八上第一章三角形的初步知识专题-专题02 与三角形有关的角（八大类型）（含解析）

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专题02 与三角形有关的角（八大类型）
重难点题型归纳
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【题型7 判断直角三角形】
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
1．根据图中的数据，可得x+y的值为（　　）
A．180 B．110 C．100 D．70
2．△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
3．△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（　　）
A．72° B．92° C．108° D．180°
4．如图，在△ABC中，∠B的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
5．如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．
（1）试说明∠3＝∠E；
（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．
7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．
8．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
10．如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（　　）
A．5° B．10° C．15° D．25°
11．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（　　）
A．51° B．61° C．65° D．75°
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（　　）
A．40° B．45° C．55° D．60°
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
14．如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（　　）
A．105° B．85° C．80° D．75°
15．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（　　）
A．56° B．34° C．36° D．24°
16．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（　　）
A．22° B．25° C．28° D．30°
17．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF相交于D，则∠CDE的度数是（　　）
A．130° B．70° C．80° D．75°
18．如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
19．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）问：FG∥BC吗？为什么？
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．
20．如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
21．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．
22．如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠CAB的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．
23．如图，∠B＝42°，∠1＝∠2+10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠3的度数．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
25．△ABC中，∠ABC平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠EDB＝　　°；
（2）如图2，若△ABC是锐角三角形．过点E作EF∥BC，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明；
（3）若△ABC是钝角三角形，其中90°＜∠BAC＜180°．过点E作EF∥BC，交直线AC延长线于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．
25．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝　 °；
②若∠A＝50°，则∠BGE＝　　°；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
26．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（　　）
A．40° B．100° C．140° D．160°
27．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：∠BAE＝∠C．
（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
28．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
29．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
30．已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是 　　；
（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；
31．如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 　 　；
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　 　；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
32．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝　 　．
（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝　 　．
（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数．
（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
33．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 　 　．
34．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是 　 　．
35．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 　 ．
36．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“　　倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
37．我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝　　°，△AOB　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
38．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　 ，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
39．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．
40．如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A'B'C'的位置，连接AC'，CC'．
（1）AA'与CC'的位置关系为 　 　；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝　 　；
（2）设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
41．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　°．
Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．
42．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数　　　　．
【题型7 判断直角三角形】
43．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
44．在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
45．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
46．（2022春 源城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠ACD＝35°，则∠B的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
47．AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
48．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
专题02 与三角形有关的角（八大类型）
重难点题型归纳
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【题型7 判断直角三角形】
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
1．（2023 石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（　　）
A．180 B．110 C．100 D．70
【答案】B
【解答】解：由图可知，
x+y＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
2．（2023春 渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．
故选：C．
3．（2023春 沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（　　）
A．72° B．92° C．108° D．180°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝45°，∠B＝63°，
∴45°+63°+∠C＝180°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
4．（2023春 历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+2x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠B＝2x＝40°．
故选：C．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
5．（2023 合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，
∴设∠C＝α，那么∠A＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣3α），
∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝（180°﹣3α）﹣20°＝70°﹣α，
∴∠A+∠ABD＝2α+70°﹣α＝90°，
∴α＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α＝60°．
故选：B．
6．（2023春 东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．
（1）试说明∠3＝∠E；
（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）58°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠DGE＝∠CDA＝90°，
∴AD∥EG，
∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝58°，
∵∠1＝∠3，∠3＝∠E，
∴∠E＝58°．
7．（2023春 朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．
【答案】42°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，∠BFC＝114°，
∴∠BDF＝90°，
∴∠ABE＝∠BFC﹣∠BDF＝114°﹣90°＝24°，
∵BE为角平分线，
∴∠CBF＝∠ABE＝24°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝180°﹣114°﹣24°＝42°．
8．（2023春 建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）14°；
（2）21°．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；
（2）∵∠B﹣∠C＝42°，
∴∠B＝∠C+42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，
∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．
9．（2023春 济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
【答案】82°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣56°＝84°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×84°＝42°．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝42°﹣34°＝8°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣8°＝82°．
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
10．（2023 蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（　　）
A．5° B．10° C．15° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠F＝45°，
∵EF∥BD，
∴∠CDE＝∠DEF＝45°．
∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故选：C．
11．（2023 陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（　　）
A．51° B．61° C．65° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，
∴∠ADE＝∠B＝43°，
∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．
∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，
∴∠ACE＝，
∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，
∵，
∴∠A＝61°．
故选：B．
12．（2023 滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（　　）
A．40° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝∠DAC＝45°，
故选：B．
13．（2023春 泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C＝55°，
又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．
故选：B．
14．（2023 长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（　　）
A．105° B．85° C．80° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵EF∥AB，∠ACE＝65°，
∴∠A＝∠ACE＝65°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣30°＝85°．
故选：B．
15．（2023 定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（　　）
A．56° B．34° C．36° D．24°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠CDE＝∠1＝58°，
∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，
∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，
故选：A．
16．（2023 大庆三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（　　）
A．22° B．25° C．28° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，
∴∠PAC＝∠CAD，∠PBC＝∠CBD，
∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，
同理：∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠D+∠C，
∠P＝＝＝25°．
故选：B．
17．（2023春 广饶县期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF相交于D，则∠CDE的度数是（　　）
A．130° B．70° C．80° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC＝40°，∠FCB＝∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠CBE+∠FCB＝70°．
故选：B．
18．（2023春 长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【答案】（1）见解答；（2）70°．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥AB．
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝55°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDC＝2∠EDF＝110°，
∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝110°﹣55°＝55°，
∵DE∥BC，
∴∠A＝∠CDF＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝70°．
19．（2023春 盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）问：FG∥BC吗？为什么？
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解答；（2）50°．
【解答】（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）解：∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°．
20．（2023春 夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）90°．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠ADE，
∴EF∥AB，
∴∠2＝∠DFE，
∵∠1+∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝45°，
由（1）得AB∥EF，
∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．
21．（2023春 开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）55°．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵AF∥CE，
∴∠E＝∠BAF，
∴∠E＝∠CAF，
又∵∠D＝∠E，
∴∠D＝∠CAF，
∴BD∥AF；
（2）解：由（1）知BD∥AF，
∴∠ABD＝∠BAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠ABD，
∵∠ABD＝2∠ABC，
∴∠BAC＝4∠ABC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝100°，
∴，
∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝55°．
22．（2022秋 邹平市校级期末）如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠CAB的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．
【答案】122°．
【解答】解：∵∠C＝78°，∠CBA＝38°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠CBA＝180°﹣78°﹣38°＝64°．
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB＝∠CAB＝32°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AFB＝∠EAF+∠AEF＝32°+90°＝122°．
23．（2023春 永川区期末）如图，∠B＝42°，∠1＝∠2+10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠3的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：BF∥CD．理由如下：
在三角形ABC中，∠B+∠1+∠2＝180°，
∴42°+∠2+∠2+10°＝180°，
∴∠2＝64°，
又∵∠ACD＝64°，
∴∠2＝∠ACD，
∴BF∥CD．
（2）∵∠ACD＝64°，CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝×64°＝32°，由（1）知BF∥CD，
∴∠3＝180°﹣∠DCE＝148°．
24．（2023春 石狮市校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
25．（2023春 鼓楼区期末）△ABC中，∠ABC平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠EDB＝　45　°；
（2）如图2，若△ABC是锐角三角形．过点E作EF∥BC，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明；
（3）若△ABC是钝角三角形，其中90°＜∠BAC＜180°．过点E作EF∥BC，交直线AC延长线于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．
【答案】（1）45；（2）作图见解答，2（∠EDB﹣∠FED）＝∠ABC，证明过程见解答；（3）2（∠FED+∠EDB）﹣∠ABC＝360°，证明过程见解答．
【解答】（1）解：∵∠AED＝∠ABC＝90°，
∴ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABC＝×90°＝45°．
故答案为：45．
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系为：2（∠EDB﹣∠FED）＝∠ABC．
证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC．
又∵∠EBD+∠EDB＝∠AEF+∠FED，
∴∠ABC+∠EDB＝∠ABC+∠FED，
整理得2（∠EDB﹣∠FED）＝∠ABC．
（3）∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系为：2（∠FED+∠EDB）﹣∠ABC＝360°．
证明：∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠ABC．
又∵∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝180°﹣∠ABC﹣∠EDB，
∴∠FED＝∠FEB+∠BED＝∠ABC+180°﹣∠ABC﹣∠EDB＝180°+∠ABC﹣∠EDB，
整理得：2（∠FED+∠EDB）﹣∠ABC＝360°．
25．（2023春 江都区月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝　55　°；
②若∠A＝50°，则∠BGE＝　65　°；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】（1）①55°；
②65°；
③90°﹣∠A；
（2）∠A．
【解答】解：（1）①∵BF是∠ABC平分线，EG是∠DEF的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝20°，∠CEG＝∠FEG＝∠CEF，
∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠F＝∠ABC，∠C＝∠CEF＝2∠FEG＝70°，
∴∠FEG＝∠C＝35°，
∴∠BGE＝∠FEG+∠F
＝35°+20°
＝55°，
故答案为：55；
②由①得，∠BGE＝∠FEG+∠F
＝∠C+∠ABC
＝（∠B+∠C）
＝（180°﹣∠A）
＝（180°﹣50°）
＝65°．
故答案为：65；
③∠BGE＝90°﹣∠A，理由为：
由②得，∠BGE＝∠FEG+∠F
＝∠C+∠ABC
＝（∠B+∠C）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A；
（2）如图，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠GBC＝∠ABC＝（180°﹣∠A﹣∠C），
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝180°﹣∠C，
∵EH平分∠CEF，
∴∠FEH＝∠CEF＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠BHG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣90°+∠C＝90°+∠C，
∴∠BGE＝180°﹣∠GBC﹣∠BHG
＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠C）﹣（90°+∠C）
＝180°﹣90°+∠A+∠C﹣90°﹣∠C
＝∠A．
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
26．（2022秋 邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（　　）
A．40° B．100° C．140° D．160°
【答案】C
【解答】解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
27．（2022秋 靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：∠BAE＝∠C．
（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
【答案】（1）详见解答；
（2）84°．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处，
∴DE垂直平分AC．
∴EA＝EC．
∴∠EAD＝∠C．
∴∠BAE＝∠C．
（2）解：由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，
∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．
∵∠BAC+∠C+∠B＝180°．
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（∠EAD+∠BAE+∠C）
＝180°﹣3×32°
＝84°．
28．（2022春 交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
29．（2022秋 沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】28°．
【解答】解：如图所示：
∵∠1是△ADF的外角，
∴∠A+∠AFD＝∠1；
又∵∠AFD是△EFA'的外角，
∴∠2+∠A'＝∠AFD，
∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，
由折叠可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，
∴∠A+24°+∠A＝80°，
即：2∠A＝56°，
解得：∠A＝28°．
30．（2023春 镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是 　50　；
（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）50°；
（2）∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
【解答】解：（1）如图，连接BB'，
由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB'E＝80°，
∴∠ADB'＝∠DBB'+∠DB'B＝110°，
∴∠EBB'+∠EB'B＝160°﹣110°＝50°，
∴∠CEB'＝∠EBB'+∠EB'B＝50°，
故答案为：50；
（2）①如图，当点D线段AB上时，结论：∠CB'E+80°＝∠ADB'，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AB，∴∠ADB'＝∠CB'D，
由翻折可知，∠B＝∠DB'E＝80°，
∴∠CB'E+80°＝∠CB'D＝∠ADB'；
②如图，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB'E+∠ADB'＝80°，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AD，
∴∠ADB'+∠DB'C＝180°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠DB'E＝100°，
∴∠CB'E+100°+∠ADB'＝180°，
∴∠CB'E+∠ADB'＝80°；
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
31．（2022秋 城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 　∠BDA′＝2∠A　；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　∠BDA′+∠CEA′＝2∠A　；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
32．（2022春 福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝　260°　．
（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝　160°　．
（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数．
（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】（1）260°；
（2）160°；
（3）∠B+∠C＝140°；
（4）∠A＝28°．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝260°，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∵翻折，
∴∠EDA’＝∠ADE，∠AED＝∠DEA’，
∴∠ADA’+∠AEA’＝2（∠ADE+∠AED）＝200°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝160°，
故答案为：160°；
（3）连接AA'．如图所示：
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA'D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝80°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°．
（4）如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，
由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
33．（2023春 青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 　20°或84°．　．
【答案】20°或84°．
【解答】解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∴∠C＝∠CBE，
∵△BCE是“德馨三角形”，
∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，
解得：∠C＝20°；
当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝84°．
故答案为：20°或84°．
34．（2022 西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是 　90°或60°　．
【答案】90°或60°．
【解答】解：若90°的角为倍角，则倍角α＝90°，
若另外两个内角中较大角为倍角，其角度为α，则较小内角角度为，
三角形内角和180°，
∴，
解得α＝60°．
综上，倍角α的度数是90°或60°．
故答案为：90°或60°．
35．（2022春 宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 　45°或30°　．
【答案】90°或60°．
【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x＝90°，
解得x＝30°，
所以，“特征角”是30°，
综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．
故答案为：90°或60°．
36．（2022春 安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“　2　倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
【答案】（1）2；
（2）18°或54°．
【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
37．（2022秋 福田区校级期末）我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝　18　°，△AOB　是　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，
∵∠MON＝4∠ABO，
∴△AOB为“完美三角形”，
故答案为：18；是；
（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，
∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，
∴△AOC是“完美三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“完美三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝30°或∠B＝80°．
38．（2022秋 荔城区校级月考）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　30°　，△AOB　不是　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
【答案】（1）30°；不是；（2）△AOC是“和谐三角形；（3）∠B＝80°或∠B＝30°．
【解答】解：【简单应用】
（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠MON＝2∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”，
故答案为：30°；不是．
（2）证明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝84°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝84°﹣60°＝24°，
∴∠ACO＝96°＝4×24°＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝80°或∠B＝30°
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
39．（2023春 江北区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠E＝25°；
（2）∴∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由见解答．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．
40．（2023春 仪征市月考）如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A'B'C'的位置，连接AC'，CC'．
（1）AA'与CC'的位置关系为 　AA′∥CC′　；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝　180°　；
（2）设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）AA′∥CC′；180°；
（2）∠CAC'＝x+y．
【解答】解：（1）由平移的性质可得：AA′∥CC′；
根据平移性质可知A'C'∥AC，AA'∥CC'，
∴∠A'＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC'，
∴∠A'＝∠ACC'，
∵∠ACC'+∠CAC′+∠AC′C＝180°，
∴∠A'+∠CAC'+∠AC'C＝180°，
故答案为：AA′∥CC′；180°；
（2）结论：∠CAC'＝x+y，
过点A作AD∥BC，交CC'于点D，
根据平移性质可知B'C'∥BC，
∴B'C'∥AD∥BC'，
∴∠AC'B'＝∠C'AD，∠ACB＝∠DAC，
∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，
即∠CAC'＝x+y．
41．（2022秋 邢台期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　°．
Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，
∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；
又∵∠A＝40°，∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50；
Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，
又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，
∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，
∴∠BDC＝45°+40°＝85°．
42．（2023春 虹口区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 　45°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，
即∠DAE＝∠C﹣∠B；
（3）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，
∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，
∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，
即∠AEC＝2∠G，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠G＝45°．
故答案为45°．
【题型7 判断直角三角形】
43．（2023 漳浦县模拟）在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：5：6，设∠A＝x，则x+5x+6x＝180，x＝15°，∠C＝15°×6＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，△ABC不是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．
故选：C．
44．（2023春 盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°，
解得x＝（）°，故6x≠90°，
∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①②共2个．
故选：B．
45．（2023春 薛城区月考）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解答】解：①当∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC是直角三角形，
故本小题不符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是②④⑤共3个．
故选：C
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
46．（2022春 源城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠ACD＝35°，则∠B的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝35°，
∴∠BCD＝90°﹣35°＝55°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．
47．（2023春 汨罗市期中）AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠BHD+∠HBD＝90°，
∵BE是△ABC的高，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠BHD＝50°
48．（2022春 邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【答案】（1）72°；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
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