浙教版八年级上全等模型专题2——一线三等角（K字）模型（含解析）

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全等模型专题2——一线三等角（K字）模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
【模型解读】
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：+ CE=DE
证明思路：+任一边相等
例1．（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
例2．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
例3．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
例4．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：+ 任意一边相等
证明思路：+任一边相等
例1．老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．
例2．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．
（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．
（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）
例3．过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．
（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
课后专项训练
1．如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（ ）．
A．或 B． C．或 D．
第1题图 第2题图
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
3．如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长．
4．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
5．在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图2，取的中点，连接，证明．从而得到．请你参考小明的方法解决下列问题．
（1）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立；（2）如图4，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

6．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
7．如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由；
(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．
8．【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
10．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
11．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．
（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
12．（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌．
（2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离．
13．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）。（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

15．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
八年级全等模型专题2——一线三等角（K字）模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
【模型解读】
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：+ CE=DE
证明思路：+任一边相等
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）根据可证明，可得，可得．
（2）由已知条件可知，，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论．
【详解】证明：（1）如图1，
∵直线m，直线m，∴，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，∴，
∴，∴；
（2）如图2，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到是解题的关键．
例2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．
【详解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝BC h＝12，S△ABF＝BF h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
例3．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解】（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9，
解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s），
故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分
类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
例4．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0）
【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，
∴MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，
∵点N的坐标为（4，2）∴解得∴点M的坐标为（1，3）；
（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，
∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），
设直线PR为y＝kx+b，则，解得．∴直线PR为y＝x+4．
由y＝0得，x＝，∴R（，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：+ 任意一边相等
证明思路：+任一边相等
例1．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．
【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BH⊥AE于点H，证明见详解；
【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本题；
【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作BH⊥AE于H，则△ADF≌△BAH；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAB=90°，∴∠HAB+∠FAD=90°，
∵DF⊥AE，BH⊥AE，∴∠DFA=∠AHB=90°，
∴∠HAB+∠HBA=90°，∴∠FAD=∠HBA，
在△ADF和△BAH中 ∴△ADF≌△BAH(AAS)；
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答；
例2．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．
（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．
（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）
【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5
【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF；
（3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解．
【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．
∵DC＝CE DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5 1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；
（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．
∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．
∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．
（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴
∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积，
∵，△ABD与△ACD的高相同则=5
故与的面积之和为5故答案为：5．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
例3．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．

（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可．
【详解】（1），证明：
四边形是正方形，
又， ∴
在和中
，
（2），理由是：四边形是正方形 ，
又， ∴
在和中
， ∴EF=AF-AE=BE-DF
（3），理由是：
四边形是正方形，
又， ∴
在和中
， EF=AE-AF=DF-BE
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明是关键．
课后专项训练
1．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（ ）．
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【分析】分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可．
【详解】解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图1，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，∴P(5，5)；
当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，∴P（3，1），
综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
3．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出∠DAC=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，∴．
∵，∴，∴，
∴．∴
（2）解：∵，∴，．∵，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD≌△CBE是解本题的关键．
4．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．
【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6 AE＝12，∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD BF＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5.在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图2，取的中点，连接，证明．从而得到．请你参考小明的方法解决下列问题．
（1）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立；（2）如图4，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）正确，见解析；（2）正确，见解析
【分析】（1）在AB上取点，连接，证明△PAE≌△CEF即可；
（2）延长BA至，使=CE，连接，证明△ANE≌△ECF即可．
【详解】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
四边形是正方形，
∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．
（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN=CE，连接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE=EF．
【点睛】本题考查的是构造三角形全等证明线段的相等，同时考查了正方形的性质，掌握构造全等三角形是解题关键．
6.平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7.如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由；
(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．
【答案】(1)证明见解析；(2)，证明过程见解析；(3)，证明过程见解析
【分析】(1)先证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，进而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；
(2)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；
(3)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=DC-CE=BE-AD即可．
【详解】解：(1)证明：在中，∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，，∴，∴，，
∵直线经过点，∴；
(2)，，的等量关系为：，理由如下：
∵于，于∴，
∴，，∴，
在和中，∴
∴，，∴；
(3)当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是，理由如下：
∵于，于∴，
∴，，∴，
在和中，∴
∴，，∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．
8．（2023春·浙江·八年级期中）【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【分析】（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在和中，，∴≌，∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在中，∠C=90°，∴∠EDC+∠DEC= 90°，∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵≌，，，，∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴，
又∵，
∴，∴，∴；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，∴BE=1，OA=2，OE=4，∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，∴≌，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，∴OF=OA－AF=1，∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，∴≌，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，∴EF=3，∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，∴≌，∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，∴，
∴，，∴点C坐标为，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②或
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作于，于，证明，，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；②过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）解：∵，∴，
在和中，，∴，
∴，．故答案为：；．
（2）①证明：如图，作于，于，
∵，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，∴，∴，∴点是的中点；
②解：如图，和是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，，
由（1）可知，，∴，，
∵点的坐标为，∴，，
又∵，∴，
解得：，，∴点的坐标为，
∵，，，由（1）可知，，
∴，，∴点的坐标为．
综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10.通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到；
[模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】[模型呈现]证明：∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，∴；
[模型应用]解：由[模型呈现]可知，，
∴，
则，
故答案为：50；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q，
由[模型呈现]可知，，
∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故答案为：63．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键．
11.在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．
（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见解析；（2）图②：；图③：
【分析】（1）过点作交的延长线于点．证明，根据全等三角形的性质可得，．再证，由此即可证得结论；（2）图②：，类比（1）中的方法证明即可；图③：，类比（1）中的方法证明即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．∵，∴，．
∵，∴．∴．
在和中，∴．∴，．
∵，，∴．
∴．∴．
∵，，∴．
在和中，∴．∴．
∵，∴．
（2）图②：．证明：过点作交于点．
∴．∵，∴，．
∵，∴．∴．
在和中，∴．∴，．
∵，，∴．∴，
∵∴．∴．
∵，，∴．
在和中，∴．∴．
∵，∴．
图③：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
∴．∵，∴，．
∵，∴．∴．
在和中，∴．∴，．
∵，，∴．∴．∴．
∵，，∴．
在和中，∴．∴．
∵，∴．
【点睛】本题是全等三角形的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
12.（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌．
（2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离．
【答案】（1）见解析；（2），，，；（3）8
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明即可；（2）分四种情况，由（1）的结论并结合等腰直角三角形的性质即可证明；（3）过点作轴于点，过点作于点，由（1）的结论和等腰直角三角形的性质即可证明．
【详解】解：（1）为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，即，≌；
（2）分四种情况讨论：当点为直角顶点时，且点在左侧时，如图，过点作轴于点．
为等腰直角三角形，由（1）可知：≌，
，，，，
，，，；
其余三种情况如图所示，
同理可求得：，，；
（3）过点作轴于点，过点作于点，如图，
为等腰直角三角形，由（1）可知：≌，
，，，
点在直线上运动，当点在点时，点的坐标是，
当点在点时，点的坐标是，点运动的距离是．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．
13.已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论;
（2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论．
【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF，
证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°，
∵∠BCA = 90°,
∴∠BCE＋∠ACF= 90°,
∵∠BCE＋∠CBE =90°，
∴∠ACF = ∠CBE，
∵AC = BC,
∴△BCE≌△CAF,
∴BE =CF,CE = AF,
∵CF =CE＋EF,
∴EF= CF -CE=BE-AF；
②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180°
当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立;
理由是：如题图2，
∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°,
又∵
∴∠CBE= ∠ACF,
在△BCE和△CAF中
∴△BCE≌△CAF (AAS),
∴BE =CF,CE = AF，
∴EF= CF-CE= BE -AF;
故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ；
（2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下
∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA,
又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° ,
∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF
∴∠EBC = ∠ACF，
在△BEC和△CFA中
∴△ABE≌△CFA(AAS)
∴AF = CE，BE = CF
∵EF= CE+CF,
∴EF= BE＋AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）。（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），小；（2）2，理由见解析；（3）或80°
【分析】（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得，，进而可得∠EDC，∠DEC，根据题意，可得当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA逐渐变小；
（2）由（1）可得，，只要,即可证明，进而可得；
（3）根据题意，分为顶角和底角两种情况讨论，进而计算的度数．
【详解】（1），，
，
，
，
，
，，
当∠BDA＝105°时，
∠EDC＝，
∠DEC＝；
当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，,则∠BDA逐渐变小，
故答案为：，小；
（2），，
当时，
（AAS），
，
（3）△ADE的形状可以是等腰三角形，或，
，
，
①当时，，
，
；
②当时，，
，
，
③当时，，
，
此时点与点重合，
由题意可知点D不与点B、C重合，
此种情况不存在，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键．
15.如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）
【分析】（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标；
（2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C；③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，分别求解，即可；
（3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），∴OB＝2，OC＝6，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，
∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），∴CD＝OB＝2，∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，∴点A的坐标（8，6）；
（2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C，∴△OAC△OP1C，∴P1（8，-6）；
②∵点O，C关于直线x=3对称，∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C，
∴△OAC△CP2O，∴P2（-2，6）；
③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，
∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，∴P3（-2，-6），
综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵AD⊥x轴，∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，
则OQ2=OA=10，∴Q2（10，0）；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，
则OQ3=OA=10，∴Q2（-10，0），
综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键．
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