八上第一章三角形的初步知识专题-专题01 与三角形有关的线段（九大题型）（含解析）

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专题01 与三角形有关的线段（九大题型）
重难点题型归纳
【题型1 三角形的分类】
【题型2 判断三角形的个数】
【题型3 三角形的三边关系】
【题型4三角形的稳定性】
【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】
【题型6 三角形中线与面积问题】
【题型7 三角形中线与周长问题】
【题型8 证明三角形中线段不等关系】
【题型9 根据三角形的三边关系化简】
【题型1 三角形的分类】
1．如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
4．下列关于三角形的分类，正确的是（　　）
A．B． C．D．
5．三角形按边可分为（　　）
A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形
D．等腰三角形，等边三角形
6．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（　　）
A．①对，②不对B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
7．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　　）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
8．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲分法错误，乙分法正确 D．甲、乙两种分法均错误
【题型2 判断三角形的个数】
9．如图，图中三角形的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示的图形中，三角形共有（　　）
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
11．如图，以AB为边的三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，图中以BC为边的三角形的个数为　　 ．
13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，则图中共有三角形　 个．
【题型3 三角形的三边关系】
14．用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
15．小亮想用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为2cm和9cm，如果第三根木棒的长度为奇数，则小亮所搭的三角形的周长为（　　）
A．18cm B．20cm C．22cm D．24cm
16．已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）
A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm
17．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
18．已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【题型4三角形的稳定性】
20．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
21．如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
22．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A．B．C．D．
23．王师傅用6根木条钉成一个六边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】
24．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
25．下列说法正确的个数有（　　）
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；
②直角三角形只有一条高；
③三角形的高至少有一条在三角形内；
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
27．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
28．如图，△ABC的边BC上的高是（　　）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
29．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
30．下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
31．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【题型6 三角形中线与面积问题】
32．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
33．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　　　cm2．
34．如图，AD是△ABC的中线，AE=AD，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝　　．
35．如图，CD是△ABC的一条中线，E为BC边上一点且BE＝2CE，AE、CD相交于F，四边形BDFE的面积为6，则△ABC 的面积是 　 ．
36．如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 　　cm2．
37．如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 　　．
38．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 　　cm2．
39．如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF＝2，AF＝6，BE：EC＝3：1，则S△ABC＝　　　．
40．如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则阴影部分面积为 　 　．
【题型7 三角形中线与周长问题】
41．在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
42．如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）
A．20 B．24 C．26 D．28
43．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
44．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6．若△ACD的周长为16，则△ABD周长为 　　．
45．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是 　　．
46．如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 　　．
【题型8 证明三角形中线段不等关系】
47．已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞（AB+AC）．
48．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
49．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
50．已知：如图，AC和BD相交于点O，说明：AC+BD＞AB+CD．
51．AM是△ABC的中线，求证：AM＜（AB+AC).
52．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明DA+DB+DC与（AB+BC+AC)的大小关系．
【题型9 根据三角形的三边关系化简】
53．设a，b，c是△ABC的三边．化简|﹣a﹣b+c|+2|a+c﹣b|﹣|b﹣a﹣c|．
54．已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣6|．
55．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　　．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
56．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
专题01 与三角形有关的线段（九大题型）
重难点题型归纳
【题型1 三角形的分类】
【题型2 判断三角形的个数】
【题型3 三角形的三边关系】
【题型4三角形的稳定性】
【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】
【题型6 三角形中线与面积问题】
【题型7 三角形中线与周长问题】
【题型8 证明三角形中线段不等关系】
【题型9 根据三角形的三边关系化简】
【题型1 三角形的分类】
1．（2022秋 颍泉区期中）如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部分，则这个三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】D
【解答】解：从图中，只能看出三角形的一个角是锐角，剩余的两个角可能都是锐角或有一个钝角，或有一个直角，
故选：D．
2．（2022秋 文峰区月考）有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；
②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；
③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；
④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．
故选：C．
3．（2022秋 民权县月考）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确
B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确
D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【解答】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
，
故选：D．
4．（2021春 宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
B、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
C、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
D、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：B．
5．（2022秋 惠州月考）三角形按边可分为（　　）
A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形
D．等腰三角形，等边三角形
【答案】C
【解答】解：三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形．故选C．
6．（2022春 馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（　　）
A．①对，②不对B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【解答】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
7．（2022春 鼓楼区校级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　　）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【解答】解：三角形根据边分类如下：
三角形；
故选：B．
8．（2021秋 威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确
B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲分法错误，乙分法正确
D．甲、乙两种分法均错误
【答案】C
【解答】解：甲正确的分类应该为，乙分法正确；
故选：C．
【题型2 判断三角形的个数】
9．（2022春 本溪县期末）如图，图中三角形的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：图中三角形有△AEB，△BEC，△ABC，△DEC，△BDC，
故选：C．
10．（2022秋 玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有（　　）
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：三角形的个数有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，共5个，
故选：A．
11．（2022春 建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，
故选：D．
12．（2021秋 高阳县期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为　4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
13．（2022秋 宜都市期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，则图中共有三角形　6　个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：图中三角形有：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC，
共6个，
故答案为：6．
【题型3 三角形的三边关系】
14．（2023春 常州期末）用下列长度的三根细木棒首尾相接，能搭成三角形的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．2cm、2cm、4cm
C．2cm、3cm、4cm D．2cm、3cm、6cm
【答案】C
【解答】解：A．1+2＝3，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．2+3＞4，4+3＞2，2+4＞3，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意；
D．2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
15．（2023春 青岛期末）小亮想用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为2cm和9cm，如果第三根木棒的长度为奇数，则小亮所搭的三角形的周长为（　　）
A．18cm B．20cm C．22cm D．24cm
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
9﹣2＜第三根木棒＜9+2，即7＜第三根木棒＜11．
又∵第三根木棒的长度为奇数，
∴第三根木棒的长度为9cm，
∴小亮所搭的三角形的周长为9+9+2＝20（cm）．
故选：B．
16．（2022秋 启东市校级期末）已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）
A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm
【答案】D
【解答】解：∵三条线段长分别为3cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，
∴4﹣3＜a＜3+4，
即a的取值范围是：1cm＜a＜7cm．
故选：D．
17．（2023春 高明区月考）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
故选：D．
18．（2023春 盐城月考）已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：∵三角形三边长分别为4，x，11，
∴11﹣4＜x＜11+4，
∴7＜x＜15，
∵x为正整数，
∴x的值是8、9、10、11、12、13、14，
∴满足条件的x值的个数是7．
故选：B．
19．（2023春 南京期中）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立；
当最短的边是2时，三边长是：2，5，5；
当最短的边是3时，三边长是：3，4，5；
当最短的边是4时，三边长是：4，4，4；
最短的边一定不能大于4．
综上，有3种不同的三角形．
故选：B．
【题型4三角形的稳定性】
20．（2023 裕华区二模）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：D．
21．（2023 山阴县模拟）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【解答】解：桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故选：A．
22．（2023春 睢宁县期中）下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、B、C选项中都有四边形，只有C选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：C选项的图形具有稳定性．
故选：C．
23．（2023 滨湖区一模）王师傅用6根木条钉成一个六边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【答案】D
【解答】解：如图所示：
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上3个木条，
故选：D．
【题型5三角形的平分线、中线和高的概念辨别】
24．（2023 佛山模拟）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
25．（2023春 高明区月考）下列说法正确的个数有（　　）
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；
②直角三角形只有一条高；
③三角形的高至少有一条在三角形内；
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
②直角三角形有三条高，故错误；
③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；
故选：A．
26．（2022秋 磁县期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
27．（2023 衡山县二模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
28．（2023春 巴州区月考）如图，△ABC的边BC上的高是（　　）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
【答案】A
【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．
故选：A．
29．（2023 丰润区模拟）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
30．（2022秋 荣昌区期末）下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【答案】D
【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；
B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
31．（2023 梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【答案】C
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【题型6 三角形中线与面积问题】
32．（2022春 西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，
故选：A．
33．（2022秋 张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　1　cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
34．（2023春 常州期末）如图，AD是△ABC的中线，，F是EC的中点．若 S△BEF＝10，则S△ABC＝　30　．

【答案】30．
【解答】解：∵F是EC的中点，S△BEF＝10，
∴S△BEC＝2 S△BEF＝20，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，
∴S△BED＝S△DEC＝S△BEC＝10，
∵，AE+ED＝AD，
∴AE＝ED，
∴S△ABE＝S△BED＝5，
∴S△ABD＝S△ABE+S△BED＝5+10＝15，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝30．
故答案为：30．
35．（2023春 灌云县期中）如图，CD是△ABC的一条中线，E为BC边上一点且BE＝2CE，AE、CD相交于F，四边形BDFE的面积为6，则△ABC 的面积是 　14.4　．

【答案】14.4．
【解答】解：连接BF，如图所示．
设S△BDF＝a，则S△BEF＝6﹣a，
∵CD为AB边上中线，
∴S△ADF＝S△BDF＝a，S△BDC＝S△ABC．
∵BE＝2CE，
∴S△CEF＝S△BEF＝（6﹣a），S△ABE＝S△ABC．
∴S△ABC＝2S△BDC＝2[a+（6﹣a）+（6﹣a）]＝8﹣a，
S△ABC＝S△ABE＝（2a+6﹣a）＝a+9．
即18﹣a＝a+9．解得：a＝3.6．
∴S△ABC＝18﹣a＝18﹣3.6＝14.4．
故答案为：14.4．
36．（2023春 济南期末）如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 　3　cm2．
【答案】3．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝6cm2，
∵M是AC边上的中点，
∴S△ADM＝S△ACD＝3cm2．
故答案为：3．
37．（2023春 于洪区期中）如图，CD，BE是△ABC的中线，它们相交于点O．若△ABC的面积是12，则图中阴影部分的面积为 　4　．
【答案】4．
【解答】解：连接AO，
∵CD是△ABC的中线，
∴，S△AOD＝S△BOD，
∵BE是△ABC的中线，
∴，S△AOE＝S△COE，
∵S△BOD＝S△BDC﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，S△COE＝S△CEB﹣S△BOC＝6﹣S△BOC，
∴S△BOD＝S△COE，
∵S四边形ADOE＝S△AEB﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，S△BOC＝S△BDC﹣S△BOD＝6﹣S△BOD，
∴S四边形ADOE＝S△BOC，
∴S阴影＝S△BOD+S△COE
＝S△AOD+S△AOE
＝S四边形ADOE，
∴，
故答案为：4．
38．（2023 德兴市一模）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 　12　cm2．
【答案】12．
【解答】解：∵F是CE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
39．（2023春 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF＝2，AF＝6，BE：EC＝3：1，则S△ABC＝　84　．
【答案】84．
【解答】解：∵AE⊥BD，DF＝2，AF＝6，
∴S△ADF＝＝6，
∵BD为△ABC的中线，
∴S△CDF＝S△ADF＝6，S△ABD＝S△BCD，
∴S△ABF＝S△BCF，
∵BE：EC＝3：1，
∴3S△CEF＝S△BEF，4S△ACE＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCF＝4S△CEF，
∵S△ABC＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
∴4S△ACE＝S△ABF+S△BCF+S△ACF，
4（12+S△CEF）＝4S△CEF+4S△CEF+12，
解得：S△CEF＝9，
∴S△ACE＝9+12＝21，
∴S△ABC＝4×21＝84．
故答案为：84．
40．（2023春 大渡口区校级期中）如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则阴影部分面积为 　1cm2　．
【答案】1cm2．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴，
∵点E是AD的中点，
∴，
∵点F是CE的中点，
∴，
阴影部分面积为1cm2．
故答案为：1cm2．
【题型7 三角形中线与周长问题】
41．（2023春 二七区校级期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，
整理得，AC﹣AB＝3，
则，
解得，，
故选：D．
42．（2023春 良庆区校级期末）如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）
A．20 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为30，
∴AB+AD+BD＝30，
∴16+CD+BD＝30，
∴CD+BD＝14，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝14+10＝24，
故选：B．
43．（2023春 工业园区期中）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
44．（2023 鲤城区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6．若△ACD的周长为16，则△ABD周长为 　18　．
【答案】18．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长为16，
∴AC+AD+CD＝16，
∵AC＝6，
∴AD+CD＝16﹣6＝10，
∴AD+BD＝10，
∴△ABD周长为：AB+BD+AD＝10+8＝18，
故答案为：18．
45．（2023春 崂山区校级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是 　22　．
【答案】22．
【解答】解：∵△ACE的周长是25，
∴AC+AE+CE＝25，
∵AC＝10，
∴AE+CE＝15，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+CE+AE＝7+15＝22，
故答案为：22．
46．（2023春 碑林区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 　5　．
【答案】5．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC．
∵△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，
∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝23﹣18＝5，
即AB﹣AC＝5．
故答案为：5
【题型8 证明三角形中线段不等关系】
47．（2022春 南靖县校级月考）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞（AB+AC）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，
∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．
∵AD是BC边上的中线，BD＝CD，
∴AD+BD＞（AB+AC）．
48．（2022春 鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
49．（2022秋 富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．
同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
50．（2022秋 海淀区校级期中）已知：如图，AC和BD相交于点O，说明：AC+BD＞AB+CD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AO+BO＞AB，DO+CO＞CD，
∴AO+BO+DO+CO＞AB+CD，
即AC+BD＞AB+CD．
51．（2022秋 固始县期中）AM是△ABC的中线，求证：AM＜．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：延长AM到点D，使MD＝AM，连接BD，
易证△AMC与△BMD全等，
∴BD＝AC，
在△ABD中，AD＜AB+BD，
∴2AM＜AB+BD，
∴2AM＜AB+AC，
∴AM＜．
52．（2022春 卧龙区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明DA+DB+DC与的大小关系．
【答案】DA+DB+DC＞，理由见解析．
【解答】解：DA+DB+DC＞，
理由：在△ABD中，AD+BD＞AB．
在△BCD中，BD+CD＞BC．
在△ACD中，AD+CD＞AC．
∴AD+BD+BD+CD+AD+CD＞AB+BC+AC．
∴．
【题型9 根据三角形的三边关系化简】
53．（2022秋 游仙区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边．化简|﹣a﹣b+c|+2|a+c﹣b|﹣|b﹣a﹣c|．
【答案】2a．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a+b＞c，即﹣a﹣b+c＜0，a+c＞b，即a+c﹣b＞0，b﹣a﹣c＜0，
则|﹣a﹣b+c|+2|a+c﹣b|﹣|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+2（a﹣b+c）+b﹣a﹣c
＝a+b﹣c+2a﹣2b+2c+b﹣a﹣c
＝2a．
54．（2022春 莲湖区期末）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣6|．
【答案】5﹣a．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1、4、a，
∴4﹣1＜a＜4+1，
解得：3＜a＜5，
∴a﹣2＞0，a﹣1＞0，a﹣6＜0，
原式＝a﹣2﹣（a﹣1）+6﹣a
＝5﹣a．
55．（2023春 丰泽区校级期中）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　2a　．
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
【答案】（1）2a；（2）10．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）
＝a+b﹣c﹣b+a+c
＝2a．
故答案为：2a；
（2）设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
①当3x＝15，且x+y＝6，
解得，x＝5，y＝1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y＝15且3x＝6时，
解得，x＝2，y＝13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．
∴△ABC的腰长AB为10．
56．（2023春 邗江区月考）已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【答案】（1）c＝4或6；
（2）2a+2b﹣2c．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c．
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