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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式
3.2 不等式的基本性质
【知识重点】
一、不等式的性质：
性质1：如果， ，那么.这个性质也叫做不等式的传递性.
性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，所得到的不等式仍成立.
，；
，.
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
， ，；
， ，.
二、不等式性质应用的两步骤
三、应用不等式的基本性质时有四点注意
1.利用基本性质1时，通常与数轴结合起来使用.
2.利用基本性质2时，①一定要同时加或同时减；②同时加上（或减去）的数或式子（整式）必须相等.
3. 利用基本性质3时，①一定要同时乘（或除以）一个相同的正数（或负数）；②同时乘（或除以）一个相同的正数，不等号的方向不变；③同时乘（或除以）一个相同的负数，不等号的方向必须改变.
4.不等式的两边都乘以0，不等号变等号.
【经典例题】
【例1】已知，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C．ab＞cb D．a+b＞c+b
【例3】下列不等式变形中，一定正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b
【例4】下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，，得 D．由，得
【例5】若3a＜2a，则a﹣1 0（填“＞”或“＜”）．
【例6】某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
【基础训练】
1．估计 的值在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
2．若，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．比较大小：
3（填“＞”、“＜”或“＝”）.
7．当 ， 时， 0(填“<”或“>”)．
8．下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
9．证明：若a＞b＞0，则an＞bn（n∈N，n≥1）．
10．现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变.
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较2a 与a 的大小(a≠0).
（2）利用性质②比较2a 与a 的大小(a≠0).
【培优训练】
11．若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知0 ≤ a－b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，则a的取值范围是( )
A．≤ a ≤ B．≤ a ≤ C．1≤ a ≤2 D．2≤ a ≤3
14．已知且，则下列各式中最小的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
17．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 .
18．若，且，，设，则t的取值范围为 .
19．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
20．判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，则＜．
21．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则.
反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1）【理解】若，则 （填“”、“”或“”）
（2）【运用】若，，试比较，的大小.
（3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板.方案二：用4块A型钢板，7块型钢板.每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小.方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小.
22．【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
23．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
24．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【直击中考】
25．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式（解析版）
3.2 不等式的基本性质
【知识重点】
一、不等式的性质：
性质1：如果， ，那么.这个性质也叫做不等式的传递性.
性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，所得到的不等式仍成立.
，；
，.
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
， ，；
， ，.
二、不等式性质应用的两步骤
三、应用不等式的基本性质时有四点注意
1.利用基本性质1时，通常与数轴结合起来使用.
2.利用基本性质2时，①一定要同时加或同时减；②同时加上（或减去）的数或式子（整式）必须相等.
3. 利用基本性质3时，①一定要同时乘（或除以）一个相同的正数（或负数）；②同时乘（或除以）一个相同的正数，不等号的方向不变；③同时乘（或除以）一个相同的负数，不等号的方向必须改变.
4.不等式的两边都乘以0，不等号变等号.
【经典例题】
【例1】已知，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵a＜b，
∴a+3＜b+3，故A不符合题意；
B、∵a＜b，
∴a-3＜b-3，故B符合题意；
C、∵a＜b，
∴-3a＞-3b，故C不符合题意；
D、∵a＜b，
∴，故D不符合题意；
故答案为：B
【例2】若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C．ab＞cb D．a+b＞c+b
【答案】C
【解析】由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
B、a+b＜c+b，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
C、ab＞bc，原不等式成立，故本选项符合题意；
D、a+b＜c+b，原不等式不成立，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【例3】下列不等式变形中，一定正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b
【答案】C
【解析】A、若ac＞bc，当c＞0时则a＞b ，故A不符合题意；
B、若a＞b，当c≠0时，则ac2＞bc2，故B不符合题意；
C、若ac2＞bc2，则a＞b，故C符合题意；
D、若a＞0，b＞0，且 ，
当a=，b=时
∴a＜b ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【例4】下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，，得 D．由，得
【答案】C
【解析】A、当c＜0时，才能得到n＞m.故A错误，不符合题意.
B、若m=-3，n=2，虽满足m2＞n2，但m＜n.故B错误，不符合题意.
C、正确，符合题意.
D、若m=2，n=-3，虽满足m＞n，但.故D错误，不符合题意.
【例5】若3a＜2a，则a﹣1 0（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】∵3a＜2a，
∴3a﹣2a＜0，
∴a＜0， ∴a﹣1＜0﹣1， ∴a﹣1＜﹣1， ∴a﹣1＜0.
故答案为：＜.
【例6】某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【基础训练】
1．估计 的值在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
2．若，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. ，故本选项不正确，不符合题意；
B. ，，故本选项不正确，不符合题意；
C. ，，故本选项正确，符合题意；
D. ，，故本选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
3．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，，，，
故A、C、D错误，B正确，
故答案为：B.
4．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、选项：，故A错误；
B、选项：，故B错误；
C、选项：当时，，故C错误；
D、选项：，则，故D正确；
故答案为：D.
5．下列命题错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】A、若a＞b，b＞c，则a＞c，故A不符合题意；
B、若a＞b，则-2a＜-2b，故B符合题意；
C、若a＞b，则a-5＞b-5，故C不符合题意；
D、若a＞b，则-2a＜-2b，
∴-2a+1＜-2b+1，故D不符合题意；
故答案为：B
6．比较大小：
3（填“＞”、“＜”或“＝”）.
【答案】＜
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：＜.
7．当 ， 时， 0(填“<”或“>”)．
【答案】>
【解析】∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．故答案为：>．
8．下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
【答案】②③
【解析】①若 ，则 ，故①不符合题意；
②若 ，则 ，故②符合题意；
③若 ， ， ，故③符合题意；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
9．证明：若a＞b＞0，则an＞bn（n∈N，n≥1）．
【答案】证明：∵a＞b＞0，n≥1，
∴an＞bn．
10．现有不等式的两个性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变.
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较2a 与a 的大小(a≠0).
（2）利用性质②比较2a 与a 的大小(a≠0).
【答案】（1）解：当a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a.
当a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
（2）解：当a＞0时，由2＞1，得2·a＞1·a，即2a＞a.
当a＜0时，由2＞1，得2·a＜1·a，即2a＜a.
【培优训练】
11．若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴，
则.
故答案为：A.
12．设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
13．已知0 ≤ a－b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，则a的取值范围是( )
A．≤ a ≤ B．≤ a ≤ C．1≤ a ≤2 D．2≤ a ≤3
【答案】B
【解析】∵ 0 ≤ a-b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，
∴1≤2a≤5，
∴.
故答案为：B.
14．已知且，则下列各式中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a>b>c且x>y>z，
∴a-b>0，x-y>0，y-z<0，a-c>0，x-y>0，b-c>0，
∵ax+by+cz-(ay+bx+cz)=ax+by+cz-ay-bx-cz=(x-y)(a-b)>0；
∴ax+by+cz>ay+bx+cz；
∵ay+bx+cz-(x+bx+cy)=ay+bx+cz-az-bx-cy=(y-z)(a-c)>0
∴ay+bx+cz>x+bx+cy；
∵a+bx+cy-(az+by+cx)=az+bx+cy-az-by-cx=(x-y)(b-c)>0
∴az+bx+cy>az+by+cx；
∴最小的是，
故答案为：D
15．已知，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、，
∵，∴，
当即时，，则，故A不符合题意；
B、，
∵，∴，，
∴，则，故B符合题意；
C、当时，和无意义，故C不符合题意；
D、当时，同选项A不一定成立，D不符合题意，
故答案为：B．
16．设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【解析】∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
17．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 .
【答案】x＞6
【解析】∵a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，
∴6﹣x＜0，
解得x＞6.
故答案为：x＞6.
18．若，且，，设，则t的取值范围为 .
【答案】-2≤t≤-1
【解析】 ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
:
:
:
:
:
:
∴t的取值范围是：-2≤t≤-1
故答案为：-2≤t≤-1.
19．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
【答案】（1）＜
（2）＞
【解析】（1），且，
，
.
故答案为：＜；
（2）
，
.
故答案为：＞.
20．判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，则＜．
【答案】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜．正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
21．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则.
反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1）【理解】若，则 （填“”、“”或“”）
（2）【运用】若，，试比较，的大小.
（3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板.方案二：用4块A型钢板，7块型钢板.每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小.方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小.
【答案】＞【运用】（2）若，，试比较，的大小.【答案】解：∵，又∵，∴，∴，∴；【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板.方案二：用4块A型钢板，7块型钢板.每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小.方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小.【答案】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，∵，又∵，∴，∴，∴.
（1）＞
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】（1）若，则，因此；
故答案为：；
22．【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【答案】解：∵x y= 3， ∴x=y 3.
又∵x< 1，∴y 3< 1，∴y<2.
又∵y>1，∴1同理得 2由①+②得1 2∴x+y的取值范围是 123．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
24．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
【直击中考】
25．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
26．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：a＜0＜b，且 ＜ ，
∴ ，故A选项的结论不成立；
，故B选项的结论不成立；
，故C选项的结论不成立；
，故D选项的结论成立.
故答案为：D.
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