八上第一章三角形的初步知识专题-专题04 全等三角形基本模型（4大模型）（含解析）

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专题04 全等三角形基本模型（4大模型）
重难点题型归纳
【模型一：平移型】
【模型二：翻折型】
【模型三：旋转型】
【模型四：一线三垂直型】
【模型一：平移型】
【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： .
【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．
【变式1-2】已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC．求证：∠A＝∠D．
【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．
【变式1-4】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．
【模型二：翻折型】
【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．
【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 求证： ．
【变式2-2】如图，AD，BC相交于点O，且OB＝OC，OA＝OD．延长AD到F，延长DA到E，AE＝DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【变式2-3】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【变式2-4】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.
【变式2-5】如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B．
【变式2-6】如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【变式2-7】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在AB，AC上，连接DE、DF，且DE＝DF．求证：AE＝AF．
【变式2-8】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
求证：AF＝DE．
【模型三：旋转型】
【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．
【变式3-1】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．
【变式3-2】如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．

【典例4】如图，，，，求证：.
【变式4-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
求证：△AEC≌△BED．

【变式4-2】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
【变式4-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：∠3＝∠1+∠2．
【变式4-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【模型四：一线三垂直型】
【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．
（1）求证：MN＝BM+CN；
（2）求证：∠BAC＝90°．
【变式5-1】王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝AC，BD∥AC，DE⊥AB于点E．求证：AB＝BD．
【变式5-3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：BE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AD＝2DE，求∠BAE的度数．
【变式5-4】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
①求证： ≌ ；
②求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
专题04 全等三角形基本模型（4大模型）
重难点题型归纳
【模型一：平移型】
【模型二：翻折型】
【模型三：旋转型】
【模型四：一线三垂直型】
【模型一：平移型】
【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： .
【解答】证明：
，即 .
∴在 和 中，
【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．
【解答】证明：∵，
∴
在和中
∵
∴
∴．
【变式1-2】已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC．求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D
【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．
【解答】证明：∵，
∴即，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC=DF．
【变式1-4】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
（2）解：∵BF＝20，EC＝8，
∴BE+CF＝20﹣8＝12，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+8＝14．
【模型二：翻折型】
【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．
【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC，
∴AC＝DC．
【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ．
求证： ．
【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知），
∴ （角平分线定义），
在 与 中，
∵
∴ ．
【变式2-2】如图，AD，BC相交于点O，且OB＝OC，OA＝OD．延长AD到F，延长DA到E，AE＝DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【解答】证明：∵OA＝OD，AE＝DF，
∴OA+AE＝OD+DF，
即OE＝OF，
在△OEB与△OFC中，
，
∴△OEB≌△OFC（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴BE∥CF．
【变式2-3】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【解答】解：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠C．
【变式2-4】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.
【解答】证明：如图，记的交点为O，
∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC ∠1，∠OCB＝∠DCB ∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC.
【变式2-5】如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B．
【解答】证明：∵点E、D分别是CA、CB的中点，
∴CE＝CA，CD＝CB，
∵CA＝CB，
∴CE＝CD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A＝∠B．
【变式2-6】如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
【变式2-7】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在AB，AC上，连接DE、DF，且DE＝DF．求证：AE＝AF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝CAD，
又∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，AB＝AC，
在Rt△BDE与Rt△CDF，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
∴AE＝AF．
【变式2-8】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
求证：AF＝DE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE．
【模型三：旋转型】
【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．
【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【变式3-1】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中 ，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
【变式3-2】如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．

【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AC＝DC
【典例4】如图，，，，求证：.
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴.
【变式4-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
求证：△AEC≌△BED．

【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式4-2】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）解：∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
【变式4-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：∠3＝∠1+∠2．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠1，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠3＝∠BAD+∠ABD＝∠1+∠2．
【变式4-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
【模型四：一线三垂直型】
【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．
（1）求证：MN＝BM+CN；
（2）求证：∠BAC＝90°．
【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），
∴BM＝AN，CN＝AM，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【变式5-1】王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝AC，BD∥AC，DE⊥AB于点E．求证：AB＝BD．
【解答】证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB于点E，
∴∠C＝∠BED＝90°，
∵BD∥AC，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（ASA），
∴AB＝BD．
【变式5-3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：BE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AD＝2DE，求∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵AD＝2DE，
∴DF＝AF，
∵CF⊥AD，
∴AC＝DC，
∴BD＝DC＝AC，
∴BC＝2AC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAE＝30°．
【变式5-4】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
①求证： ≌ ；
②求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
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