：相似三角形期末总复习学案（二）
位似的应用：
例4
（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）21世纪教育网版权所有
A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）
(2).如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原点为位似中心,△ABC缩小，位似比为1:2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________
练一练：
1.△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是_____________________________________
2.如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的
顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为12；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.
2·1·c·n·j·y
相似多边形的应用
例5.
(1)已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．21·cn·jy·com
（2）试判断如图所示的两个矩形是否相似.
练一练：
已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形
的周长为( )A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
2.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出
的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，
那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
已知五边形错误！未找到引用源。ABCDE∽五边形错误！未找到引用源。，
相似三角形的综合应用
例6.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，错误！未找到引用源。连结EF错误！未找到引用源。并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
练一练：
1.已知：如图,D是AC上一点，，错误！未找到引用源。AE分别交BD,BC于点F,G,∠1=∠2，探索线段BF,FG,EF之间的关系，并说明理由.
【来源：21·世纪·教育·网】
例7.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.21cnjy.com
原题：如图①，在ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若求的值错误！未找到引用源。
（1）尝试探究
在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是____________错误！未找到引用源。
（2）类比延伸
如图②，在原题的条件下，若(m＞0）,则的值是错误！未找到引用源。 (用含m的代数式表示），试写出解答过程.www.21-cn-jy.com
（3）拓展迁移
如图③，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若错误！未找到引用源。, (a＞0，b＞0)，则的错误！未找到引用源。值是 (用含a、b的代数式表示）.21·世纪*教育网
练一练：
1.如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．21教育网
（1）求证：
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
2.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值
：相似三角形期末总复习学案（二）答案
位似的应用：
例4
（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）21·cn·jy·com
A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）
思路分析：根据以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应应乘以-2，即可得出点A′的坐标．www.21-cn-jy.com
解：根据以原点O为位中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应应乘以-2， 故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（-2，-4）， 故选：C．21教育网
(2).如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原点为位似中心,△ABC缩小，位似比为1:2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________
思路分析：∵ A（2，2），C（6，4），∴ 其中点坐标错误！未找到引用源。为（4，3），又以原点为位似中心，【来源：21·世纪·教育·网】
将△错误！未找到引用源。ABC缩小，位似比为错误！未找到引用源。，∴ 线段错误！未找到引用源。的中点错误！未找到引用源。变换后对应点的坐标为错误！未找到引用源。或21·世纪*教育网
错误！未找到引用源。
练一练：
1.△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是
2.如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的
顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为12；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.
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解：（1）如图.
（2）四边形的周长=4+
相似多边形的应用
例5.
(1)已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG． 21*cnjy*com
思路分析：通过观察可以知道四边形AFEG错误！未找到引用源。是正方形，AE：EC错误！未找到引用源。的值与错误！未找到引用源。的值相等，【来源：21cnj*y.co*m】
从而可以求出错误！未找到引用源。的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形AFEG
错误！未找到引用源。的面积.
解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.
∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1=∠2=45°,∴EF=AF 错误！未找到引用源。.
又∵，∴ 四边形AFEG是正方形，
∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，
∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）.
在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.
又AB=6错误！未找到引用源。,∴ AF=4错误！未找到引用源。.∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，21cnjy.com
∴ .
（2）试判断如图所示的两个矩形是否相似.
思路分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是
直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.
解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，于是两个矩形的长之比为=,宽之比为,
符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.
练一练：
已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形
的周长为( A )A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
2.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出
的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，
那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ D ）
已知五边形错误！未找到引用源。ABCDE∽五边形错误！未找到引用源。，
相似三角形的综合应用
例6.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，错误！未找到引用源。连结EF错误！未找到引用源。并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，，AB=AD=CD错误！未找到引用源。.
∵ ∴
∴ ，∴.
（2）解：∵AB=4,AE=2 错误！未找到引用源。∴ ，
由(1)得，∴ ，
∴ .
由AB//BG，得，∴ △错误！未找到引用源。∽△错误！未找到引用源。，
∴ ，∴ .
练一练：
1.已知：如图,D是AC上一点，，错误！未找到引用源。AE分别交BD,BC于点F,G,∠1=∠2，探索线段BF,FG,EF之间的关系，并说明理由.
2-1-c-n-j-y
解：错误！未找到引用源。. 理由如下：∵ ，
错误！未找到引用源。又∵ 错误！未找到引用源。∴ △错误！未找到引用源。FG∽△错误！未找到引用源。FB，∴ ，即错误！未找到引用源。【出处：21教育名师】
【版权所有：21教育】
证明：（1）∵错误！未找到引用源。B=AC，∴ ．
（2）由△错误！未找到引用源。∽△BDE，得．∴ ．
由△错误！未找到引用源。EF∽△BDE，得错误！未找到引用源。．
又∵ ∠错误！未找到引用源。DF=∠错误！未找到引用源。DF，∴ △错误！未找到引用源。DE∽△错误！未找到引用源。DF．21教育名师原创作品
∴ ． ∴ ． ∴ ．
例7.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.21*cnjy*com
原题：如图①，在ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若求的值错误！未找到引用源。
（1）尝试探究
在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是____________错误！未找到引用源。
（2）类比延伸
如图②，在原题的条件下，若(m＞0）,则的值是错误！未找到引用源。 (用含m的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图③，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若错误！未找到引用源。, (a＞0，b＞0)，则的错误！未找到引用源。值是 (用含a、b的代数式表示）.
分析：（1）∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.
∴ ,∴ AB=3EH.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.
又EH∥AB，∴ EH∥CD.
∴ △BEH∽△BCG,∴错误！未找到引用源。即CG＝2EH.∴
（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可证AB＝mEH，CG＝2EH，从而2·1·c·n·j·y
（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF，
∴ ∴ EH
练一练：
1.如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．21世纪教育网版权所有
（1）求证：
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
解答（1）证明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴．
（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，
∴，即，∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x．
S矩形EFPQ=EF?EQ=x?（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+5，
∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．
2.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值
解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；
：相似三角形期末总复习配套练习（二）
一．选择题
1..如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF=2∶3，则下列结论不正确
的是（ ）
A. 四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B. AD与AE的比是2∶3
C. 四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D. 四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之
比等于它们的相似比；③在与中，，那么
；④已知及位似中心，能够作一个且只能作一个三角形，使位
似比为．其中真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列多边形一定相似的为（ ）
A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
4.如图3个图形中是位似图形的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
6.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请
在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB
的位似比为________
7.以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍. 如果四边形ABCD的坐标
A（2，3），B（4，0），C（6，0），D（5，5）那么它们的对应点的坐标是
8.如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD＝AE，则AB∶AD＝
9．如图，若两个多边形相似，则x＝
10.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是_______21世纪教育网版权所有
三．解答题
11.请作出五边形ABCDE以点O为位似中心的位似图形，使得像和原图形的位似比是1：2
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．21教育网
13.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA；????? （2）求线段OM的长度．21cnjy.com
14.己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF； （2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形．2·1·c·n·j·y
15.如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧． （1）AE和ED的数量关系为 ；【来源：21·世纪·教育·网】
AE和ED的位置关系为 ； （2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3． ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD． ②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．21·cn·jy·com
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．www.21-cn-jy.com
17.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．21·世纪*教育网
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．
18.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．
第四章：相似三角形期末总复习配套练习（二）答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
答案
B
C
C
D
A
三．解答题
11.如图所示：
12.解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． ∴AM=12-t，AN=2t ∵∠AMN=∠ANM ∴AM=AN，从而12-t=2t 解得：t=4?秒， ∴当t为4时，∠AMN=∠ANM． （2）如图，作NH⊥AC于H， ∴∠NHA=∠C=90°， ∴NH∥BC ∴△NHA∽△ABC ∴， 即：, ∴NH=t, 从而有S△AMN=（12-t）?t=-t2+t， ∴当t=6时，S最大值=．
13.（1）证明：∵A与C关于直线MN对称， ∴AC⊥MN， ∴∠COM=90°． 在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴∠COM=∠B， 又∵∠ACB=∠ACB， ∴△COM∽△CBA； （2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8， ∴AC=10， ∴OC=5， ∵△COM∽△CBA， ∴， ∴OM=．21世纪教育网版权所有
14.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADF， ∵∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF， 即：∠BAE=∠DAF， ∴△BAE≌△DAF ∴BE=DF； （2）∵， ∴ ∴FG∥BC ∴∠DGF=∠DBC=∠BDC ∴DF=GF ∴BE=GF ∴四边形BEFG是平行四边形．21cnjy.com
15.解：（1）∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形， ∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE， ∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．故答案为：AE=ED，AE⊥ED； （2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC， ∵△EGF与△EAB的相似比1：2， ∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，∴∠GFE=∠C，∴EH=HC=EC， ∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD， ∴△HGF≌△DHC．∴GH=HD，∠GHF=∠HDC． ∵∠HDC+∠DHC=90°．∴∠GHF+∠DHC=90°∴∠GHD=90°．∴GH⊥HD． ②根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，∴∠FHG+∠DHC=90°， ∵∠FHG+∠FGH=90°，∴∠FGH=∠DHC， ∴，∴△GFH≌△HCD，∴CH=FG， ∵EF=FG，∴EF=CH， ∵△EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=2，∴BE=EC=1，∴EF=k， ∴CH的长为k．21·cn·jy·com
16.解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B ∴△PBQ∽△ABC；
（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即
∴ S△APQ===
∴当时，△APQ的面积最大，最大值是；
（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP ∴AQ=AC
又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB ∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2=AB2﹣AC2 ∴BC=AC
∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
17.（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDE；
（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，
∵AE=3EB，
∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴=，
∴=，
∵x、y均为正数，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：DF===2y，
∴⊙O的面积为π?（DC）2=π?DC2=π（4y）2=4πy2，
四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y2，
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3
18.（1）解：∵=， ∴=．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF， ∴=， ∴==， ∴==；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，21教育网
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA， ∴AF=OA．
（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=CD，
∴△OFE∽△CFD．∴==，∴=．
