浙教版八年级上全等模型专题3——手拉手模型（含解析）

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全等模型专题3——手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（三角形）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
【常见模型及证法】
（等边）
（等腰直角）
（等腰）
例1．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．(1)当时， °；(2)当时， °；(3)若，，，则OA的长为 ．
例2已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
例3．如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长．
例4．在正方形中，点是边上的中点，连接，．
(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；
(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；
(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．
例5．综合与实践：已知是等腰三角形，．
（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到△CAE，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．
例6．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
模型2.手拉手模型（正多边形型）
【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】
如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.
例1．边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．
例2．（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
例3．如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是________,在如图中证明你的猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？
例4．如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．
课后专项训练
1．如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图
2．如图，在中，，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．
4．△ABC中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．
(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．
5．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
6．(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是 ，与延长线的夹角 ；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为 ．
7．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
8．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
9．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 　 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
10．（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．
11．【问题背景】如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成其证明．
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面积为5.5，求PC．
12．问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；
（1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为____ ；②求证: ；（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长．
13．综合与实践：
【问题情景】综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
(1)如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论．
(2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程．
【类比探究】(3)如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
14．【问题发现】（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为 ．
15．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
16．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ；
（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；
（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．
八年级全等模型专题3—— 手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（三角形）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
【常见模型及证法】
（等边）
（等腰直角）
（等腰）
例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．(1)当时， °；(2)当时， °；(3)若，，，则OA的长为 ．
【答案】(1)40； (2)60；(3)
【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；
（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=，证得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．
【详解】（1）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=40°，故答案为：40；
（2）∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案为：60；
（3）解：当，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．
∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，
又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形，∴,故答案为：．
【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
例2．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；
（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，
∵N为CD中点，∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，
∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA (SAS)，∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；
（3）解： ∵△ABD是等边三角形，∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，
∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，∴，，∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM (AAS)，∴AM=HM，
∴
∵，，∴．故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或．
【分析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
（1）证明：，，即．
和是等腰直角三角形，，(SAS) ．
（2）解：①证明：如图，连接．
，，即．
和是等腰直角三角形，，
，，．
是等腰直角三角形，，．
②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3，∴．
当点N在线段上时，如图，连接，设，
由(1)可知．∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得：（舍去）∴；
当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)①可知．
∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得： （舍去）∴
综上所述：的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
例4．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在正方形中，点是边上的中点，连接，．

(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；
(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；
(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用证明得，从而求出，由此即可求出的面积．（2）过点作交于点，连接，利用一线三直角模型可得（），从而可得：，再证明可得为等腰直角三角形，，进而得出结论；（3）由已知可得：是等腰直角三角形，进而可得，，即当E点在AM上时，最小，再由三角形全都转换线段关系得到，由勾股定理求出即可解题．
【详解】（1）解：∵；∴；
∵四边形是正方形；∴，；
∵点是的中点，；∴；
∵；
∴；∴；∴；
∴；
（2）证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．

∵；∴∴；
∵；∴；∴，；
∵点是的中点，；∴，：
∴；∴；∴，；
∴；∴；∴；
（3）解：∵，，∴是等腰直角三角形，，
又∵点是的中点，∴，∴，
∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点，
同理（1）可得：；∴；，，
∴，
又∵∴，
又∵，∴，∴，
∴，
在中，，，
∴，解得：，∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题（3）的关键在于能够证明．
例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知是等腰三角形，．
（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．
【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．
【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△APB≌△AEC，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC是直角三角形，在简单计算即可．
【详解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案为：=；
（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；
（3）如图，
将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，∴△APB≌△AEC，
∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，
在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，
在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，
∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，
又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．
例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析 (2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴．
∵，，∴．∵，∴，
∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
模型2.手拉手模型（正多边形型）
【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】
如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．
（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．
【答案】（1）见解析；（2）48；（3）
【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接，设交于点，交于点，先证明，由勾股定理可得；（3）作于点，则，且，由含30度角的直角三角形的性质求解．
【详解】（1）四边形与为正方形，，，
，，，
在和中， (SAS)，
（2）连接，设交于点，交于点，
，，，
在△和中，，
，，
，
由勾股定理得，，
，
，，，，
(3)作于点，如图，
△为等腰直角三角形，，且，
在中，，，，
．．
【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．
例2．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由见解析；
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
（2）利用正方形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
【详解】（1）如图1所示：
和都是等边三角形，，
，即，
在和中，，．
（2），四边形和均为正方形，
，，，
，
在和中，，，
例3．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是________,在如图中证明你的猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？
【答案】(1) BE=CD （2）线段BE与CD的大小关系不会改变 （3）AE＝CG，证明见解析 （4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.
【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．
【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变；
（3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．
（4）这些结论可以推广到任意正多边形．
如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．
【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．
例4．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．
【答案】①见解析；②60°；③90°；④108°
【分析】①根据等边三角形的性质可以得出△ABE≌△ADC．
②③④根据△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根据三角形内角和可得∠BOD=∠BAD，从而求解．
【详解】解：①证明：如图，
∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．
在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；
②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；
③如图， 四边形和四边形是正方形，
，，，，
，即，
在和中，，，，
∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；
④如图，五边形和五边形是正五边形，
，，，
，，，
在和中，，，，
∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是关键．
课后专项训练
1．（2022·浙江·温州一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，依据勾股定理即可求得DF的长，再根据全等三角形的对应边相等得到FQ=DP，进而证明
△FQM≌△DPM，得到M是FD的中点，由此可得DM=DF．
【详解】如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，
∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，
又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，
∴CNCD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN，
Rt△DFN中，DF．
∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，
又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），
∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，
又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），
∴FM＝DM，即M是FD的中点，
∴DMDF．故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造全等三角形，灵活运用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
2．（2022·广东茂名·二模）如图，在中，，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________．
【答案】
【分析】过点作于点，在上取点，使，连接，先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据垂线段最短可得当时，的长度最小，在中，解直角三角形即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，在上取点，使，连接，
，，
，是等腰直角三角形，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，，，
在和中，，，，
如图，由垂线段最短可知，当时，的长度最小，
在中，，
即线段长度的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
3．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【解析】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；
(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
4．（2023春·八年级单元测试）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．
(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意证明，得出，，，勾股定理即可得证；（2）在的延长线上取点，使，由同理得，设，根据勾股定理得出，作于，得出是等腰直角三角形，分别求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，
在和中，，
，，，
，，
，；
（2）在的延长线上取点，使
，由同理得，，
，设，∴
作于，，是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．（2022·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)， ∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.
6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）
(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是 ，与延长线的夹角 ；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为 ．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）证明≌即可．
（2）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转， 连接、，证明≌，再为直角三角形，用勾股定理即可．
（3）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转， 连接、，延长交于，再证明，用勾股定理即可求解．
【详解】（1）与的数量关系：，
证明：，
，，
在和中，
≌，，
故与的数量关系：；，
≌，，即：，
在中：
．故．
（2）
结论：，
证明：如图，将绕点顺时针旋转，连接、，
，，是等边三角形，，
， ，，
在和中，
≌，，，
，，
，
，
在中，．
（3）
解：如图，将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，
，，是等腰直角三角形，
，，，
，，
，，
在和中，
≌，
，，
，
，，
设，，则有，，
在中，，
在中，，
由①②解得，，
在中，故的长为．
【点睛】本题考查了三角形全等及性质、勾股定理在旋转中典型模型“手拉手”的综合应用，掌握典型模型的解决方法是解题的关键．
7．（2023春·广东汕头·九年级校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出；
（2）由得：，再根据，，得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
（3）∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
9．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 　 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)
【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，
∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，
∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
(2)设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，
∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，
∴AB是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE，
由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝，
∴BH＝HE＝1，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，
∴CE＝AE＝；
(3)
如图4，当点E在BC上方时，
过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，
∴A、E、D三点共线，
∴AG＝，
∴AD＝AG+DG＝，
∴CE＝AD＝+1；
如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．
综上：CE＝+1或﹣1．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
10．（2022·河南焦作·二模）（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．
（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．
【答案】（1）CF⊥BD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析
（3）或
【分析】（1）延长CF到点M，使得FM=CF，连接AM．证，得，，所以，推出∠MAC=∠DCB=90°，再（SAS），得，，继而得到，则，故有结论CG⊥BD，BD=2CF．
（2）延长CF至M使则，连接AM，延长BC到N，先证明，得，，再证明，得，，从而得证，得到，即可得出（1）中的结论：，BD=2CF．
（3）分两种情形：如图3中，当点E在线段BD上时，如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长CF至M使，则，连接AM，
∵F是AE的中点，，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：CG⊥BD，BD=2CF．
（2）证明：（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，延长CF至M，使，则，连接AM，延长BC到N，
∵F是AE的中点，，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（1）中的结论：，BD=2CF仍然成立
（3）如图3中，当点E在线段BD上时，
延长CF至M使则，连接AM，
在Rt△DCE中，CD=CE=2，
∴DE=，
∵CG⊥DE，CD=CE，
∴CG平分DE，
∵∠DCE=90°，
∴DG=CG=DE=，
在Rt△CGB中，CB=6，CG=，
∴BG=，
∴BD=BG+DG=+，
由（2）知BD=2CF，
∴ CF=BD=；
如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，
延长CF至M使则，连接AM，
在Rt△DCE中，CD=CE=2，
∴DE=，
∵CG⊥DE，CD=CE，
∴CG平分DE，
∵∠DCE=90°，
∴DG=CG=DE=，
在Rt△CGB中，CB=6，CG=，
∴BG=，
∴BD=BG-DG=-，
由（2）知BD=2CF，
∴ CF=BD=；
综上所述，满足条件的CF的值为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转综合题目，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（2022·重庆市九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成其证明．
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面积为5.5，求PC．
【答案】（1）【问题背景】见解析；（2）【迁移应用】
【分析】（1）【问题背景】将△PAB绕点A逆时针旋转60°得到△DAC，连接PD，由旋转及等边三角形的性质可得∠PDC=90゜，由勾股定理即可解决；
（2）【迁移应用】过B作BM⊥PB交PC的延长线于点M，连接AM，则易得△PBC≌△MBA，由全等三角形的性质易得∠AMP=90゜，再由面积条件即可求得PC的长．
【详解】（1）【问题背景】将△PAB绕点A逆时针旋转60°得到△DAC，连接PD，如图所示
由旋转的性质得：AD=PA，CD=PB，∠PAD=60゜，∠ADC=∠APB=30゜
∵AD=PA，∠PAD=60゜
∴△PAD是等边三角形
∴PD=PA，∠PDA=60゜
∴∠PDC=∠PDA+∠ADC=60゜+30゜=90゜
在Rt△PDC中，由勾股定理得：
∴
（2）【迁移应用】过B作BM⊥PB交PC的延长线于点M，连接AM，如图所示
则∠PBM=∠ABC=90゜
∴∠PBC+∠CBM=∠CBM+∠MBA
∴∠PBC=∠MBA
∵∠PBM =90゜，∠BPC=45゜
∴∠BMP=∠BPC=45゜
∴PB=MB
在△PBC和△MBA中
∴△PBC≌△MBA(SAS)
∴∠BMA=∠BPC=45゜，PC=AM
∴∠AMP=∠BMP+∠BMA=45゜+45゜=90゜
∵
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，根据条件作图形的旋转或构造三角形全等是解决问题的关键与难点．
12．（2023·四川达州·八年级统考期末）问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；
（1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．
①则线段，，之间满足的等量关系式为_____；
②求证: ；
（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1）①BC =CE+CD；②见解析；（2）AD＝6．
【分析】（1）①根据题中示例方法，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，从而得出BC=CE+CD；
②根据△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，从而得到∠BCE＝90°，则有DE2＝CE2+CD2，再根据可得结论；
（2）过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，可证明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根据CD的长求出DG的长，再由DG和AD的关系求出AD.
【详解】解：（1）①如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴ BC=BD+CD=CE+CD，
故答案为：BC=BD+CD=CE+CD．
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
∴DE2＝CE2+CD2，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴，
∴2AD2＝BD2+CD2；
（3）如图3，
过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，
则△DAG是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠GDC＝90°，
同理得：△BAD≌△CAG，
∴CG＝BD＝13，
在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，
，
∵△DAG是等腰直角三角形，
∴，
∴AD＝＝6．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
(1)如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论．
(2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程．
【类比探究】
(3)如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)，过程见解析
(3)
【分析】（1）通过判定证明全等即可；
（2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可；
（3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可．
【详解】（1）证明：与均为等边三角形
又
在与中
，
（2）证明：由（1）可知 ，，
在等边中，由可得
则，
在中，
，
由勾股定理可得：
（3）连接，
，
在与中
，
【点睛】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解．
14．（2023·河南洛阳·八年级校考阶段练习）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2022·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析(2)∠ACB＝45°
【分析】（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
（1）①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中，
∵∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD ；故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
15．（2022·福建福州·九年级校考期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．
（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ；
（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；
（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．
【答案】（1），；（2）7.5；（3）或
【分析】（1）利用正方形的性质证明即可证得结论；
（2）连接，，，，，设交于点．利用勾股定理求出，，由推出当点F，A，K在同一直线上时，点到的最大距离，由此可得结论；
（3）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于．利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：（1），，理由如下：
如图1中，设交于点，交于点．
四边形、四边形都是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）如图1中，连接，，，，，设交于点．
四边形、四边形都是正方形，
，，，，
，，
，
，
当点F，A，K在同一直线上时，点到的最大距离，
的面积的最大值为；
（3）如图中，当，，共线时，连接交于．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
如图中，当，，共线时，连接交于．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，；
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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