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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式
3.3一元一次不等式（2）
【知识重点】
一、解一元一次不等式的一般步骤：（每步的依据），
1、去分母： （不等式性质3）
2、去括号： (单项式乘多项式（去括号法则）法则)
3、移项： （不等式性质2）
4、合并同类项：合并同类项，得ax>b，ax5、将未知数的系数化为1 （不等式性质3）
6、在数轴上表示不等式的解集
二、解一元一次不等式的注意的事项：
1、去分母：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项(分子是多项式的要加括号).
2、去括号：根据乘法的分配律不要漏乘项 (负数乘进去时每项都变号) .
3、移项：移项要注意改变该项的符号，不等号的方向不能改变.
4、合并同类项：要严格依据合并同类项法则进行.
5、将未知数的系数化为1：两边都除以负数时不等号的方向必须改变.
6、书写格式上也要注意，不等号不能连写.
【经典例题】
【例1】在下列解不等式的过程中，错误的一步是( )
A．去分母得 B．去括号得
C．移项得 D．系数化为得
【例2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】不等式3(x－2)≤x＋4的非负整数解有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．无数
【例4】不等式的解集为 ．
【例5】不等式的最大整数解是 ．
【例6】已知关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是 ．
【例7】解不等式，并把解集在数轴上表示．
【例8】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【例9】已知关于的方程，
（1）若该方程的解满足，求的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．
【基础训练】
1．不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A．x＜-1 B．x＞2 C．x＞-1 D．x＜2
3．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．关于x的一元一次不等式的解集为（ ）
A．x B．x C．x D．x
5．不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式的解集是 ．
7．解不等式并把解集在数轴上表示．
8．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
9． 解不等式，并在数轴上表示解集.
10．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
11．下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得：x+5-1<3x+2；…………………………………………第一步
移项、合并同类项，得：-2x<-2；…………………………………………第二步
系数化为1，得：x>1…………………………………………第三步.
（1）小明是从第步开始出错的，错误的原因是 ；
（2）第三步“系数化为1”的依据是 ；
（3）请你给出正确的解答过程，并把此不等式的解集在数轴上表示出来.
12．整式的值为．
（1）当时，求的值；
（2）若的取值范围如图所示，求的非正整数值．
【培优训练】
13．关于x的不等式解集为，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
14．不等式的非负整数解有个( )
A．4 B．5 C．6 D．无数个
15．已知关于x、y的方程组的解满足，求a的取值范围 .
16．不等式的最小整数解是 ．
17．当 时，式子的值是非正数．
18．若不等式的最小整数解是方程的解，则m的值为 ．
19．若不等式的解都能使不等式成立，则实数a的取值范围是 ．
20．已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有三个，则的取值范围是 ．
21．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
22．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
23．如图，在数轴上，点分别表示数，，且点在点的左侧．
（1）求的取值范围；
（2）若点表示的数是关于的不等式的解，求的整数解．
24．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y>0.
（1）求实数m的取值范围．
（2）在⑴的条件下，若不等式（2m+1）x-2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．
【直击中考】
25．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
26．不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
28．不等式 的解为 .
29．若不等式 ＞﹣x﹣ 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 ．
30．解不等式：
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式（解析版）
3.3一元一次不等式（2）
【知识重点】
一、解一元一次不等式的一般步骤：（每步的依据），
1、去分母： （不等式性质3）
2、去括号： (单项式乘多项式（去括号法则）法则)
3、移项： （不等式性质2）
4、合并同类项：合并同类项，得ax>b，ax5、将未知数的系数化为1 （不等式性质3）
6、在数轴上表示不等式的解集
二、解一元一次不等式的注意的事项：
1、去分母：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项(分子是多项式的要加括号).
2、去括号：根据乘法的分配律不要漏乘项 (负数乘进去时每项都变号) .
3、移项：移项要注意改变该项的符号，不等号的方向不能改变.
4、合并同类项：要严格依据合并同类项法则进行.
5、将未知数的系数化为1：两边都除以负数时不等号的方向必须改变.
6、书写格式上也要注意，不等号不能连写.
【经典例题】
【例1】在下列解不等式的过程中，错误的一步是( )
A．去分母得 B．去括号得
C．移项得 D．系数化为得
【答案】D
【解析】 ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得-x＞-13，
系数化为1得x＜13.
所以错误的一步是系数化为1.
故答案为：D.
【例2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】去分母得，4(x-2)-6≥-3x，移项合并同类项得，7x≥14，系数化为1得，x≥2.故A正确，符合题意.
故选A.
【例3】不等式3(x－2)≤x＋4的非负整数解有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．无数
【答案】C
【解析】 3(x－2)≤x＋4
去括号得3x-6≤x+4，
移项得3x-x≤4+6，
合并同类项得2x≤10，
系数化为1得x≤5，
∴该不等式的非负整数解为：5、4、3、2、1、0，共6个.
故答案为：C.
【例4】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】【解答】
去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并，得：
化系数为1：
故答案为：
【例5】不等式的最大整数解是 ．
【答案】1
【解析】原不等式 去分母，得：
3x-4＜2x-2，
移项，得3x-2x＜-2+4，
解得x＜2，
∴原不等式的最大整数解是1，
故答案为：1.
【例6】已知关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
②×2-①，得3y=3+6m，
∴y=1+2m.
将y=1+2m代入①中可得2x=-6m，
∴x=-3m，
∴方程组的解为.
∵x+y>0，
∴-3m+1+2m>0，
∴1-m>0，
∴m<1.
故答案为：m<1.
【例7】解不等式，并把解集在数轴上表示．
【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
【例8】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
数轴表示如下：
【例9】已知关于的方程，
（1）若该方程的解满足，求的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．
【答案】（1）解：，
解得：，
∵该方程的解满足，
∴，
解得：
（2）解：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
∵该方程的解是不等式的最小整数解，
∴，
∴，解得：．
【基础训练】
1．不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，
∴x＜1，
∴在数轴上表示为
故答案为：A
2．不等式的解集是（ ）
A．x＜-1 B．x＞2 C．x＞-1 D．x＜2
【答案】C
【解析】 ∵不等式，
∴2（x-2)＜3（x-1），
∴2x-4＜3x-3，
解得：x＞-1，
故答案为：C.
3．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，
，
，
，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
4．关于x的一元一次不等式的解集为（ ）
A．x B．x C．x D．x
【答案】D
【解析】不等式去分母得：，
去括号得∶2﹣2x+12≤3x+3，
移项合并同类项得：5x≥11，
解得：，
故答案为：D.
5．不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
不等式两边同乘以6得：，故C正确.
故答案为：C.
6．不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】去括号，得21-3x≥3+x，
移项，得-3x-x≥3-21，
合并同类项，得-4x≥-18，
系数化为1，得x≤.
故答案为：x≤.
7．解不等式并把解集在数轴上表示．
【答案】解：
解集在数轴上表示为：
8．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
，
，
，
解得：，
不等式的解集在数轴上表示如下：
9． 解不等式，并在数轴上表示解集.
【答案】解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化1，得 .
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
10．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母得：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
不等式的解集在数轴上表示：
11．下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得：x+5-1<3x+2；…………………………………………第一步
移项、合并同类项，得：-2x<-2；…………………………………………第二步
系数化为1，得：x>1…………………………………………第三步.
（1）小明是从第步开始出错的，错误的原因是 ；
（2）第三步“系数化为1”的依据是 ；
（3）请你给出正确的解答过程，并把此不等式的解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）去分母时，没有分母的项未乘2
（2）不等式的基本性质3
（3）解：
解：去分母，得：x+5-2<3x+2，
移项、合并同类项，得：-2x<-1，
系数化为1，得：
把解集在数轴上表示为：
【解析】【解答】解 （1）小明的解题过程从第①步出现错误，原因：去分母时，没有分母的项未乘2，
故答案为：去分母时，没有分母的项未乘2；
（2）第三步“系数化为1”的依据是：不等式的性质3（不等式的两边同乘或除一个负数，不等号改变方向），
故答案为：不等式的基本性质3；
12．整式的值为．
（1）当时，求的值；
（2）若的取值范围如图所示，求的非正整数值．
【答案】（1）根据题意得，；
（2）由数轴知，，
即，
解得，
为非正整数，
或．
【培优训练】
13．关于x的不等式解集为，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】解不等式
去括号，4x-4-3x+3a＞1
移项，4x-3x＞1+4+3a
合并同类项，x＞3a+5
该不等式得解集是x＞-1，
则3a+5=-1
解得a=-2
故答案为A.
14．不等式的非负整数解有个( )
A．4 B．5 C．6 D．无数个
【答案】C
【解析】3（x-2）≤x+4，
去括号得3x-6≤x+4，
移项得3x-x≤4+6，
合并同类项得2x≤10，
系数化为1得x≤5，
∴该不等式的非负整数解为5、4、3、2、1、0，共6个.
故答案为：C.
15．已知关于x、y的方程组的解满足，求a的取值范围 .
【答案】
【解析】，
，得，
把代入，得，
，
，
.
故答案为：.
16．不等式的最小整数解是 ．
【答案】7
【解析】∵≥1，
∴2(3x-1)-5(x-1)≥10，
∴6x-2-5x+5≥10，
∴x≥7，
∴不等式的最小整数解为7.
故答案为：7.
17．当 时，式子的值是非正数．
【答案】
【解析】由题意可得：≤0，
解得：，
∴ 当时，式子的值是非正数．
故答案为：.
18．若不等式的最小整数解是方程的解，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】 ，
，
，
，
，
不等式的最小整数解为12，
把代入方程 ，
得，
，
故答案为：1.
19．若不等式的解都能使不等式成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，
解得x≤3，
∵，
解得，
∵不等式的解都能使不等式成立，
∴，
解得a＞5，
故答案为：
20．已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为 ；
（2）若该不等式的负整数解有且只有三个，则的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）将代入不等式，得：，
解得：；
故答案为：；
（2）解不等式：，得：，
∵该不等式的负整数解有且只有三个，即为：，
∴，
解得：；
故答案为：．
21．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
去分母得x+5＞-2x-7，
移项得x+2x＞-7-5，
合并同类项得，3x＞-12，
系数化为1得x＞-4，
当m-6≠0时，
∵x＞-4能使不等式（m-6）x＜2m+1成立，
∴两边除以m-6时，不等号的方向要发生改变，
此时m-6＜0，即m＜6，
∴（m-6）x＜2m+1的解为，
∴，
∴2m+1≥-4m+24，
解得；
当m-6=0时，即m=6时，
（m-6）x＜2m+1变为0＜13成立，
此时x＞-4能使不等式（m-6）x＜2m+1成立，
综上m的取值范围为
故答案为：
22．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：解关于x的不等式A：1 3x＞0，得x＜，
解不等式B：，得x＜，
由题意得：，
解得：a=1；
（2）解：解不等式C：x＋1＞mn得：x＞mn 1，
不等式D：x 3＞m得：x＞m＋3，
∴mn 1＝m＋3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n 1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解：解不等式Q：得：x＞，
∵不等式P与不等式Q是同解不等式，
∴2a b＜0
解不等式P：（2a b）x＋3a 4b＜0得：x＞，
∴=
∴7a＝8b，
∵2a b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a 4b＝a 3.5a＝ 2.5a＞0，
∴（a 4b）x＋2a 3b＜0的解集为：x＜ ．
23．如图，在数轴上，点分别表示数，，且点在点的左侧．
（1）求的取值范围；
（2）若点表示的数是关于的不等式的解，求的整数解．
【答案】（1）解：∵数轴上点在点的左侧，
∴．解，得．
（2）∵不等式的解集为，
又∵点表示的数是关于的不等式的解，
∴．解，得．
又∵，∴．
又∵是整数，∴的值为0，1．
24．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y>0.
（1）求实数m的取值范围．
（2）在⑴的条件下，若不等式（2m+1）x-2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．
【答案】（1）解：
①+②得3x+3y=3+m，
∴x+y=.
∵x+y>0，
∴>0，
∴m>-3.
（2）解：∵(2m+1)x-2m＜1，
∴(2m+1)x＜2m+1.
∵不等式的解集为x>1，
∴2m+1<0，
∴m<-.
∵m>-3，
∴-3∴整数m的值为-2，-1.
【直击中考】
25．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
去分母得：1+4x＞3（x-1），
去括号的：1+4x＞3x-3，
移项，合并同类项得：x＞-4，
在数轴上表示解集，如下图：
故答案为：D.
26．不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1，
移项得：﹣4x＋2x≥1＋1，
合并得：﹣2x≥2，
解得：x≤﹣1，
数轴表示，如图所示：
故答案为：D．
27．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【解析】由题意得，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得且，
故答案为：A
28．不等式 的解为 .
【答案】y＜1
【解析】
去括号得：
不等号两边同减y得：
解得：y＜1.
故答案为：y＜1
29．若不等式 ＞﹣x﹣ 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 ≤m≤6
【解析】解不等式 ＞﹣x﹣ 得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0 x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞ ，
∵x＞﹣4都能使x＞ 成立，
∴﹣4≥ ，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥ ，
综上所述，m的取值范围是 ≤m≤6．
故答案为： ≤m≤6．
30．解不等式：
【答案】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得．
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