八上第一章三角形的初步知识专题-专题03三角形的外角（八大题型）

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专题03 三角形的外角（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1 直接运用三角形的外角性质求角度】
【题型2 利用三角形的外角性质比较角的大小】
【题型3 三角形的外角与平行线的综合运算】
【题型4三角形外角与垂直的综合运用】
【题型5三角形外角与三角板的综合运用】
【题型6 三角形外角与折叠综合运用】
【题型7 三角形外角与内外角平分线的综合运用】
【题型8 三角形外角与内外角平分线的规律综合应用】
【题型1 直接运用三角形的外角性质求角度】
1.如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．30° C．70° D．80°
3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝40°，∠ACE＝65°，则∠A的度数为（　　）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【题型2 利用三角形的外角性质比较角的大小】
4．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
5．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（　　）
A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
6．如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．
（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；
（2）请说明∠BAC＞∠B．
【题型3 三角形的外角与平行线的综合运算】
7．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（　　）
A．27° B．42° C．45° D．70°
8．如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．80°
10．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【题型4三角形外角与垂直的综合运用】
11．如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为　　　　．
12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝　　　　度．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC．
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
14．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数．
【题型5三角形外角与三角板的综合运用】
15．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．15° D．75°
16．将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
A．165° B．120° C．150° D．135°
17．将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（　　）
A．105° B．95° C．85° D．75°
18．如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．50° B．60° C．75° D．85°
【题型6 三角形外角与折叠综合运用】
19．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（　　）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
20．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
21．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2＝124°，∠A＝　 　．
【题型7 三角形外角与内外角平分线的综合运用】
22．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
23．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
24．如图，是一个缺角（∠A）的三角板模型，现要知道∠A的大小．数学活动课上，小李没有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度数，再求得∠A的度数，而是分别画出∠MBC的角平分线与∠NCB的外角平分线相交于点P，测得∠P＝26°，请告知∠A＝　　°．
25．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
26．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
27．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　）
A． B．∠D+∠G＝180°
C． D．
【题型8 三角形外角与内外角平分线的规律综合应用】
28．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（　　）时，AM∥BN．
A．45° B．50° C．60° D．120°
第28题图 第29题图
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）
A．2° B．4° C．8° D．16°
30．如图，点A1是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，点A2是△A1BC的内角∠A1BC和外角∠A1CD的角平分线的交点，同样点An+1是△AnBC的内角∠AnBC和外角∠AnCD的角平分线的交点，若∠A＝α，那么∠A2019＝（　　）
A． B． C． D．
第30题图 第31题图
31．如图，已知∠A＝ɑ，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2…∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016，则∠A2016＝　 　．（用含ɑ的式子表示）
专题03 三角形的外角（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1 直接运用三角形的外角性质求角度】
【题型2 利用三角形的外角性质比较角的大小】
【题型3 三角形的外角与平行线的综合运算】
【题型4三角形外角与垂直的综合运用】
【题型5三角形外角与三角板的综合运用】
【题型6 三角形外角与折叠综合运用】
【题型7 三角形外角与内外角平分线的综合运用】
【题型8 三角形外角与内外角平分线的规律综合应用】
【题型1 直接运用三角形的外角性质求角度】
1.（2023 灞桥区校级四模）如图，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【解答】解：根据三角形外角性质可知：∠2＝∠3﹣∠1＝100°﹣45°＝55°．
故选：C．
2．（2023 海港区一模）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．30° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°＝30°．
故选：B．
3．（2023 湘潭模拟）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝40°，∠ACE＝65°，则∠A的度数为（　　）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACE＝65°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∠ACD＝2∠ACE＝130°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，∠B＝40°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°，
故选：B．
【题型2 利用三角形的外角性质比较角的大小】
4．（2023 任丘市三模）如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：D．
5．（2022秋 通川区期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（　　）
A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【答案】B
【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选：B．
6．（2022春 淮阳区校级期末）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．
（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；
（2）请说明∠BAC＞∠B．
【答案】（1）50°；
（2）见解析．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝150°﹣100°＝50°；
（2）∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠BAC是△ACD的外角，
∴∠BAC＞∠ACD，
∴∠BAC＞∠ECD，
∵∠ECD是△BCD的外角，
∴∠ECD＞∠B，
∴∠BAC＞∠B．
【题型3 三角形的外角与平行线的综合运算】
7．（2023 德惠市二模）如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（　　）
A．27° B．42° C．45° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
8．（2023 南海区模拟）如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：三角形外角的性质可知∠EFG＝90°，
∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，
∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠FGC＝∠EFG＝65°．
故选：B．
9．（2022秋 明水县校级期末）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝50°．
故选：C．
10．（2022秋 青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
【题型4三角形外角与垂直的综合运用】
11．（2023 辉县市二模）如图，∠A+∠1＝40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 　130°　．
【答案】130°．
【解答】解：延长BC交AE于点F，如图，
∵∠DFC是△ABF的外角，∠A+∠1＝40°，
∴∠DFC＝∠A+∠1＝40°，
∵CD⊥A，
∴∠FDC＝90°，
∵∠2是△DCF的外角，
∴∠2＝∠FDC+∠DFC＝130°．
故答案为：130°．
12．（2023 阳谷县三模）已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝　125　度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
13．（2023春 西安月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC．
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△ADN是等腰直角三角形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝．
∵AM平分∠EAC，
∴∠EAM＝∠MAC＝．
∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝＝．
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∴∠MAD+∠ADC＝180°
∴AM∥BC．
（2）解：△ADN是等腰直角三角形，
理由是：∵AM∥BC，
∴∠AND＝∠NDC，
∵DN平分∠ADC，
∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND．
∴AD＝AN，
∴△ADN是等腰直角三角形．
14．（2022秋 庐阳区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数．
【答案】∠AFB＝40°．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝42°，
又∵∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝52°，
∴∠MAC＝128°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC＝64°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝24°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．
【题型5三角形外角与三角板的综合运用】
15．（2023春 铁西区期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．15° D．75°
【答案】D
【解答】解：∵∠2＝30°，∠3＝45°，
∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：D．
16．（2023 前郭县二模）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴α＝30°+135°＝165°．
故选：A．
17．（2023 抚松县二模）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（　　）
A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】A
【解答】解：由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，
∵∠BFE是△CEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
18．（2023 海口模拟）如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．50° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：如图，
由题意得：∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠AED＝∠A＝30°，
∴∠α＝∠D+∠AED＝75°．
故选：C．
【题型6 三角形外角与折叠综合运用】
19．（2021秋 武昌区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（　　）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【答案】B
【解答】解：如图，延长BE、CD并交于点F，连接AF．
由题可知：∠EAD＝∠EFD．
∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠DAF+∠AFD，
∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠DAF+∠AFD．
∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．
∴∠1+∠2＝2∠EAD．
故选：B
20．（2021 西湖区校级二模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A．∠A＝∠1﹣∠2 B．2∠A＝∠1﹣∠2
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
【答案】B
【解答】解：如右图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故选：B．
21．（春 凉城县校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2＝124°，∠A＝　62°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ADE＝∠EDP，∠AED＝∠DEP，
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝180°+180°，
∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，
∵∠1+∠2＝124°，
∴∠ADE+∠AED＝118°，
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝62°．
【题型7 三角形外角与内外角平分线的综合运用】
22．（2023 珠晖区校级模拟）在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，则∠A等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线，
∴2∠ACD＝2∠DBC+∠A，
又∵∠ACD＝∠DBC+∠D，
∴2（∠DBC+∠D）＝2∠DBC+∠A，
∵∠D＝40°，
∴∠A＝80°．
故选：D．
23．（2023春 丰泽区校级期中）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
24．（2023春 建湖县期中）如图，是一个缺角（∠A）的三角板模型，现要知道∠A的大小．数学活动课上，小李没有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度数，再求得∠A的度数，而是分别画出∠MBC的角平分线与∠NCB的外角平分线相交于点P，测得∠P＝26°，请告知∠A＝　52　°．
【答案】52．
【解答】解：∵∠MBC的角平分线与∠NCB的外角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∵∠P＝26°，
∴，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故答案为：52．
25．（2023春 宜兴市月考）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ADC＝∠ACF＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABD，故③正确；
由三角形的外角性质得，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCF＝∠ACF，
∴∠BDC+∠DBC＝（∠ABC+∠BAC）＝∠ABC+∠BAC＝∠DBC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC，故⑤错误；
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵∠ABC与∠BAC不一定相等，
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
26．（2023 长阳县一模）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
27．（2022秋 武汉期末）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　）
A． B．∠D+∠G＝180°
C． D．
【答案】B
【解答】解：方法一：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝
＝＝，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴，，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）
＝
＝
＝
＝
＝，
∴．
方法二：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴，，
∴，
同理可得：∠DCG＝90°，
在四边形DBGC中，根据内角和为360°，
∴∠D+∠G＝180°．
故选：B．
【题型8 三角形外角与内外角平分线的规律综合应用】
28．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（　　）时，AM∥BN．
A．45° B．50° C．60° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠BAF的角平分线；AM是∠FAD的角平分线，
∴∠DAB＝∠FAD＝∠FAB，∠MAD＝∠FAD，
∴∠MAB＝∠FAB，
同理可得：∠NBA＝∠ABG，
∵∠FAB＝∠C+∠ABC，∠ABG＝∠C+∠BAC，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C，
∴∠FAB+∠ABG＝2∠C+∠ABC+∠BAC，
∴∠MAB+∠NBA
＝∠FAB+∠ABG
＝（∠FAB+∠ABG）
＝（2∠C+∠ABC+∠BAC）
＝（2∠C+180°﹣∠C）
＝（180°+∠C），
要使AM∥BN，
则∠MAB+∠NBA＝180°，
即（180°+∠C）＝180°，
解得：∠C＝60°．
故选：C．
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）
A．2° B．4° C．8° D．16°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
30．如图，点A1是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，点A2是△A1BC的内角∠A1BC和外角∠A1CD的角平分线的交点，同样点An+1是△AnBC的内角∠AnBC和外角∠AnCD的角平分线的交点，若∠A＝α，那么∠A2019＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠CBA1＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD＝（∠A+∠ABC），
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠CBA1，
∴∠A1＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A＝α，
同理，∠A2＝∠A1＝α，
……
∴∠A2019＝，
故选：C．
31．（2023春 明水县期中）如图，已知∠A＝ɑ，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2…∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016，则∠A2016＝　　．（用含ɑ的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A，
由此可得一下规律：∠An＝∠A，
当∠A＝α时，∠A2016＝，
故答案为：．
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