:相似三角形期末总复习学案(二)
位似的应用:
例4
(1)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是( )21世纪教育网版权所有
A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1)
(2).如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原点为位似中心,△ABC缩小,位似比为1:2,则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________
练一练:
1.△ABC三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍.相应坐标是_____________________________________
2.如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的
顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为12;
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号).
2·1·c·n·j·y
相似多边形的应用
例5.
(1)已知:如图所示,正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AD于点G,AB=6,AE∶EC=2∶1,求S四边形AFEG.21·cn·jy·com
(2)试判断如图所示的两个矩形是否相似.
练一练:
已知两个相似多边形的面积比是9︰16,其中较小多边形的周长为36 cm,则较大多边形
的周长为( )A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
2.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出
的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相同,
那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )
已知五边形错误!未找到引用源。ABCDE∽五边形错误!未找到引用源。,
相似三角形的综合应用
例6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,错误!未找到引用源。连结EF错误!未找到引用源。并延长交BC的延长线于点G
(1)求证:;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
练一练:
1.已知:如图,D是AC上一点,,错误!未找到引用源。AE分别交BD,BC于点F,G,∠1=∠2,探索线段BF,FG,EF之间的关系,并说明理由.
【来源:21·世纪·教育·网】
例7.类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.21cnjy.com
原题:如图①,在ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若求的值错误!未找到引用源。
(1)尝试探究
在图①中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ,CG和EH的数量关系是 ,的值是____________错误!未找到引用源。
(2)类比延伸
如图②,在原题的条件下,若(m>0),则的值是错误!未找到引用源。 (用含m的代数式表示),试写出解答过程.www.21-cn-jy.com
(3)拓展迁移
如图③,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于点F.若错误!未找到引用源。, (a>0,b>0),则的错误!未找到引用源。值是 (用含a、b的代数式表示).21·世纪*教育网
练一练:
1.如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.21教育网
(1)求证:
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;
2.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=AB?AD;
(2)求证:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值
:相似三角形期末总复习学案(二)答案
位似的应用:
例4
(1)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是( )21·cn·jy·com
A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1)
思路分析:根据以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,即可得出对应点的坐标应应乘以-2,即可得出点A′的坐标.www.21-cn-jy.com
解:根据以原点O为位中心,图形的坐标特点得出,对应点的坐标应应乘以-2,故点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(-2,-4),故选:C.21教育网
(2).如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原点为位似中心,△ABC缩小,位似比为1:2,则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________
思路分析:∵ A(2,2),C(6,4),∴ 其中点坐标错误!未找到引用源。为(4,3),又以原点为位似中心,【来源:21·世纪·教育·网】
将△错误!未找到引用源。ABC缩小,位似比为错误!未找到引用源。,∴ 线段错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。变换后对应点的坐标为错误!未找到引用源。或21·世纪*教育网
错误!未找到引用源。
练一练:
1.△ABC三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍.相应坐标是
2.如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的
顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为12;
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号).
www-2-1-cnjy-com
解:(1)如图.
(2)四边形的周长=4+
相似多边形的应用
例5.
(1)已知:如图所示,正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AD于点G,AB=6,AE∶EC=2∶1,求S四边形AFEG. 21*cnjy*com
思路分析:通过观察可以知道四边形AFEG错误!未找到引用源。是正方形,AE:EC错误!未找到引用源。的值与错误!未找到引用源。的值相等,【来源:21cnj*y.co*m】
从而可以求出错误!未找到引用源。的长;根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形AFEG
错误!未找到引用源。的面积.
解:已知正方形ABCD,且EF⊥AB,EG⊥AD,∴ EF∥CB,EG∥DC.
∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1=∠2=45°,∴EF=AF 错误!未找到引用源。.
又∵,∴ 四边形AFEG是正方形,
∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG,
∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2(相似多边形的面积比等于相似比的平方).
在△ABC中,EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.
又AB=6错误!未找到引用源。,∴ AF=4错误!未找到引用源。.∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16,21cnjy.com
∴ .
(2)试判断如图所示的两个矩形是否相似.
思路分析:要判定两个多边形相似,必须对应角相等,对应边成比例,因矩形的四个角都是
直角,符合对应角相等,只要证明对应边成比例即可.
解:因为两个图形都是矩形,显然它们的四个角都分别相等.从图中数据观察可知小矩形的长为20,宽为10,于是两个矩形的长之比为=,宽之比为,
符合对应边成比例,对应角相等,故这两个矩形是相似的.
练一练:
已知两个相似多边形的面积比是9︰16,其中较小多边形的周长为36 cm,则较大多边形
的周长为( A )A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
2.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出
的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相同,
那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( D )
已知五边形错误!未找到引用源。ABCDE∽五边形错误!未找到引用源。,
相似三角形的综合应用
例6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,错误!未找到引用源。连结EF错误!未找到引用源。并延长交BC的延长线于点G
(1)求证:;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
解答:(1)证明:在正方形ABCD中,,AB=AD=CD错误!未找到引用源。.
∵ ∴
∴ ,∴.
(2)解:∵AB=4,AE=2 错误!未找到引用源。∴ ,
由(1)得,∴ ,
∴ .
由AB//BG,得,∴ △错误!未找到引用源。∽△错误!未找到引用源。,
∴ ,∴ .
练一练:
1.已知:如图,D是AC上一点,,错误!未找到引用源。AE分别交BD,BC于点F,G,∠1=∠2,探索线段BF,FG,EF之间的关系,并说明理由.
2-1-c-n-j-y
解:错误!未找到引用源。. 理由如下:∵ ,
错误!未找到引用源。又∵ 错误!未找到引用源。∴ △错误!未找到引用源。FG∽△错误!未找到引用源。FB,∴ ,即错误!未找到引用源。【出处:21教育名师】
【版权所有:21教育】
证明:(1)∵错误!未找到引用源。B=AC,∴ .
(2)由△错误!未找到引用源。∽△BDE,得.∴ .
由△错误!未找到引用源。EF∽△BDE,得错误!未找到引用源。.
又∵ ∠错误!未找到引用源。DF=∠错误!未找到引用源。DF,∴ △错误!未找到引用源。DE∽△错误!未找到引用源。DF.21教育名师原创作品
∴ . ∴ . ∴ .
例7.类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.21*cnjy*com
原题:如图①,在ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若求的值错误!未找到引用源。
(1)尝试探究
在图①中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ,CG和EH的数量关系是 ,的值是____________错误!未找到引用源。
(2)类比延伸
如图②,在原题的条件下,若(m>0),则的值是错误!未找到引用源。 (用含m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图③,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于点F.若错误!未找到引用源。, (a>0,b>0),则的错误!未找到引用源。值是 (用含a、b的代数式表示).
分析:(1)∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.
∴ ,∴ AB=3EH.∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB∥CD.
又EH∥AB,∴ EH∥CD.
∴ △BEH∽△BCG,∴错误!未找到引用源。即CG=2EH.∴
(2)作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可证AB=mEH,CG=2EH,从而2·1·c·n·j·y
(3)过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF,
∴ ∴ EH
练一练:
1.如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.21世纪教育网版权所有
(1)求证:
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;
解答(1)证明:∵矩形EFPQ,
∴EF∥BC,∴△AHF∽△ADC,∴,
∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴,∴.
(2)解:∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1.
∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴,
∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴,
∴,即,∴EH=4HF,
已知EF=x,则EH=x.
∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x.
S矩形EFPQ=EF?EQ=x?(4﹣x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣)2+5,
∴当x=时,矩形EFPQ的面积最大,最大面积为5.
2.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=AB?AD;
(2)求证:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值
解答:(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD:AC=AC:AB,∴AC2=AB?AD;
(2)证明:∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;
:相似三角形期末总复习配套练习(二)
一.选择题
1..如图,四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC∶AF=2∶3,则下列结论不正确
的是( )
A. 四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B. AD与AE的比是2∶3
C. 四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D. 四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
下列命题:①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方;②两个相似三角形的对应高之
比等于它们的相似比;③在与中,,那么
;④已知及位似中心,能够作一个且只能作一个三角形,使位
似比为.其中真命题的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列多边形一定相似的为( )
A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
4.如图3个图形中是位似图形的有( )
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是( )
A. B. C. D.
二.填空题
6.如图,在8×8的网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,△OAB的顶点都在格点上,请
在网格中画出△OAB的一个位似图形,使两个图形以O为位似中心,且所画图形与△OAB
的位似比为________
7.以坐标原点O为位似中心,作的位似图形,并把的边长放大3倍. 如果四边形ABCD的坐标
A(2,3),B(4,0),C(6,0),D(5,5)那么它们的对应点的坐标是
8.如图,矩形ABCD∽矩形BCFE,且AD=AE,则AB∶AD=
9.如图,若两个多边形相似,则x=
10.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是_______21世纪教育网版权所有
三.解答题
11.请作出五边形ABCDE以点O为位似中心的位似图形,使得像和原图形的位似比是1:2
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.21教育网
13.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.(1)求证:△COM∽△CBA;?????(2)求线段OM的长度.21cnjy.com
14.己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.(1)求证:BE=DF;(2)当 时,求证:四边形BEFG是平行四边形.2·1·c·n·j·y
15.如图,点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.(1)AE和ED的数量关系为 ;【来源:21·世纪·教育·网】
AE和ED的位置关系为 ;(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3.①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B、C的一动点,过P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.21·cn·jy·com
(1)试说明不论点P在BC边上何处时,都有△PBQ与△ABC相似;
(2)若AC=3,BC=4,当BP为何值时,△AQP面积最大,并求出最大值;
(3)在Rt△ABC中,两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC,是否存在一个λ的值,使Rt△AQP既与Rt△ACP全等,也与Rt△BQP全等.www.21-cn-jy.com
17.已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.21·世纪*教育网
(1)求证:△ADE∽△CDF;
(2)当CF:FB=1:2时,求⊙O与?ABCD的面积之比.
18.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.(1)如图①,当时,求的值;
(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;
(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.
第四章:相似三角形期末总复习配套练习(二)答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
答案
B
C
C
D
A
三.解答题
11.如图所示:
12.解:(1)∵从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.∴AM=12-t,AN=2t∵∠AMN=∠ANM ∴AM=AN,从而12-t=2t 解得:t=4?秒,∴当t为4时,∠AMN=∠ANM.(2)如图,作NH⊥AC于H,∴∠NHA=∠C=90°, ∴NH∥BC ∴△NHA∽△ABC∴, 即:, ∴NH=t,从而有S△AMN=(12-t)?t=-t2+t, ∴当t=6时,S最大值=.
13.(1)证明:∵A与C关于直线MN对称,∴AC⊥MN, ∴∠COM=90°.在矩形ABCD中,∠B=90°,∴∠COM=∠B,又∵∠ACB=∠ACB,∴△COM∽△CBA;(2)解:∵在Rt△CBA中,AB=6,BC=8,∴AC=10, ∴OC=5,∵△COM∽△CBA,∴, ∴OM=.21世纪教育网版权所有
14.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADF,∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF,即:∠BAE=∠DAF,∴△BAE≌△DAF∴BE=DF;(2)∵,∴∴FG∥BC∴∠DGF=∠DBC=∠BDC∴DF=GF∴BE=GF∴四边形BEFG是平行四边形.21cnjy.com
15.解:(1)∵点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,∴BE=EC=DC=AB,∠B=∠C=90°,∴△ABE≌△DCE,∴AE=DE,∠AEB=∠DEC=45°,∴∠AED=90°,∴AE⊥ED.故答案为:AE=ED,AE⊥ED;(2)①由题意,∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC,∵△EGF与△EAB的相似比1:2,∴∠GFE=∠B=90°,GF=AB,EF=EB,∴∠GFE=∠C,∴EH=HC=EC,∴GF=HC,FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD,∴△HGF≌△DHC.∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.∵∠HDC+∠DHC=90°.∴∠GHF+∠DHC=90°∴∠GHD=90°.∴GH⊥HD.②根据题意得出:∵当GH=HD,GH⊥HD时,∴∠FHG+∠DHC=90°,∵∠FHG+∠FGH=90°,∴∠FGH=∠DHC,∴,∴△GFH≌△HCD,∴CH=FG,∵EF=FG,∴EF=CH,∵△EGF与△EAB的相似比是k:1,BC=2,∴BE=EC=1,∴EF=k,∴CH的长为k.21·cn·jy·com
16.解:(1)不论点P在BC边上何处时,都有
∠PQB=∠C=90°,∠B=∠B ∴△PBQ∽△ABC;
(2)设BP=x(0<x<4),由勾股定理,得 AB=5
∵由(1)知,△PBQ∽△ABC,∴,即
∴ S△APQ===
∴当时,△APQ的面积最大,最大值是;
(3)存在.
∵Rt△AQP≌Rt△ACP ∴AQ=AC
又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB ∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中,由勾股定理得 BC2=AB2﹣AC2 ∴BC=AC
∴λ=时,Rt△AQP既与Rt△ACP全等,也与Rt△BQP全等.
17.(1)证明:∵CD是⊙O的直径,
∴∠DFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC=90°,
∵DE为⊙O的切线,
∴DE⊥DC,
∴∠EDC=90°,
∴∠ADF=∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠A=∠C,
∴△ADE∽△CDE;
(2)解:∵CF:FB=1:2,
∴设CF=x,FB=2x,则BC=3x,
∵AE=3EB,
∴设EB=y,则AE=3y,AB=4y,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=3x,AB=DC=4y,
∵△ADE∽△CDF,
∴=,
∴=,
∵x、y均为正数,
∴x=2y,
∴BC=6y,CF=2y,
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,
由勾股定理得:DF===2y,
∴⊙O的面积为π?(DC)2=π?DC2=π(4y)2=4πy2,
四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y2,
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2:12y2=π:3
18.(1)解:∵=, ∴=.
∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC,
∴△CEF∽△ADF, ∴=, ∴==, ∴==;
(2)证明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF,
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.
∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF,21教育网
在直角△AOD中,根据勾股定理得:AD==OA, ∴AF=OA.
(3)证明:连接OE.
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点.∴点O是BD的中点.
又∵点E是BC的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE∥CD,OE=CD,
∴△OFE∽△CFD.∴==,∴=.