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等腰三角形的性质定理教学设计
2.3.1《等腰三角形的性质》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 《等腰三角形的性质1》是“浙教版八年级数学（上）”第二章第三节的内容。本节课的主要内容是让学生通过折叠测量等方式发现等腰三角形的两个底角相等，学生通过独立思考推导证明等腰三角形的性质1，探索发现等边三角形的各个内角都等于60°的推理。会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。本节课内容是在学生知道等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线是它的对称轴，以及掌握如何证明三角形全等的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，同时也为后续学习等腰三角形的判定打下了基础，也是几何题中证明角相等、线段相等的依据，因此这节课具有承上启下的作用
学习者分析 八年级的学生已经初步具备了一定的空间观念、抽象能力，一定的独立思考、实践操作、合作探究、归纳概括的能力，能够进行简单的推理论证，同时也掌握了等腰三角形是轴对称图形以及如何证明三角形全等的知识，这些都有利于学生进行本堂课的学习。
教学目标 1.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质； 2.掌握等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等； 3.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图； 4.探索等边三角形的各个内角都等于60°。
教学重点 等腰三角形的两个底角相等.
教学难点 等腰三角形等边对等角的性质的探索与证明及其应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：大家还记得什么叫等腰三角形吗？ 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴学生活动1： 学生回顾旧知，回答问题 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：合作交流，动手操作教师活动2： 任意画一个等腰三角形,通过折叠、测量等方式,探索它的内角之间有什么关系，你发现了什么 折叠： 可以发现两个底角能够完全重合 度量： 我们可以发现任意等腰三角形腰的两个底角的大小相等 教师归纳： 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角.学生活动2： 学生跟随题目要求动手操作，合作交流自己的发现 学生拿出草稿纸画图测量等腰三角形的内角，同学之间相互交流 观看视频，发现无论等腰三角形如何变化它的两个底角大小相等 活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：推理证明，探索等腰三角形的性质教师活动3： 教师提问：大家能够用数学语言证明等边对等角这个性质吗？ 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. AD是∠A的角平分线 求证:∠B=∠C. 证明： 在△ABD和△ACD中， ∵ AB=AC(已知), ∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)， AD=AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).学生活动3： 学生自主证明，教师请一名学生上台完成证明，完成后教师进行评价及讲解 学生听讲 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节四：例题讲解，综合应用教师活动4： 例1求等边三角形ABC三个内角的度数. 解：如图,在△ABC中， ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等). 同理,∠A=∠B. ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=180=60°. 由“等腰三角形的两个底角相等”,可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于60°. 例2求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的两条角平分线. 求证:BD= CE. 分析：要证明BD=CE,只需证明△BCE≌△CBD(或△ABD≌△ACE). 因为BC是△BCE和△CBD的公共边,所以只需证明∠ABC=∠ACB,∠BCE=∠CBD.这可由已知AB=AC,BD和CE是△ABC的两条角平分线得到. 证明：如图. ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB (等腰三角形的两个底角相等). ∵BD, CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线, ∴∠CBD=∠ABC,∠BCE=∠ACB (角平分线的定义), ∴∠CBD=∠BCE. 又∵BC=CB (公共边), ∴△BCE≌△CBD (ASA). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)学生活动4： 学生自主探究，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生自主探究，举手回答问题，教师进行评价和讲解 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ACD= 100°，则∠A=_____度 2.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( ) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 3. 如图,AD,BE是等边三角形ABC的两条角平分线,AD, BE相交于点0.求∠AOB的度数。 选做题： 4.如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= _________ ． 5.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）． A、90° B、 75° C、70° D、 60° 【综合拓展类作业】 已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,且AD=AE,∠1=∠2.求证:∠3=∠4.
作业设计 【知识技能类作业】 1.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________ ° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD 【综合拓展类作业】 如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入带领学生回顾旧知，安排学生探索新知，在动手操作、合作交流中学习，获得数学活动经验，直观感知知识，例题习题安排恰当。如果能有更多的几何动画与课程融合，让学生更好地探索发现，培养学生的动手和创新能力会让该设计更出彩。另外在课堂上要根据学生的实时反应调整自身方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第二章
课标要求 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。4.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。5.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。6.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。7.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。8.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。9.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。10.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。11.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。12.了解三角形重心的概念。13.能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形。
内容分析 “三角形”是图形与几何的一个分支，又是图形性质的一个领域，本章的主要讲授的是等腰三角形与直角三角形，等腰三角形和直角三角形这两种特殊三角形有许多有趣的性质，这些性质使得它们有着宽泛的应用领域，特别是在建筑物的设计中.本章将学习等腰三角形和直角三角形的性质和判定，勾股定理,直角三角形全等的判定,图形的轴对称,逆命题和逆定理,以及它们的一些简单应用.本单元首先以图片进行导入，让学生观察发现轴对称图形的概念与性质，再引导学生发现小学学过的等腰三角形是轴对称图形开展等腰三角形的学习，然后和学生共同探索，推理证明得到等腰三角形的性质定理和判定定理。然后引导学生发现等腰三角形就是两个全等的直角三角形组成的进而开启直角三角形的探究之旅，教师需通过几何画板帮助学生更好的探究勾股定理和直角三角形全等的判定。
学情分析 《特殊三角形》这一章是在上一单元已经学习了定义与命题和证明，知道了什么是全等三角形，如何去判定三角形全等的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究等腰三角形和直角三角形。在学生的探索证明过程中不仅巩固了上一单元的知识，还能发展学生的逻辑推理能力。对于学生来说，在之前的学习中已经了解了证明的基本步骤，具有了一定的推理经验，借助几何画板以及让学生实践操作、推理证明会让学生更好的发展思维的灵活性。
单元目标 教学目标1.掌握轴对称图形、关于直线对称的概念.理解轴对称图形的性质； 会识别关于直线对称，并能找出对称轴；会画简单图形关于给定的对称轴的对称图形；体会它们在现实生活中的应用，提高学生的学习能力和审美能力；2.掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定；3.会用等腰三角形与直角三角形的性质和判定进行有关计算和证明；3.能运用勾股定理及其逆定理进行有关计算和证明；4.掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；5.了解逆命题、逆定理的概念，掌握一些基本的逆定理。（二）教学重点、难点教学重点：会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定等知识点进行有关计算和证明。教学难点：等腰三角形和直角三角形的性质和判定等的综合运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1图形的轴对称12.2等腰三角形12.3等腰三角形的性质定理22.4等腰三角形的判定定理12.5逆命题与逆定理12.6直角三角形22.7探索勾股定理22.8直角三角形全等的判定1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1图形的轴对称1.了解轴对称图形的概念，并探索轴对称图形的性质.2.了解图形的轴对称的概念，并探索图形的轴对称的性质.1.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴2.知道轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系3.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形活动一：完成观察与思考，让学生发现轴对称图形的共同特点活动二：通过几何画板动画，加强学生的理解，探索图形的轴对称活动三：动手操作，画出关于给定对称轴的对称图形活动四：针对训练，请学生回答问题2.2等腰三角形1.了解等腰三角形的概念.2.探索等腰三角形的轴对称性.3.了解等边三角形的概念1.能初步运用等腰三角形两边相等、等边三角形三条边都相等解决有关问题2.能用等腰三角形的轴对称性解决有关问题活动一：复习导入，回顾等腰三角形的概念活动二：合作学习，通过动手操作发现等腰三角形的轴对称性活动三：知识回顾，回顾等边三角形的概念，学生画出等边三角形的对称轴活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请一名学生上台解题2.3.1等边对等角1.理解并掌握等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等2.经历等腰三角形的性质的探究过程3.经历等边三角形各个内角都等于60°的推理过程1.能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题2.能运用推论等边三角形各个内角都等于60°解决有关问题活动一：合作交流，动手操作，让学生通过折叠、测量等方式发现等腰三角形的性质活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1活动三：例题精讲，让学生通过例一发现等边三角形各个内角都等于60°活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生回答问题2.3.2三线合一1.掌握等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.2.经历等腰三角形的性质的探究过程能初步运用等腰三角形的性质1解决有关问题活动一：情景导入，通过几何画板的动画进行导入，直观的展示三线合一活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的性质定理1活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.4等腰三角形的判定定理1．掌握等腰三角形的判定方法2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.能运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形活动一：合作学习，动手操作，让学生在探索的过程中发现规律活动二：推理证明，让学生用数学的语言证明等腰三角形的判定定理：等角对等边活动三：共同探索等边三角形的判定定理活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.5逆命题和逆定理1．结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立,其逆命题不一定成立.2.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上1．能说出命题的逆命题，并能够判断逆命题的真假2.能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决有关问题活动一：观察思考，寻找各命题之间的联系活动二：新课讲授，并以练习题检验学生掌握情况活动三：例题精讲，共同谈谈线段垂直平分线定理的逆定理活动四：巩固练习，请学生回答问题2.6.1直角三角形的性质定理1.了解直角三角形的概念2.了解直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余3.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.会运用直角三角形的性质定理进行相关计算活动一：回顾旧知，联系生活，了解直角三角形的概念活动二：教师讲授直角三角形的性质定理1，并让学生进行推理活动三：学生独立思考完成习题，发现直角三角形的性质定理2活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.6.2直角三角形的判定定理掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形会运用直角三角形的判定定理进行相关计算活动一：问题导入，让学生自主探索直角三角形的判定定理活动二：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.7.1勾股定理1.探索勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方2．掌握勾股定理：能用勾股定理求第三边的长能运用勾股定理求第三边的长活动一：情景引入，通过赵爽弦图激发学习兴趣活动二：合作探索，动手操作，通过观察和思考发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.7.2勾股定理的逆定理探索勾股定理的逆定理：如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形能运用勾股定理的逆定理去证明一个三角形是直角三角形活动一：问题导入，巩固旧知，让学生回答勾股定理的逆命题活动二：讲授勾股定理的逆定理，让学生用数学的语言证明它活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题2.8直角三角形全等的判定1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.2.掌握角平分线性质定理的逆定理:角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.1.能运用直角三角形全等的判定定理判断两个三角形全等2．能综合运用角平分线的逆定理活动一：复习导入，回顾判定两个三角形全等的方法活动二：动手操作，探究直角三角形全等的判定定理，教师带领学生分析并证明。活动三：例题精讲，通过例题得到角平分线性质定理的逆定理活动四：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题
《第二章 特殊三角形》单元教学设计
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2.3.1等腰三角形的性质
浙教版 八年级上册
教材分析
《等腰三角形的性质1 》是“浙教版八年级数学（上）”第二章第三节第一课时的内容。本节课的主要内容是让学生通过折叠测量等方式发现等腰三角形的两个底角相等，学生通过独立思考推导证明等腰三角形的性质1，探索发现等边三角形的各个内角都等于60°的推理。要求学生会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。
教学目标
1.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质；
2.掌握等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等；
3.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图；
4.探索等边三角形的各个内角都等于60°。
复习导入
大家还记得什么叫等腰三角形吗？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
合作探究
任意画一个等腰三角形,通过折叠、测量等方式,探索它的内角之间有什么关系，你发现了什么
图1
图2
折叠
可以发现两个底角能够完全重合。
合作交流
测量
我们可以发现任意等腰三角形的两个底角的大小相等
新知讲解
等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角.
新知讲解
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠A的角平分线
求证:∠B=∠C.
证明：在△ABD和△ACD中，
∵ AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACD (SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
典例分析
例1：求等边三角形ABC三个内角的度数.
解：如图,在△ABC中，
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等).
同理,∠A=∠B.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=180°=60°
新知讲解
由“等腰三角形的两个底角相等”得到下面的推论：
等边三角形的各个内角都等于60°.
典例分析
例2.求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的两条角平分线.
求证:BD= CE.
分析：要证明BD=CE,
只需证△BCE≌△CBD(或△ABD≌△ACE).
因为BC是△BCE和△CBD的公共边,
所以只需证明∠ABC=∠ACB,∠BCE=∠CBD.
这可由已知AB=AC,BD和CE是△ABC的两条角平分线得到.
典例分析
解：∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB (等腰三角形的两个底角相等).
∵BD, CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠CBD=∠ABC,∠BCE=∠ACB (角平分线的定义),
∴∠CBD=∠BCE.
又∵BC=CB (公共边),
∴△BCE≌△CBD (ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
例2求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的两条角平分线.
求证:BD= CE.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠ACD= 100°，则∠A=_____度.
解：∵ AB=AC
∴ △ABC是等腰三角形
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACD+∠ACB=180°， ∠ACD= 100°
∴∠ACB=180°-∠ACD=80°
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A=180°-2∠ACB=20°
20
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
注意：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
课堂练习
3.如图,AD,BE是等边三角形ABC的两条角平分线,AD, BE相交于点0.求∠AOB的度数。
解：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵BE,AD是等边三角形ABC的两条角平分线
∴∠ABO=∠BAO=30°
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°
∴ ∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=120°
【知识技能类作业】
必做题
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1.如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= _________ ．
44°
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）．
A.90° B. 75° C.70° D. 60°
D
课堂练习
【综合实践类作业】
已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,且AD=AE,∠1=∠2.求证:∠3=∠4.
解：∵∠A=∠A,AD=AE,∠1=∠2
∴△ADC≌△AEB
∴AB=AC,∠ABE=∠ACD
∴△ABC是等腰三角形
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ABC-∠ABE=∠ACB -∠ACD
∴∠3=∠4
课堂总结
等腰三角形的性质1是什么？
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.
等边三角形的内角具有什么特征？
等边三角形的各个内角都等于60°.
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，
则∠BAC=_________°
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作业布置
【知识技能类作业】
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD
C
作业布置
【综合实践类作业】
如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
解：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB
∴∠DBC＝∠ECB
∵∠DBC＝∠F
∴∠ECB＝∠F
∴EC∥DF
板书设计
1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等边三角形的各个内角都等于60°
3.等腰三角形的两底角的平分线相等
2.3.1等边对等角
习题讲解书写部分
谢谢
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