八上第一章三角形的初步知识专题-专题06 倍长中线法与截长补短法构造全等三形（两大类型）（含解析）

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专题06 倍长中线法与截长补短法构造全等三形（两大类型）
重难点题型归纳
【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
【题型二：截长补短法构造全等三角形】
【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。（在一定范围中）
边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相
【典例1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【变式1-1】如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【变式1-3】如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为　　　　．
【变式1-4】如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
【变式1-6】已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【变式1-5】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【变式1-8】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【变式1-11】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE；
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，F为AE上一点，连接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求证：AF＝CE．
（3）如图3，在（2）的条件下，N为DE上一点，连接AN，∠BAD＝2∠DAN，M为DF中点，连接AM，若AM＝6，AF＝5，求EN的长．
【变式1-12】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【变式1-13】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【变式1-16】阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是　 　（填序号）．
【变式1-19】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是　 　；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
【模型二：截长补短法构造全等三角形】
截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起
【典例2】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；
（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【变式2-1】阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
【变式2-2】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，
求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．
【变式2-3如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）直接写出∠AFC的度数：　 　；
（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
专题06 倍长中线法与截长补短法构造全等三形（两大类型）
重难点题型归纳
【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
【题型二：截长补短法构造全等三角形】
【题型一：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相
【典例1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　AC＝BM　，位置关系是 　AC∥BM　；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【答案】（1）AC＝BM，AC∥BM；
（2）2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由见解析．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，
∴AC∥BM，
故答案为：AC＝BM，AC∥BM；
（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴12﹣8＜AM＜12+8，
即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
【变式1-1】如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【答案】B
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故选：B．
【变式1-3】如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为 　1.5　．
【答案】1.5．
【解答】解：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC中点，
∴△ADC的面积＝△ADB的面积，BD＝DC，
∵∠ADC＝∠GDB，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴△ADC的面积＝△BDG的面积，BG＝AC，
∵AC＝AF，
∴BG＝AF，
∵EF＝2AD，AG＝2AD，
∴EF＝AG，
∵AE＝AB，
∴△AEF≌△BGA（SSS），
∴△AEF的面积＝△ABG的面积＝3，
∴△ADC的面积＝△BDG的面积＝△ABD的面积＝△ABG的面积＝1.5，
故答案为：1.5．
【变式1-4】如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
【答案】60°．
【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．
【变式1-6】已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中
，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，∴DF＝DC，
在△ADF与△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
【变式1-5】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【答案】（1）1＜AD＜4；
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分线，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
【变式1-8】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是　C　．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【变式1-11】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE；
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，F为AE上一点，连接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求证：AF＝CE．
（3）如图3，在（2）的条件下，N为DE上一点，连接AN，∠BAD＝2∠DAN，M为DF中点，连接AM，若AM＝6，AF＝5，求EN的长．
【答案】（1）（2）证明见解析部分．
（3）7．
【解答】（1）证明：如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AD＝AE，AH⊥BC，
∴BH＝CH，DH＝EH，
∴BD＝CE，
∴BD+DE＝EC+DE，即BE＝CD；
（2）证明：过点F作FT∥DE交AD于点T．
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∵FT∥DE，
∴∠ATF＝∠ADE＝60°，∠AFT＝∠AED＝60°，
∴△AFT是等边三角形，
∴AT＝AF＝FT，
∵AD＝AE，
∴DT＝EF，
∵FD＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD＝∠DFT，
∵∠DTF＝∠CEF＝120°，
∴△FTD≌△CEF（AAS），
∴FT＝CE，
∴AF＝EC；
（3）解：如图3中，延长AM到Q，使得MQ＝AM，则AQ＝2AM＝12，设∠DAN＝α，则∠BAD＝∠CAE＝2α．
∴∠B＝60°﹣2α，
∴∠CNA＝∠B+∠BAN＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∠CAN＝∠CAE+∠EAN＝2α+60°﹣α＝60°+α，
∴∠CNA＝∠CAN，
∴CN＝CA，
∵MA＝MQ，∠AMF＝∠QMD，MF＝MD，
∴△MAF≌△MQD（SAS），
∴AF＝DQ，∠MAF＝∠Q，
∴DQ∥AE，
∴∠ADQ＝180°﹣∠DAE＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠ADB＝∠ADQ＝120°，
∵BD＝EC＝AF＝5，
∴DB＝DQ，
∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADQ（SAS），
∴AB＝AQ＝12，
∴AC＝AB＝CN＝12，
∴EN＝12﹣5＝7．
【变式1-12】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）（2）（3）证明见解答．
【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），
∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CME（AAS），
∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠M＝∠EDC，
∴CM＝CD，
∴AB＝CD．
【变式1-13】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　2＜AD＜11　．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）2＜AD＜11；（2）7；（3）证明见解答．
【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜AE＜22
∴2＜AD＜11，
故答案为：2＜AD＜11．
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝7，
∴BM＝AC＝7，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF＝7；
（3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF，
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝BD，
在△CDG和△BDE中，
，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG＝BE，
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞GF，
∵DE⊥DF，GD＝ED，
∴DF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∴BE+CF＞EF．
【变式1-16】阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是　①②④　（填序号）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
②若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，
由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2；
（2）：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确．
故答案为①②④．
【变式1-19】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是　1＜AD＜4　；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）阅读理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）问题解决：
解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．
【模型二：截长补短法构造全等三角形】
【典例2】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；
（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【变式2-1】阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AB+BD＝AE+CE＝AC；
（2）延长AE、BC交于F，
∵AB＝BF，BE平分∠ABF，
∴AE＝EF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
【变式2-2】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，
求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．
【答案】证明见解答过程．
【解答】解：解法一：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，
在△AEP和△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，BE＞PB﹣PE，
即AB﹣AC＞PB﹣PC；
解法二：如图，延长AC到D，使AD＝AB，连接PD，
在△ADP和△ABP中，
，
∴△ADP≌△ABP（SAS），
∴PD＝PB，
在△PCD中，CD＞PD﹣PC，
即AB﹣AC＞PB﹣PC．
【变式2-3如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）直接写出∠AFC的度数：　120°　；
（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
故答案为：120°；
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．
∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠CFD＝60°＝∠CFG，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA．
又由题可知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中）
截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起

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