性质：①相似三角形的对应角 相等 对应边 成比例
②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线 的比都等于 相似比
③相似三角形周长的比等于 相似比 面积的比等于 相似比的平方
判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交
__截得的三角形和原三角形________________________相似
⑵两边对应 成比例 且夹角 相等 的两三角形相似
⑶两角 对应相等 的两三角形相似
⑷三组对应边 成比例 的两三角形相似
相似多边形：
（1）定义：各角对应 相等 各边对应 成比例 的两个多边形叫做相似多边形
（2）性质：⑴相似多边形对应角 相等 对应边 成比例
⑵相似多边形周长的比等于 相似比 面积的比等于 相似比的平方
位似图形：
（1）定义：如果两个图形不仅是 对应边都平行 而且每组对应点所在直线都经过 同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 这时相似比又称为 位似比 21教育网
（2）性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 位似比
特别提醒：位似图形一定是 相似 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 缩小 21cnjy.com
二．典型例解：
比例和比例线段
例1（1）下列各组线段的长度成比例的为（ ）
A. 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm B. 2.5 cm，3.5 cm，4.5 cm，6.5 cm
C. 1.1 cm，2.2 cm，4.4 cm，8.8 cm D. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cm
思路分析：根据成比例的定义，四条线段如果成比例，那么其中两条的积一定等于其他两条的积，
故选择C
（2）已知:,则
思路分析：这一类问题我们通常是设
练一练：
1.如果,那么等于 ( C )
A. B. C. D.
2.已知如图：AD∥BE∥CF，则下列正确的是（ C ）
A. B. C. D.
3.如图：线段AB=10，C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,则AC=___________
已知线段,线段C是线段的比
例中项，则
数3和12的比例中项是
相似三角形的性质及其应用
例2
（1）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 21世纪教育网版权所有
思路分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1， ∴三角形的相似比是3：1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1． （2）．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是 ( )www.21-cn-jy.com
A.4.5 B.6 C.9 D.以上答案都有可能
思路分析：由于另一个三角形只已知一条边，且这条边与前一个三角形的哪一条边是对应边并不明确，因此三种情况均有可能。故选择D2·1·c·n·j·y
练一练：
1.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 8
如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=
4.如图，在△ABC中，BC=12cm，点D、F是AB的三等分点，点E、G是AC的三等分点，则DE+FG+BC= 24 www-2-1-cnjy-com
相似三角形的判定方法及其应用
例3
（1）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
思路分析：首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC= BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．
解：图中相似三角形共有3对．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB， ∵DE=CE，FC=BC， ∴DE：CF=AD：EC=2：1， ∴△ADE∽△ECF， ∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF， ∴AE：EF=AD：DE， 即AD：AE=DE：EF， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠CEF+∠AED=90°， ∴∠AEF=90°， ∴∠D=∠AEF， ∴△ADE∽△AEF， ∴△AEF∽△ADE∽△ECF， 即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF． 故选C． 21*cnjy*com
（2）如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
思路分析：格点中的三角形是否相似，一般情况下我们都采用
计算三边用是否对应成比例来判定。
∴∽
练一练：
1.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ B ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
2如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ D ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、
3. 下列叙述正确的是（ B ）
A. 任意两个等腰三角形相似; B. 任意两个等腰直角三角形相似
C. 两个全等三角形不相似; D. 两个相似三角形的相似比不可能等于1
如图，⊙O中，弦BA，DC的延长线交于点P，AD，BC相交于点E，则图中相似三角形
共有（ C ）A . 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
：相似三角形期末总复习配套练习(一）
选择题
1.已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）21*cnjy*com
3.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
4.如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
5.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；?②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F
6.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的周长比为（ ）
A.1:16 B.1:8 C.1:4 D.1:2【来源：21·世纪·教育·网】
8.下列四组条件中,能判定△ABC与△DEF相似的是 ( )
A.∠A=45°,∠B=55°,∠D=45°,∠F=75° B.AB=5,BC=4,∠A=45°,DE=5,EF=4,∠D=45°
C.AB=6,BC=5,∠B=40°,DE=12,EF=10,∠E=40° D.AB=BC,∠A=50°,DE=EF,∠E=50°
9．如图所示,在长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是( )21教育网
A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm221·cn·jy·com
10.如图，l1，l2被平行线AB、CD、EF所截，且，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
11.如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）21世纪教育网版权所有
A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2
12.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
13.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
14.如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）A.3：2 B.3：1 C.1：1 D.1：2
15.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
16.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）www-2-1-cnjy-com
A.1：4 B.1：3 C.2：3 D.1：2
18.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ） 21*cnjy*com
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
19.如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A. 4 B.5 C. 6 D.7
如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的
坐标分别是（ ）
（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
二．填空题
21．如图,在△ABC中,请添加一个条件: ，使 △ACD∽△ABC。
22.在直角坐标中,已知点A(-2,0),B(0,4),C(0,-3),过点C的直线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似,则点D的坐标为
23.如图，E是?ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 【出处：21教育名师】
24.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 【版权所有：21教育】
25.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=___
26.如图，在△ABC中, 内接正方形EFGH，BC=20，AD⊥BC于D，AD=8，则正方形EFGH的边长为 21·世纪*教育网
27.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．21教育名师原创作品
28.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是
29.劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 ______________21cnjy.com
30.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为
：相似三角形期末总复习配套练习(一）答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
C
C
C
C
B
C
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
B
C
B
D
A
B
D
B
B
B
附20.解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，21世纪教育网版权所有
∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，
∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点D（﹣，4）．故选B．
二．填空题
21. 22.
2 24. 2 25. 5.5m 26. 27. 5 28.
