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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式（解析版）
3.4一元一次不等式组
【知识重点】
一、一元一次不等式组：
（1）一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.
（2）组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解，当它们没有公共部分时，称这个不等式无解.
二、解一元一次不等式组：
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
三、解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）分别求出每个不等式的解；
（2）把它们的解表示在同一数轴上；
（3）取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
四、确定不等式组的解（若）：
不等式组 解集 图示 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小无解了
【经典例题】
【例1】解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．
【答案】（I）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）
【解析】 （I）∵x-4<1+2x，
∴x-2x<1+4，
∴-x<5，
∴x>-5.
（Ⅱ）∵4x+2≥5x，
∴4x-5x≥-2，
∴-x≥-2，
∴x≤2.
（Ⅳ）根据数轴可得不等式组的解集为-5
【例2】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 不等式组的解集为-3≤x＜1.
故答案为：C.
【例3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【例4】已知不等式组的解集为，则 ， ；
【答案】；
【解析】解不等式x-a<1，的x解不等式x-2b>3，得x>2b+3，
∴不等式组的解集为2b+3∵不等式组的解集为-1∴2b+3=-1，a+1=3，
∴a=2，b=-2.
故答案为：2，-2.
【例5】如果关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵关于x的不等式组，
∴由①得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴1＜m≤2，
故答案为：1＜m≤2.
【例6】将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有学生x人，则列出的不等式组为 ．
【答案】
【解析】设有学生x人，由题意得，
故答案为：
【例7】解不等式组：，并写出所有整数解．
【答案】解：
解：解不等式①，得：，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴所有整数解为：，，0，1．
【例8】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①得出：，
解不等式②得出：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示出来为：
【例9】解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①，系数化为1得，；
解不等式②，移项，合并同类项得，
系数化为1得，
故不等式组的解集为：．
在数轴上表示如下：
【例10】解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为，
解集表示在数轴上为：
【基础训练】
1．在数轴上表示不等式，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】”“实心圆点向右画线，”<“空心圆圈向左画线，
故在数轴上表示不等式 如下：
故答案为：B.
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解不等式3x>6，可得x>2，
∴不等式组的解集为x>2.
在数轴上表示如下：
故答案为：D.
3．不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【解析】由题意得，
解①得x≤1，
解②得x＜4，
∴不等式组的解集为，
故答案为：A
4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解不等式3x-4≥10得：x≥-2，
解不等式x-1＜0得：x＜1，
∴不等式组的解集为-2≤x＜1
故答案为：A.
5．不等式组的整数解是（ ）
A．－1，0，1 B．0，1 C．－2，0，1 D．－1，1
【答案】A
【解析】 ，
由①得，x＞-2，
由②得，x≤1.5，
∴不等式组的解集为-2＜x≤1.5，
∴不等式组的整数解为-1，0，1，
故答案为：A.
6．若关于的不等式组：无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式组：解①得：x＜3a+2，解②得：x＞a-2，
∵不等式组无解，
∴a-2≥3a+2，
∴a≤-2。
故答案为：B。
7．不等式组的整数解有 个．
【答案】3
【解析】解不等式1-2x<3，得x>-1；
解不等式3x-2≤5，得x≤，
∴不等式组的解集为-1∴不等式组的整数解为0、1、2，共有3个.
故答案为：3.
8．不等式组的解集是 ．
【答案】
【解析】
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为x＜2，
故答案为：x＜2.
9．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为，其非负整数解为：0，1，2．
10．解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式，得x≤3．
解不等式，得
所以不等式组的解集为，
它的所有整数解为2，3．
11．解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
12．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【培优训练】
13．为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出15只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．
A．55 B．85 C．65 D．75
【答案】D
【解析】设公羊共x只，则母羊共（5x+15）只，
根据题意得：
解得：＜x＜11，
∵x为正整数，
∴x=10，
∴这批羊共有x+5x+15=75只；
故答案为：D.
14．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解不等式①得：x＜2m，
解不等式②得：x＞1，
∵不等式组无解，
∴2m≤1，
解得：m≤，
故答案为：B.
15．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（ ）
①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则a的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】 ①若，则不等式组为，∴不等式组的解集为，①正确；②若不等式组无解，则a的取值范围为，②不正确；③若，则不等式组为，则不等式组无解，③正确；④若不等式组只有两个整数解，则这两个整数解是4和5，所以a的取值范围是 ，
④正确.
故答案为：①③④.
16．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
解不等式②得：x＞a+1，
∵不等式组的解集是，
∴a+1≤2，
解得：a≤1，
故答案为：a≤1.
17．如果关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
解①得：x＞a-3，
解②得：x≤7，
∵ 不等式组恰有2个整数解，
∴5≤a-3＜6，
解得：8≤a＜9，
故答案为：8≤a＜9.
18．关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】13
【解析】 分式方程 得：x=a-2，
∴a-2＞0，且a-2-3≠0，
∴a＞2，且a≠5，
解不等式组，
解①得：y≥5，解不等式②得：y＞，
∵不等式组的解集是y≥5，
∴，
∴a＜7，
∴2＜a＜7，且a≠5，
∴a的整数解为：3，4，6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ：3+4+6=13.
故第1空答案为：13.
19．计算程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是或否”为一次操作．如果操作共进行了3次，程序才停止，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得：第一次操作：2x+1，第二次操作：2(2x+1)+1，第三次操作：2[2(2x+1)+1]+1，
∵操作了三次，程序才停止，
∴
解得：，
故答案为：.
20．数学符号是数学语言中区别于本土语言的特有字符，它表示一定的含义.设数学符号表示大于的最小整数，如，，则下列结论：
①；②当是有理数时，成立；③可能为负值；④若满足不等式组，则的值为0.
其中正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【解析】①根据新定义， ，正确；
② 当是有理数时，成立 ，正确；
③由②知＞0，故错误，
④解不等式组，得-1≤x＜0，则=0，故正确；
∴正确的有①②④；
故答案为：①②④.
21．若关于x的不等式组有且只有2个负整数解，且关于x，y的方程组有整数解，则整数 ．
【答案】或
【解析】由题意得，
解得，
∵关于x的不等式组有且只有2个负整数解，
∴，
解得-8≤a＜-5，
解得，
∵关于x，y的方程组有整数解，
∴a+3=-3或-4，
∴或，
故答案为：或
22．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程 ，使它和不等式组为“友好方程”；
（2）若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
关于的方程的解为：，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴在范围内，
∴，
解得：；
（3）解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
∵此时不等式组有3个整数解，
∴，
解得：
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴在范围内，
∴，
解得：，
综上所述，．
【解析】（1）解不等式2x-2>x-1，
得x>1，
解不等式3(x-2)-x≤4，
得x≤5，
∴不等式组 的解集为：1∵x-3=0的解为x=3，且1<3<5，
∴x-3=0是不等式组的“友好方程”，
故答案为：x-3=0(答案不唯一).
23．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是 （填序号）；
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是 ；
（3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【答案】（1）②
（2）
（3）解：解不等式组得．
∵方程与都是关于x的不等式组的关联方程，
∴与都是关于x的不等式组的解，
由题意可得，解得．
∴m的取值范围是．
24．已知关于x，y的方程组的解满足，．
（1）解方程组；
（2）求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以方程组的解为：
（2）解：∵，，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴实数a的取值范围为：
25．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举行，这一届的吉祥物“蓉宝”是以大熊猫“芝麻”为原型设计，某公司生产的吉祥物摆件有445箱，蓉宝挂件有130箱．
（1）现计划租用A，B两种货车共15辆，一次性将物品送往仓库，已知A种货车可装摆件35箱和挂件10箱，B种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，A种货车每辆需运费860元，B种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费．
【答案】（1）解：设租用种货车辆，则租用种货车辆，
则，
解得，
∵现计划租用A，B两种货车共15辆，
∴
故有4种方案：种车分别为11，12，13，14辆，种车对应为4，3，2，1辆；
（2）解：设总费用为元，则
，
，随的增大而增大，
所以当时，即租用种货车11辆，种货车4辆，总运费最少，最少运费是12420元．
26．阅读材科：
如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．
例如，，，．
那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么的取值范围是 ；
（3）如果，求的取值范围．
【答案】（1）3；-6
（2）
（3）解：由题可得；，解得．
【解析】（1） 3，-6；
故答案为：3，-6；
（2） 如果，那么的取值范围是；
故答案为：；
27．在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5．
（1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是 ；
（2）求关于x的不等式组的解集；
（3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围．
【答案】（1）3
（2）解：解不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1，
解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1，
则不等式组的解集为m﹣1≤x＜m+1；
（3）解：∵关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，
∴m﹣1＞5或m+1≤2，
解得：m＞6或m≤1．
【解析】（1） 点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是5-2=3；
故答案为：3.
【直击中考】
28．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，
解①得x≥-1，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为，
故答案为：D
29．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解不等式2x-2>0，得x>1；
解不等式x+1≤4，得x≤3，
∴不等式组的解集为1故答案为：B.
30．若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
由①得：；
由②得：x≤4+a，
∵不等式组有三个整数解为-1，0，1，
∴1≤4+a＜2
解之：-3≤a＜-2.
故答案为：-3≤a＜-2.
31．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
32．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第3章一元一次不等式
3.4一元一次不等式组
【知识重点】
一、一元一次不等式组：
（1）一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.
（2）组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解，当它们没有公共部分时，称这个不等式无解.
二、解一元一次不等式组：
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
三、解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）分别求出每个不等式的解；
（2）把它们的解表示在同一数轴上；
（3）取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
四、确定不等式组的解（若）：
不等式组 解集 图示 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小无解了
【经典例题】
【例1】解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．
【例2】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例4】已知不等式组的解集为，则 ， ；
【例5】如果关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围是 ．
【例6】将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有学生x人，则列出的不等式组为 ．
【例7】解不等式组：，并写出所有整数解．
【例8】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【例9】解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
【例10】解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【基础训练】
1．在数轴上表示不等式，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．不等式组的整数解是（ ）
A．－1，0，1 B．0，1 C．－2，0，1 D．－1，1
6．若关于的不等式组：无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的整数解有 个．
8．不等式组的解集是 ．
9．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
10．解不等式组并写出它的所有整数解．
11．解不等式组：
12．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【培优训练】
13．为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出15只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．
A．55 B．85 C．65 D．75
14．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（ ）
①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则a的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
16．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ．
17．如果关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 ．
18．关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
19．计算程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是或否”为一次操作．如果操作共进行了3次，程序才停止，那么x的取值范围是 ．
20．数学符号是数学语言中区别于本土语言的特有字符，它表示一定的含义.设数学符号表示大于的最小整数，如，，则下列结论：
①；②当是有理数时，成立；③可能为负值；④若满足不等式组，则的值为0.
其中正确结论的序号为 .
21．若关于x的不等式组有且只有2个负整数解，且关于x，y的方程组有整数解，则整数 ．
22．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程 ，使它和不等式组为“友好方程”；
（2）若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
23．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是 （填序号）；
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是 ；
（3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
24．已知关于x，y的方程组的解满足，．
（1）解方程组；
（2）求实数a的取值范围．
25．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举行，这一届的吉祥物“蓉宝”是以大熊猫“芝麻”为原型设计，某公司生产的吉祥物摆件有445箱，蓉宝挂件有130箱．
（1）现计划租用A，B两种货车共15辆，一次性将物品送往仓库，已知A种货车可装摆件35箱和挂件10箱，B种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，A种货车每辆需运费860元，B种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费．
26．阅读材科：
如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．
例如，，，．
那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么的取值范围是 ；
（3）如果，求的取值范围．
27．在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5．
（1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是 ；
（2）求关于x的不等式组的解集；
（3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围．
【直击中考】
28．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
29．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
31．解不等式组：．
32．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
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